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1.3柱体锥体台体的表面积和体积终极版

1.3柱体锥体台体的表面积和体积终极版


提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积?

一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和

表面积=侧面积+底面积

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. S 解:先求 ?ABC的面积,过点S作 SD ? BC,
A B D C

3 a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2
?

交BC于点D.

S ?ABC 所以:

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积.

圆柱的表面积
r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r 'O


2?r '

2?r

l

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?

r O?

r 'O

l
O

r ’= r
上底扩大



l

r’ = 0
上底缩小

l

r

O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

S台 ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) S锥 ? ?r (r ? l )

例2. 一个圆台,上、下底面半径分别为 10、20,母线与底面的夹角为60°, 求圆台的表面积.

变式:求切割之前的圆锥的表面积.

柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为: (S为底面面积,h为高). V ? Sh

一般棱柱体积也是:

V ? Sh
其中S为底面面积,h为棱柱的高.

圆锥体积

圆锥的体积公式:

1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 . 3

1 V ? Sh 3

(其中S为底面面积,h为高)

锥体体积
经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积

1 的 .即棱锥的体积: 3

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3
由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于 1 底面面积乘高的 . 3

台体体积
根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略).
A?

P
D?

S?
B?

C?

h
A

D

V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D?
1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S

C
B

台体体积

棱台(圆台)的体积公式

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台
(棱台)的高.

台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? 0

S为底面面积, h为锥体高

S? ? S 1 1 V ? Sh V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3 S为底面面积, S分别为上、下底面 h为柱体高 面积,h 为台体高

例3. 一个几何体的三视图如图所示,求这个几何体的表面积 和体积.

练习1:某四棱台的三视图如图1所示,则该四棱 台的体积是( B )
A.4 14 B. 3 16 C. 3 D.6

练习2:在长方体ABCD-A′B′C′D′中,三条边 a:b:c=2:3:4, 且对角线AC′的长为 2 29 ,求长方体 的体积.

练习3:如图所示,在长方体 ABCD A′B′C′D′中,用截面截 下一个棱锥D′?A′DC,求棱锥 D′?A′DC的体积与剩余部分的 体积之比.

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

知识小结
柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S'? 0

1 锥体V ? Sh 3


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