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2019年河南省中原名校联盟高三数学(理)4月仿真模拟联考试题及答案

2019年河南省中原名校联盟高三数学(理)4月仿真模拟联考试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5
中原名校联盟 20xx 届高三四月高考仿真模拟联考 数学(理)试题
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的。)

1.设全集 U=R,集合 A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(CUA)UB=

A.(2, 3]

B.(-∞,1]U(2,+∞)

C.[1,2)

D.(-∞,0)U[1,+∞)

2.已知 i 是虚数单位,若 a+bi= i - i (a,b∈R),则 a+b 的值是 2+i 2-i

A.0

B.- 2 i

C.- 2

D. 2

5

5

5

3.已知条件 p:a<0,条件 q: a2 >a,则 ?p 是 ?q 的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是

A.①④

B.②③

C.②④

D.①②

5.双曲线

x2 a2



y2 b2

=1

(a>0,b>0)与椭圆

x2 + 25

y2 =1的焦点相同,若过右焦点 9

F

且倾斜角为

60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点,则此双曲线实半轴长的取值范围是

A.(2,4)

B.(2,4]

C.[2,4)

D.(2,+∞)

6.若数列{ an

}满足

1 an-1



1 an

=d (n∈N﹡,d 为常数),则称数列{ an

}为调和数列.已知数列{

1 xn

}

为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=

A.10

B.20

C.30

D.40

? x≥0, 7.已知实数 x,y 满足约束条件 ??3x+4 y≥4,则 x2+y2 +2x 的最小值是
?? y≥0,

A. 2

B. 2 -1

C. 24

D.1

5

25

8.已知函数 f(x)=sin(2x+? ),其中 0<?



2π ,若 f(x)≤|f( ? )|对 x∈R 恒成

立,

6

且 f( ? )>f(π ),则? 等于 2

A. ? 6

B. 5? 6

C. 7? 6

D. 11? 6

9.程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的

值是

A.2

B.- 1

2

C.-3

D. 1 3

10.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当

三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为

A. 5 85

B. 14 81

C. 22 81

D. 25 81

11.过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线交其于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则
△AOB 的面积为

A. 2 2

B. 2

C. 3 2 2

D.2 2

12.如下图,在三棱锥 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=3,PB=2,PC=2,设 M 是底 面三角形 ABC 内一动点,定义:f(M)=(m,n,p),其中 m,n,p 分别表示三棱锥 M-PAB,

M-PBC,M-PAC 的体积,若 f(M)=(1,x,4y),且 1 + a ≥8 恒成立,则正实数 a 的最小 xy

值是

A.2- 2

B. 2 2-1 2

C. 9-4 2 4

D. 6-4 2

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上。)
13.( 2 + x) (1- x )6 的展开式中 x 的系数是__________________. x

14.已知等比数列{ an }为递增数列,a1=-2,且 3( an + an+2 )=10 an+1 ,
则公比 q=______________. 15.如右图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 为以 A 为圆心,AB 为半径的圆弧上的任意一点,
uuur uuur uuur 设向量 AC =λ DE +μ AP ,则λ +μ 的最小值为_____________.

16.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)=

??log1 (x+1)? x∈[0, 2) ?3

,则关于 x 的函数 F(x)=

??1- x-4 ,x∈[2,+∞)

f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为_____.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。) 17.(本小题满分 12 分)

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a,b,C,已知 sin C = 10 . 24
(1)求 cosC 的值;

(2)若△ABC 的面积为 3 15 ,且 sin2 A + sin2 B = 13 sin2 C ,求 a,b 及 c 的值.

4

16

18.(本小题满分 12 分)

某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,下表是在某单位得到的数据

(人数):

(1)能否有 90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关?

(2)进一步调查: ①从赞同“男女延迟退休”16 人中选出 3 人进行陈述 发言,求事件“男士和女士各至少有 1 人发言”的 概率; ②从反对“男女延迟退休”的 9 人中选出 3 人进行座

男 女 合计

赞同 5 11 16

反对 6 3 9

合计 11 14 25

谈,设参加调查的女士人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

附:

19.(本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体中,EF⊥平面 AEB,AE⊥EB, AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE =2,G 是 BC 的中点.
(1)求证:BD⊥EG: (2)求平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

C:

x a

2 2



y2 b2

=1

(a>b>0)的左右焦点分别为

F1,F2,点

B(0,

3 )为短轴的一个

端点,∠OF2B=60°. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)如图,过右焦点 F2,且斜率 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 D,E 两点,A 为椭圆的右顶点, 直线 AE,AD 分别交直线 x=3 于点 M,N,线 段 MN 的中点为 P,记直线 PF2 的斜率为 k? .试 问 k· k? 是否为定值?若 为定值,求出该定值; 若不为定值,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=lnax- x-a (a≠0). x
(1)求此函数的单调区间及最值;
(2)求证:对于任意正整数 n,均有 1+ 1 + 1 …+ 1 ≥ ln en (e 为自然对数的底数). 2 3 n n!

【选做题】 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答题时用
2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 。 22.(本小题满分 10 分)【选修 4—1:几何证明选讲】
如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上.
(1)若 EC = 1 , ED = 1 ,求 DC 的值; EB 3 EA 2 AB
(2)若 EF2=FA·FB,证明:EF∥CD.

23.(本小题满分 10 分)【选修 4—4:坐标系与参数方程】 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原
极点,以 x 轴正半轴为极轴.已知曲线 C1 的极坐标方程为ρ =2

点O为
2 sin(θ + ? ),曲线 C2 的 4

极坐标方程为ρ sinθ =a(a>0),射线θ =? ,θ =? + ? ,θ =? - ? ,θ = ? +? 与曲

4

4

2

线 C1 分别交异于极点 O 的四点 A,B,C,D.

(1)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 a 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程;

(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.

24.(本小题满分 10 分)【选修 4—5:不等式选讲】 已知函数 f(x)=|x-a|.
(1)若 f(x)≤m 的解集为[-1,5],求实数 a,m 的值; (2)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2).

一、选择题:
1. D

中原名校 20xx 年四月份高考仿真模拟联考 数学(理)试题参考答案

因为 CU A ? {x | x ? 2 或 x ? 0} , B ? {y |1 ? y ? 3},所以 (CU A) B = ?? ?,0?? ?1,???。

2. D

因为 a ? bi ? i ? i ? 2i ?1? 2i ?1 ? 2 ,所以 a ? 2 ,b ? 0, a ? b ? 2

2?i 2?i

4 ?1

5

5

5

3. B

因为 ?p : a ? 0 , ?q : 0 ? a ? 1,所以 ?p 是 ?q 必要不充分条件

4. A
由所给的正方体知, △PAC 在该正方体上下面上的射影是①,△PAC 在该正方体左右面上的射影是④, △PAC 在该正方 体前后面上的射影是④ 故①,④符合题意
5. A

椭圆 x2 ? y2 ? 1 的半焦距 c ? 4 . 25 9
要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即
b<tan60? ? 3 即 b< 3a ?c2 ? a2<3a2 整理得 c<2a ∴ a>2 a 又 a<c ? 4 ,则此双曲线实半轴长的取值范围是(2,4)

6. B

由题意知:∵数列

? ? ?

1 xn

? ? ?

为调和数列



1 1

-

1 1

=xn?1 ? xn=d

x n?1 x n

又∵

x1

?

x2

???

x20

?

200

=

20(x1 ? 2

x20 )

∴ x1 ? x20 ? 20

又 x1 ? x20 ? x5 ? x16 ? x5 ? x16 ? 20

7. D

?x ? 0, 满足约束条件件 ??3x ? 4 y ? 4, 的平面区域如下图中阴影
?? y ? 0,
所示:
x2 ? y2 ? 2x ?(x ?1)2 ? y2 ?1,表示( ?1,0)点到可行
任一点距离的平方再减 1,
可知当 x ? 0,y ? 1时, x2 ? y2 ? 2x 取最小值 1
8. C

∴?xn? 是等差数列
部分 域内 由图

若 f ?x? ?

f

?? ?? 6

? ??

对x ? R

恒成立则 (f ? 6

)等于函数 的最大值或最小值

即 2? ? ?? ? k? ? ? ,k ? Z

6

2

则?

?

k?

?

? 6

,k

? Z又f

?? ?? 2

???>f

??

?

,即

sin?<0,0<?<2?

当 k ?1时,此时? ? 7? ,满足条件 6
9. A

由程序框图知: s ? 2,i ?1; s ? 1? 2 ? ?3,i ? 2 ; s ? 1? 3 ? ? 1 ,i ? 3 ;

1? 2

1?3 2

s

?

1? 1?

(? (?

1) 2 1)

?

1 3

,i

?

4

;

s

?

1? 1 3
1? 1)

?

2, i

?

5 ……..,可知

S

出现周期为

4,

2

3

当 i ? 2017 ? 4?504 ?1时,结束循环输出 S,,即输出的 s ? 2 ,

10. B

分两种情况 3,1,1 及 2,2,1,这两种情况是互斥的,下面计算每一种情况的概率,当取球

的个数

是 3,1,1 时,试验发生包含的事件是 35 ,满足条件的事件数是 C31C43C21 ∴这种结果发生的
概率



C31C43C21 35

?

8 81

,同理求得第二种结果的概率是 6 ,根据互斥事件的概率公式得到 81

P ? 8 ? 6 ? 14 81 81 81
11. C

设直线 AB 的倾斜角为 ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ,

∵ AF ? 3 ,∴点 A 到准线 l : x ? ?1的距离为 3,

∴ 2 ? 3cos? ? 3 ,即 cos? ? 1 ,则 sin? ? 2 2 .

3

3

因为 m ? 2 ? mcos(? ?? ) 所以 m ? 2 ? 3 1? cos? 2

∴ ?AOB 的面积为 S ? 1 ? OF ? AB ? sin? ? 1 ?1? (3 ? 3) ? 2 2 ? 3 2 .

2

2

23 2

12. C

∵ PA、PB、PC 两两垂直,且 PA ? 3.PB ? 2,PC ? 2 .

∴ VP? ABC

?

1? 1 ?3?2?2 32

?

2

?1?

x ? 4y



x ? 4y

?1,

∵ 1 ? a ? 8 恒成立, xy

∴ 1 ? a ?( 1 ? a )(x ? 4y) ? 1? ax ? 4 y ? 4a ? 1? 4a ? 4 a ? 8

xy xy

yx

解得 a ? 9 ? 4 2 4

∴正实数 a 的最小值为 9 ? 4 2 4

二、填空题:

13. 31

r
(1 ? x )6 的展开式中的第 r 项 Tr?1 ? C6r 16?r (? x )r ? (?1)r C6r x 2 ,若求 x 的系数,只需要找

到 (1? x )6 展开式中的 x2 的系数和常数项分别去乘 2 ? x 中 2 的系数和 x 的系数即可。令

x

x

r ? 4 得 x2 的系数是 15,令 r ? 0 得常数项为 1.所以 x 的系数为 2?15 ?1 ? 31

14. 1 3

? ? 因为等比数列 an 为递增数列且 a1 ? ?2 ? 0 ,所以公比 0 ? q ? 1,又因为 3(an ? an?2 ) ? 10an?1 ,

两边同除

an

可得

3(1?

q2

)

?

10q



3q2

?10q

?

3

?

0

,解得

q

?

3或

q

?

1 3

,而

0

?

q

? 1 ,所以

q ? 1。 3

15. 1 2

以 A 为原点,以 AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系.

设正方形 ABCD的边长为 1.

则 E(1 , 0),C(1,1), D(0,1), A(0, 0) 2

所以 AC ? (1,1)

设 P(cos? ,sin? ) ,由向量 AC ? ? DE ? ? AP

所以, ?(1 ,1) ? ? ?cos? ,sin? ? ? (1 ? ? ? cos? , ?? ? ? sin? )

2

2



??1 ? ? ? cos? ?2

?1,

?? ?? ? ? sin? ? 1

∴ ???????????222sccinoo?ss???3??2ssciionns??? ,

∴ f (? ) ? 3 ? 2sin? ? 2cos? ? ?1? 3sin? ? 3 .

2cos? ? sin?

2cos? ? sin?



f

(? ) ?

?1?

3sin? ? 3 2cos? ? sin?

,则

f

'(? )

?

6 ? 6?sin? ? 3? cos?
?2cos? ? sin? ?2

?0

所以 y ? f (? ) 为增函数,由 0 ? ? ? ? 得:当? ? 0时 ? ?? 取最小值为 1 .

2

2

16.1 ? 3a

当 0 ? x ? 2时, f (x) ? 0,

当 x ? 2 时,函数 f (x) ?1? x ? 4 ,关于 x ? 4 对称,

当 x ? ?2 时,函数关于 x ? ?4 对称, 由 F(x) ? f (x) ? a(0 ? a ?1) ,得 y ? f (x) , y ? a(0 ? a ? 1) ,
所以函数 F(x) ? f (x) ? a 有 5 个零点.从左到右依次设为 x1, x2 , x3, x4 , x5 , 因为函数 f ( x )为奇函数,所以 x1 ? x2 ? ?8 , x4 ? x5 ? 8 当 ?2 ? x ? 0 时, 0 ? ?x ? 2,所以 f (?x) ? log1 (?x ?1) ? ? log3(1? x)
3
即 f (x) ? log3(1? x) ,-2≤ x <0,由 f (x) ? log3(1? x) ? a ,解得 x ? 1? 3a ,即 x3 ? 1? 3a , 所 以 函 数 F ( x ) = f ( x ) - a (0< a <1) 的 所 有 零 点 之 和 为 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 1? 3a
三、解答题:

17.(1) 因为 sin C ? 10 , 24
所 以 cos C ? 1? 2sin2 C ? ? 1 . 24


…………………………………………………………5

(2) 因为 sin2 A ? sin2 B ? 13 sin2 C ,由正弦定理得
16
a2 ? b2 ? 13 c2 .---------------------------------------------------①
16 由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2ab cosC ,将 cos C ? ? 1 代入,得
4 ab ? 3 c2 ---------------------------- ------------------------------②
8

由S

ABC

?

3

15 4

及 sin C

?

1 ? cos2 C ?

15 ,得 4

ab ? 6 .----------------------------------------------------------③

?a ? 2, ?a ? 3,

由①,②,③得 ??b ? 3, 或 ??b ? 2,

??c ? 4

??c ? 4.

经检验,满足题意.

?a ? 2, ?a ? 3,

所以 ??b ? 3, 或 ??b ? 2, …………………………………………………………………12

??c ? 4

??c ? 4.



18.(1) K 2 ? 25? (5? 3 ? 6?11)2 ? 2.932 ? 2.706 16? 9?11?14
由此可知,有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关 …………………………3



(2)

①记题设事件为

A

,则所求概率为

P( A)

?

C51C112 ? C52C111 C163

? 11 ……………………….7 16



②根据题意,X服从超几何分布,

P( X

?

k)

?

C3k

C 3?k 6

C93

,k

?

0,1, 2,3 ………………8分

X的分布列为:

X

0

1

2

3

P

5

15

3

1

21 28 14 84

X的数学期望为 E ? X ? ? 0? 5 ?1? 15 ? 2? 3 ? 3? 1 ? 1 ………………12分
21 28 14 84 19.(1)∵ EF ? 平面 AEB , AE ?平面 AEB , BE ? 平面 AEB
∴ EF ? AE , EF ? BE 又 AE ? BE ∴ BE , EF , AE 两两垂直 以点 E 为坐标原点, EB , EF , EA 分别为 x, y, z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系
由已知得, A(0, 0, 2) , B(2, 0, 0) , C(2, 4, 0) , F(0,3, 0) , D(0, 2, 2) , G(2, 2, 0)

∴ EG ? (2, 2, 0) , BD ? (?2, 2, 2)

∴ BD ? EG ? ?2? 2 ? 2? 2 ? 0

∴ BD ? EG ……………………….6 分

(2)由已知得 EB ? (2, 0, 0) 是平面 DEF 的法向量

设平面 DEG 的法向量为 n ? (x, y, z)

∵ ED ? (0, 2, 2) , EG ? (2, 2, 0)



??EG ? ?? ED

n n

? ?

0 0

,即

?y? ??x ?

z y

? ?

0 0

,令

x

?1,得 n

?

(1, ?1,1)

设平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的大小为?

则 cos? ? cos n, EB

n EB

?

?

2

?

3

n EB 2 3 3

∴平面 DEG 与平面 DEF 所成锐二面角的余弦值为 3 ………………………………12 分 3

20.(1)由条件可知 a ? 2, b ? 3 , 故所求椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 .…………………………4 分 43

(2)设过点 F2 (1, 0) 的直线 l 方 程为: y ? k(x ?1) .

? y ? k(x ?1),



? ?

x2

?? 4

?

y2 3

?1

可得: (4k 2

? 3)x2

? 8k 2x

? 4k 2

? 12

?

0

因为点 F2 (1, 0) 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交,即 ? ? 0 恒成立.

设点 E(x1, y1), D(x2 , y2 ) ,



x1

?

x2

?

8k 2

4k 2

?

, 3

x1 x2

?

4k 2 ?12 4k 2 ? 3

.

……………………………………………6 分

因为直线 AE 的方程为: y ? y1 (x ? 2) ,直线 AD 的方程为: y ? y2 (x ? 2) ,

x1 ? 2

x2 ? 2

令 x ? 3 ,可得 M (3, y1 ) , N (3, y2 ) ,所以点 P 的坐标 (3, 1 ( y1 ? y2 )) .

x1 ? 2

x2 ? 2

2 x1 ? 2 x2 ? 2

………………………………8 分

1 ( y1 ? y2 ) ? 0

直线 PF2 的斜率为 k ' ? 2

x1 ? 2 x2 ? 2 3?1

? 1 ? x1 y2 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 4 x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

? 1 ? 2kx1x2 ? 3k(x1 ? x2 ) ? 4k 4 x1x2 ? 2(x1 ? x2 ) ? 4

y
l
D

M

O F2

A

x

P

?

1 4

?

2k

?

4k 2 4k 2

?12 ?3

?

3k

?

8k 4k 2

2
?

4k 2 4k 2

?12 ?3

?

2

?

8k 4k 2

2
?

3

3 ?

? 4

4k

?? 3 4k



E

N

所以 k ? k? 为定值 ? 3 . 4

…………………………………………………………………12 分

21.(1)解:由题意

f

?(x)

?

x?a x2

.………………………………………………………………………………………2 分

当 a ? 0 时,函数 f (x) 的定义域为 (0,??) ,

此时函数在 (0, a) 上是减函数,在 (a, ??) 上是增函数,

fmin (x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值.………………………………………………4 分 当 a ? 0时,函数 f (x) 的定义域为 (??,0) ,

此时函数在 (??, a) 上是减函数,在 (a, 0) 上是增函数,

fmin (x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值.………………………………………………6 分

(2)取 a ? 1 ,由⑴知 f (x) ? ln x ? x ?1 ? f (1) ? 0 , x

故 1 ? 1? ln x ? ln e ,

x

x

…………………………………………………………10 分

取 x ? 1, 2,3 , n ,则1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln en .……………………………12 分

23

n n!

22.(1)? A, B,C, D 四点共圆,

? ?EDC ? ?EBF, 又? ?CED ? ?AEB, ? ?CED∽ ?AEB, ? EC ? ED ? DC ,
EA EB AB ? EC ? 1 , ED ? 1 ,
EB 3 EA 2

? DC ? 6 .………………………………………………………………………………5 分 AB 6
(2)? EF 2 ? FA? FB , ? EF ? FB , FA FE

又? ?EFA? ?BFE, ? ?FAE∽ ?FEB, ? ?FEA? ?EBF, 又? A, B,C, D 四点共圆,
? ?EDC ? ?EBF, ? ?FEA? ?EDC ,

? EF // CD .………………………………………………………………………………………10 分 23.解:(1) C1 : (x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ,-------------------2 分

C2 : y ? a ,-----------------------------------4 分

因为曲线 C1 关于曲线 C2 对称, a ? 1 , C2 : y ? 1------5 分

| OA |? 2 2 sin(? ? ? )

(2)

4;

| OB |? 2 2 sin(? ? ? ) ? 2 2 cos? 2

| OC |? 2 2 sin? ,

| OD |? 2 2 sin(? ? 3? ) ? 2 2 cos(? ? ? ) -- ---------------------8 分

4

4

| OA | ? | OC | ? | OB | ? | OD |? 4 2 -----------------------10 分

24.(1)因为 x ? a ? m所以 a ? m ? x ? a ? m

?a ??a

? ?

m m

? ?

?1 ?
5

a

?

2,

m

?

3

………………………………………………………………………

………………………5 分

(2) a ? 2 时等价于 x ? 2 ? t ? x

当 x ? 2, x ? 2 ? t ? x,?0 ? t ? 2所以舍去

当 0 ? x ? 2,2 ? x ? t ? x,?0 ? x ? t ? 2 , 成立 2
当 x ? 0,2 ? x ? t ? ?x 成立





















?? ?

?

?,

t

? 2

2

? ??

…………………………………………………………………………………………10




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