9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 8-3直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系 新人教A版

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 8-3直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系 新人教A版


8-3 直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系
基础巩固强化 1.(文)(2011?深圳二模)直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x +(y-1) =5 的位置关系 是( ) A.相交 [答案] A [解析] 解法一:圆心(0,1)到直线的距离 d= |m| B.相切 C.相离 D.不确定
2 2

m2+1

<1< 5 ,故选 A.
2 2

解法二:直线 mx-y+1-m=0 过定点(1,1),又因为点(1,1)在圆 x +(y-1) =5 的内 部,所以直线 l 与圆 C 是相交的,故选 A. (理)(2012?重庆理,3)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x +y =2 的位置关系一 定是( ) B.相切 D.相交且直线过圆心
2 2

A.相离 C.相交但直线不过圆心 [答案] C

[解析] 本题考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式. 圆心 C(0,0)到直线 kx-y+1=0 的距离 d= 所以直线与圆相交,故选 C. [点评] 圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离 d 与圆的半径关系判断. 若直 线过定点, 也可通过该点在圆内, 圆外, 圆上去判断. 如本题中直线 y=kx+1 过定点 M(0,1), 1 1+k
2

≤1< 2.

M 在圆内.
2.(2011?济南二模)“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A |a-3+4| 2 2 [解析] 若直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切,则有 =2 2,即|a 2 +1|=4, 所以 a=3 或-5.但当 a=3 时, 直线 y=x+4 与圆(x-a) +(x-3) =8 一定相切, 故“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切”的充分不必要条件. 3.(2011?东北三校联考)若 a、b、c 是直角三角形的三边(c 为斜边),则圆 x +y =2 截直线 ax+by+c=0 所得的弦长等于( A.1 B.2 C. 3 ) D.2 3
2 2 2 2 2 2 2 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1

[答案] B [解析] ∵a、b、c 是直角三角形的三条边, ∴a +b =c . 设圆心 O 到直线 ax+by+c=0 的距离为 d,则 d= 长为 2 ? 2?
2 2 2 2

|c|

a2+b2

=1,∴直线被圆所截得的弦

-1 =2.
2 2 2 2

2

4.(2011?潍坊模拟)已知圆 x +y =4 与圆 x +y -6x+6y+14=0 关于直线 l 对称, 则直线 l 的方程是( A.x-2y+1=0 C.x-y+3=0 [答案] D 3 3 [解析] 解法一:圆心 O(0,0),C(3,-3)的中点 P( ,- )在直线 l 上,排除 A、B、 2 2 C,选 D. 解法二:两圆方程相减得,6x-6y-18=0, 即 x-y-3=0,故选 D. [点评] 直线 l 为两圆心连线段的中垂线. 5. (2012?山东文, 9)圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为( A.内切 C.外切 [答案] B [解析] 本题考查圆与圆的位置关系. 两圆圆心分别为 A(-2,0),B(2,1), 半径分别为 r1=2,r2=3,|AB|= 17, ∵3-2< 17<2+3,∴两圆相交. 6.(文)(2012?福建文,7)直线 x+ 3y-2=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦
2 2 2 2 2 2

) B.2x-y-1=0 D.x-y-3=0

)

B.相交 D.相离

AB 的长度等于(
A.2 5 C. 3 [答案] B

) B.2 3 D.1

[解析] 本题考查了圆的弦长问题. 如图可知

2

d=

|-2|

=1, 1+3
2 2

∴|AB|=2|BC|=2 2 -1 =2 3. [点评] 涉及到直线与圆相交的弦长问题, 优先用 Rt△OCB 这一勾股关系, 在椭圆中的 弦长问题则选用弦长公式 l= 1+k |x2-x1|=
2

1 1+ 2|y2-y1|.

k

(理)(2012?哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆 C:x +y =12, 直线 l:4x+3y=25,则圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为( A. C. 5 6 1 3 B. D. 1 6 2 3 )

2

2

[答案] B [解析] ⊙C 上的点到直线 l:4x+3y=25 的距离等于 2 的点,在直线 l1:4x+3y=15 上,圆心到 l1 的距离 d=3,圆半径 r=2 3,∴⊙C 截 l1 的弦长为|AB|=2 r -d =2 3, ︵ π 1 ∴圆心角∠AOB= ,AB的长为⊙C 周长的 ,故选 B. 3 6 7. (2012?北京东城区示范校练习)已知圆 x +y =9 与圆 x +y -4x+4y-1=0 关于直 线 l 对称,则直线 l 的方程为________. [答案] x-y-2=0 [解析] 由题易知, 直线 l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线, 两圆的圆心坐标分 别是(0,0),(2,-2),于是其中点坐标是(1,-1),又过两圆圆心的直线的斜率是-1,所 以直线 l 的斜率是 1,于是可得直线 l 的方程为:y+1=x-1,即 x-y-2=0. [点评] 两圆方程相减,即可得出对称直线方程. 8.(文)(2012?皖南八校第三次联考)已知点 P(1,-2),以 Q 为圆心的圆 Q:(x-4)
2 2 2 2 2 2 2 2

+(y-2) =9,以 PQ 为直径作圆与圆 Q 交于 A、B 两点,连接 PA、PB,则∠APB 的余弦值为
3

________. [答案] 7 25
2

[解析] 由题意可知 QA⊥PA,QB⊥PB,故 PA,PB 是圆 Q 的两条切线,cos∠APB=2cos 4 2 7 ∠APQ-1=2?( ) -1= . 5 25 → →

(理)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、B 两点,O 为原点,且OA?OB=2,则实 数 a 的值等于________. [答案] ± 6 [解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算. → → → →
2

2

2

设OA、OB的夹角为 θ ,则OA?OB=R ?cosθ =4cosθ =2, 1 π ∴cosθ = ,∴θ = ,则弦 AB 的长|AB|=2,弦心距为 3,由圆心(0,0)到直线的距 2 3 离公式有: |0+0-a| = 3,解之得 a=± 6. 2 9.(文)与直线 x+y-2=0 和曲线 x +y -12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆的 标准方程是________. [答案] (x-2) +(y-2) =2 [解析] ∵⊙A:(x-6) +(y-6) =18 的圆心 A(6,6),半径 r1=3 2, ∵A 到 l 的距离 5 2,∴所求圆 B 的直径 2r2=2 2, 即 r2= 2. 设 B(m,n),则由 BA⊥l 得
2 2 2 2 2 2

n-6 =1, m-6

|m+n-2| 又∵B 到 l 距离为 2,∴ = 2, 2 解出 m=2,n=2. (理)(2011?杭州二检)已知 A,B 是圆 O:x +y =16 上的两点,且|AB|=6,若以 AB 为直径的圆 M 恰好经过点 C(1,-1),则圆心 M 的轨迹方程是________. [答案] (x-1) +(y+1) =9 [解析] ? x-1?
2 2 2 2 2

设圆心为 M(x , y),由|AB|=6 知,圆 M 的半径 r =3,则|MC|=3,即

+?

y+1?

2

=3,所以(x-1) +(y+1) =9.
2 2

2

2

10.(文)已知圆 C:x +y +x-6y+m=0 与直线 l:x+2y-3=0.

4

(1)若直线 l 与圆 C 没有公共点,求 m 的取值范围; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值. [解析] (1)将圆的方程配方, 1 2 37-4m 2 得(x+ ) +(y-3) = , 2 4 37-4m 37 故有 >0,解得 m< . 4 4 将直线 l 的方程与圆 C 的方程组成方程组,得
?x+2y-3=0, ? ? 2 2 ? ?x +y +x-6y+4m=0,

3-x 2 3-x 2 消去 y,得 x +( ) +x-6? +m=0, 2 2 整理,得 5x +10x+4m-27=0,① ∵直线 l 与圆 C 没有公共点, ∴方程①无解, 故有 Δ =10 -4?5(4m-27)<0, 解得 m>8. 37 ∴m 的取值范围是(8, ). 4 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 由 OP⊥OQ,得OP?OQ=0, 由 x1x2+y1y2=0,② 由(1)及根与系数的关系得,
2 2

x1+x2=-2,x1?x2=

4m-27 ③ 5

又∵P、Q 在直线 x+2y-3=0 上, 3-x1 3-x2 ∴y1?y2= ? 2 2 1 = [9-3(x1+x2)+x1?x2], 4 将③代入上式,得 y1?y2=

m+12
5

,④

将③④代入②得 x1?x2+y1?y2 = 4m-27 m+12 + =0,解得 m=3, 5 5

代入方程①检验得 Δ >0 成立,∴m=3. (理)已知圆 C:x +(y-3) =4,一动直线 l 过 A(-1,0)与圆 C 相交于 P、Q 两点,M 是
2 2

PQ 的中点,l 与直线 m:x+3y+6=0 相交于 N.
(1)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心 C;
5

(2)当 PQ=2 3时,求直线 l 的方程; → 由. [解析] (1)证明:因为 l 与 m 垂直, 1 且 km=- ,kl=3, 3 故直线 l:y=3(x+1),即 3x-y+3=0. 显然圆心(0,3)在直线 l 上, 即当 l 与 m 垂直时,l 必过圆心. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x=-1 符合题意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),即 kx-y+k=0, 因为 PQ=2 3,所以 CM= 4-3=1, |-3+k| 4 则由 CM= =1,得 k= . 2 3 k +1 所以直线 l:4x-3y+4=0. 从而所求的直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0. (3)因为 CM⊥MN, → → → → → 所以AM?AN=(AC+CM)?AN → → → → → → =AC?AN+CM?AN=AC?AN. ①当 l 与 x 轴垂直时, → 5 5 易得 N(-1,- ),则AN=(0,- ), 3 3 → → → → → 又AC=(1,3),所以AM?AN=AC?AN=-5. ②当 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 则由? →
? ?y=k?



(3)探索AM?AN是否与直线 l 的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理

x+1?

? ?x+3y+6=0

? 3k+6, -5k ?, ,得 N?- ? ? 1+3k 1+3k?

则AN=?

? -5 , -5k ?. ? ?1+3k 1+3k?
6



→ → → → → 能力拓展提升 → →

所以AM?AN=AC?AN=-5. 综上,AM?AN与直线 l 的斜率无关,因此与倾斜角也无关,且AM?AN=-5.

11.(2011?济南模拟)若直线 x-y=2 被圆(x-a) +y =4 所截得的弦长为 2 2,则实 数 a 的值为( ) B.1 或 3 D.0 或 4

2

2

A.-1 或 3 C.-2 或 6 [答案] D

|a-2| |a-2| 2 2 2 [解析] 圆心(a,0)到直线 x-y=2 的距离 d= ,则( 2) +( ) =2 , 2 2 ∴a=0 或 4. 12.(2011?银川部分中学联考)已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x +y -4x+3=0 相切,切点在第四象限,则直线 l 的方程为( A.y=- 3x C.y=- 3 x 3 ) B.y= 3x D.y= 3 x 3
2 2

[答案] C [解析]

由题易知,圆的方程为(x-2) +y =1,圆心为(2,0),半径为 1,如图,经过原点的圆 的切线,当切点在第四象限时,切线的倾斜角为 150°,切线的斜率为 tan150°=- 故直线 l 的方程为 y=- 3 x,选 C. 3
2 2

2

2

3 , 3

13.(文)(2011?天津模拟)过点(0,1)的直线与 x +y =4 相交于 A、B 两点,则|AB|的 最小值为( A.2 ) B.2 3
7

C.3 [答案] B

D.2 5

[解析] 当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时,|AB|取最小值 2 3. → → (理)(2011?宝鸡五月质检)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A, 两点, OA+OB B 且| → → ) B.-2 D. 6或- 6 |=|OA-OB|(其中 O 为坐标原点),则实数 a 等于( A.2 C.2 或-2 [答案] C → → →
2 2 2

→ → → → →
2 2

[解析] ∵|OA+OB|=|OA-OB|, →
2

→ →
2

∴|OA| +|OB| +2OA?OB →
2



=|OA| +|OB| -2OA?OB, → → → ∴OA?OB=0,∴OA⊥OB, 画图易知 A、B 为圆 x +y =4 与两坐标轴的交点, 又 A、B 是直线 x+y=a 与圆的交点,∴a=2 或-2. 14.(文)若圆 C:x +y -ax+2y+1=0 和圆 x +y =1 关于直线 l1:x-y-1=0 对称, 动圆 P 与圆 C 相外切且与直线 l2:x=-1 相切,则动圆 P 的圆心的轨迹方程是________. [答案] y -6x+2y-2=0 [解析]
2 2 2 2 2

由题意知圆 C 的圆心为 C( ,-1),圆 x +y =1 的圆心为 O(0,0),由两圆关于直线 l1 2 对称,易得点(0,0)关于直线 l1:x-y-1=0 对称的点(1,-1)就是点 C,故 a=2,所以圆

a

2

2

8

C 的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=1,其半径为 1.设动圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 r,
由动圆 P 与圆 C 相外切可得:|PC|=r+1,由图可知,圆心 P 一定在直线 x=-1 的右侧, 所以由动圆 P 与直线 l2: x =-1 相切可得 r =x-(-1)=x +1.代入|PC|= r +1 得: ? x-1?
2

+?

y+1?

2

=x+2,整理得:y -6x+2y-2=0.

2

(理)(2012?天津,12)设 m、n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆 x +y =4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最 小值为________. [答案] 3 [解析] ∵l 与圆相交弦长为 2,∴ 1
2 2

m +n2

2

= 3,

1 1 1 1 2 2 ∴m +n = ≥2|mn|,∴|mn|≤ ,l 与 x 轴交点 A( ,0),与 y 轴交点 B(0, ), 3 6 m n 1 1 1 1 1 1 ∴S△AOB= | || |= ≥ ?6=3. 2 m n 2 |mn| 2 15.已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1) +(y-2) =4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值. [解析] (1)∵(3-1) +(1-2) >4,∴M 在圆外, 当过点 M 的直线斜率不存在时,易知直线 x=3 与圆相切. 当直线的斜率存在时,设直线的方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y-3k+1=0, |k-2+1-3k| ∵直线与圆相切,∴ =2, k2+1 3 解之得 k= , 4 3 ∴切线方程为 y-1= (x-3), 4 即 3x-4y-5=0. ∴所求的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. |a-2+4| (2)由 ax-y+4=0 与圆相切知 =2, 2 1+a 4 ∴a=0 或 a= . 3 (3)圆心到直线的距离 d= |a+2| 1+a
2 2 2 2 2



9

又 l=2 3,r=2,

l 2 3 2 2 ∴由 r =d +( ) ,可得 a=- . 2 4
16.(文)已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦为 AB,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明 理由. [解析] 依题意,设 l 的方程为 y=x+b,① 又⊙C 的方程为 x +y -2x+4y-4=0,② 联立①②消去 y 得: 2x +2(b+1)x+b +4b-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有
2 2 2 2 2 2

?x1+x2=-? b+1? , ? ? b2+4b-4 x1x2= , ? 2 ?



∵以 AB 为直径的圆过原点, → → ∴OA⊥OB,即 x1x2+y1y2=0, 而 y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b , ∴2x1x2+b(x1+x2)+b =0, 由③得 b +4b-4-b(b+1)+b =0, 即 b +3b-4=0,∴b=1 或 b=-4, ∴满足条件的直线 l 存在,其方程为
2 2 2 2 2

x-y+1=0 或 x-y-4=0.
(理)(2012?河南豫北六校精英联考)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点(0,- 3),(0, 3)的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,已知直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆过原点 O,求 k 的值; (3)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有|OA|>|OB|. [解析] (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3),(0, 3) 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆,它的短半轴 b= 2 -?
2

3?

2

=1,故椭圆方程为 +x =1. 4

y2

2

?y=kx+1, ? (2)由题意可知,以 AB 为直径的圆过原点 O,即 OA⊥OB,联立方程? 2 y2 ?x + 4 =1, ?



10

去 y 得(4+k )x +2kx-3=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由韦达定理可知:

2

2

x1+x2=-

2k 3 2,x1?x2=- 2, 4+k 4+k 4-4k 2 , 4+k
2

y1?y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=
→ → 所以,OA?OB=x1x2+y1y2=- →
2 2

3 4-4k 1 1 2 2+ 2 =0,得 k = ,即 k=± . 4+k 4+k 4 2
2 2 2 2 2


2 2 2 2

(3)|OA| -|OB| =x1+y1-(x2+y2)=x1-x2+y1-y2 =(x1-x2)(x1+x2)+k(x1-x2)[k(x1+x2)+2] =[2k+(1+k )(x1+x2)](x1-x2) = 6k?
2

x1-x2? . 2 4+k

因为 A 在第一象限,所以 x1>0, 3 又因为 x1?x2=- 2,所以 x2<0,故 x1-x2>0, 4+k 又因为 k>0,所以|OA|>|OB|.

1. (2011?豫南四校调研考试)直线 l 过点(-4,0)且与圆(x+1) +(y-2) =25 交于 A、

2

2

B 两点,如果|AB|=8,那么直线 l 的方程为(
A.5x+12y+20=0 B.5x-12y+20=0 或 x+4=0 C.5x-12y+20=0 D.5x+12y+20=0 或 x+4=0 [答案] D

)

[解析] ∵圆的半径为 5, AB|=8, | ∴圆心(-1,2)到直线 l 的距离为 3.当直线 l 的斜 率不存在时,因为直线 l 过点(-4,0),所以直线 l 的方程为 x=-4.此时圆心(-1,2)到直 线 l 的距离为 3,满足题意.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+4),即

kx-y+4k=0,则圆心(-1,2)到直线 l 的距离为

|-k-2+4k| 5 =3,解之得 k=- ,∴直 2 12 k +1

5 20 线 l 的方程为- x-y- =0,整理得 5x+12y+20=0.综上可得,满足题意的直线 l 方 12 12

11

程为 5x+12y+20=0 或 x=-4,故选 D. 2.已知圆 O1:(x-a) +(y-b) =4,O2:(x-a-1) +(y-b-2) =1(a、b∈R),那么 两圆的位置关系是( A.内含 C.相交 [答案] C [解析] 两圆半径分别为 2,1,因为 1<|O1O2|= 5<3,所以两圆相交. 3.直线 xsinθ +ycosθ =1+cosθ 与圆 x +(y-1) =4 的位置关系是( A.相离 C.相交 [答案] C |cosθ -1-cosθ | [解析] 圆心到直线的距离 d= =1<2, 2 2 sin θ +cos θ ∴直线与圆相交. 4.(2012?河南质量调研)直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =9 相交于两点 M、N,若 c →
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) B.内切 D.外切

)

B.相切 D.以上都有可能

→ ) B.-14 D.14

=a +b ,则OM?ON(O 为坐标原点)等于( A.-7 C.7 [答案] A → →

[解析] 记OM、ON的夹角为 2θ .依题意得,圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离等 于 |c|

a2+b2

=1,

1 1 2 7 2 ∴cosθ = ,∴cos2θ =2cos θ -1=2?( ) -1=- , 3 3 9 → → ∵OM?ON=3?3cos2θ =-7,选 A. 5.(2012?沈阳六校联考)已知两点 A(0,-3),B(4,0),若点 P 是圆 x +y -2y=0 上 的动点,则△ABP 面积的最小值为( A.6 C.8 [答案] B ) B. D. 11 2 21 2
2 2

12

[解析] 记圆心为 C,则由题意得|AB|=5,直线 AB: + =1,即 3x-4y-12=0, 4 -3 16 16 11 圆心 C(0,1)到直线 AB 的距离为 ,点 P 到直线 AB 的距离 h 的最小值是 -1= ,△ABP 5 5 5 1 5 5 11 11 11 的面积等于 |AB|h= h≥ ? = ,即△ABP 的面积的最小值是 ,选 B. 2 2 2 5 2 2 6.(2011?海淀期末)已知直线 l:y=-1,定点 F(0,1),P 是直线 x-y+ 2=0 上的 动点,若经过点 F、P 的圆与 l 相切,则这个圆面积的最小值为( A. π 2 B.π D.4π )

x

y

C.3π [答案] B

[解析] 由于圆经过点 F、P 且与直线 y=-1 相切,所以圆心到点 F、P 与到直线 y= -1 的距离相等.由抛物线的定义知圆心 C 在以点(0,1)为焦点的抛物线 x =4y 上,圆与直 线 x-y+ 2=0 的交点为点 P.显然,圆心为抛物线的顶点时,半径最小为 1,此时圆面积 最小,为 π .故选 B. 7. (2011?北京日坛中学摸底考试)若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x +4x+
2 2

y2-5=0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是(
A.0<k<5 C.0<k< 13 [答案] D 8.已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0.
2 2

)

B.- 5<k<0 D.0<k< 5

(1)若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点轨迹方程. [解析] 圆 C 的方程可化为(x+2) +(y-6) =16,设 l:y=kx+5,由 l 被⊙C 截得弦 |-2k-6+5| 长为 4 3及⊙C 半径 r=4 知 d=2,∴ =2, 2 1+k 3 ∴k= ,当 k 不存在时,切线 l 为 x=0, 4 3 ∴l 的方程为 y= x+5 或 x=0. 4 (2)设弦的中点为 M(x,y), 将 y=kx+5 代入⊙C 方程中得, (1+k )x +2(2-k)x-11=0, 2k-4 设弦两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2, 1+k
13
2 2 2 2

∴y1+y2=k(x1+x2)+10 = 2k -4k 12k -4k+10 , 2 +10= 2 1+k 1+k
2 2

∵M 为 AB 的中点, ∴x=

x1+x2
2

k-2 y1+y2 6k -2k+5 = = , 2,y= 2 1+k 2 1+k
2 2

2

消去 k 得所求轨迹方程为:x +y +2x-11y+30=0. [点评] 也可以直接由 x=

k-2 y-5 =k 消去 k 得出轨迹方程更简便些. 2及 1+k x

14


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com