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陕西省西安市长安区第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题

陕西省西安市长安区第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题

西安市长安区第一中学 2019 届高三上学期第一次模拟考试

数学(理)试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 100 分钟.

第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)

1. 复数 i ( i 为虚数单位)的虚部是(

)

1? 2i

A. 1 i

B. ? 1

C. ? 1 i

D. 1

5

5

5

5

2. 执行右面的框图,若输出结果为 1 ,则输入的实数 x 的值是 2

A. 3 2

B. 1 4

C. 2 2

D. 2

3.下列有关命题的说法正确的是

A.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.

B.函数 f (x) ? tan x 的定义域为{x | x ? k? ,k ?Z} .

C.命题“ ?x?R, 使得 x2 ? x ?1? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, 均有

x2 ? x ?1? 0 ” .

D.“ a ? 2 ”是“直线 y ? ?ax ? 2 与 y ? a x ?1 垂直”的必要不充分条件. 4

4.要得到函数 y ? sin 2x ? cos 2x 的图象,只要将函数 y ? sin 2x ? cos 2x 的图象沿 x 轴(

)

A.向右平移 ? 个单位 4
C.向右平移 ? 个单位 2

B.向左平移 ? 个单位 4
D.向左平移 ? 个单位 2

5. 设 (5x ? 1 )n 的展开式的各项系数和为 M ,二项式系数和为 N ,若 M ? N ? 240,则展开式中 x x

的系数为 A. ?150

B.150

C. 300

D. ?300

·1·

6.

已知函数

f

(

x)

?

??log ?log ??

2
1 2

x, x ? 0 (?x), x ?

0

,若

af

(?a)

?

0

,则实数

a

的取值范围是

A(. ?1,0)?(0,1)

B(. ? ?,?1)?(1,? ?)

C(. ?1,0)?(1,? ?)

D(. ? ?,?1)?(0,1)

7. 已知函数 f (x) ? sin(?x ? ? ) , (x ? R ,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f (x) 的图像向左平移 4
| ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则? 的一个值是

A. ? 2

B. 3? 8

C. ? 4

D. ? 8

?x ? 2 ? 0,

8.

已知点

P(

x,

y)

在不等式组

? ?

y

?

1

?

0,

表示的平面区域上运动,则 Z ? x ? y 的取值范围是

??x ? 2 y ? 2 ? 0

()

A.[-2,-1] B.[-1,2]

C.[-2,1]

D.[1,2]

9. 定义两种运算: a ? b ?

a2 ?b2 , a ?b ?

(a ? b)2

,则函数

f

?x?

?

2? x
2??x ?2?





A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

10. 若关于 x 的方程 | x | ? kx2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为 x?4

A. (0,1)

B. (1 ,1) 4

C. (1 , ??) 4

D. (1,??)

第Ⅱ卷 非选择题 (共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.

11. 已知椭圆 x2 ? ky2 ? 3k(k ? 0)的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该椭圆的离心率





12. 21 ?1 ? 2, 22 ?1? 3 ? 3? 4, 23 ?1? 3? 5 ? 4? 5? 6, 24 ?1? 3? 5? 7 ? 5? 6? 7 ?8,… 依此类推,第

n 个等式为

.

·2·

13. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三

角形,则这个几何体的体积为

.

14.已知向量

ar

?

(x,

r 2), b

?

(4,

y), cr

?

( x,

y)( x

?

0,

y

?

0)





ar

//

r b



cr

的最小值为



15. 设矩形区域 ? 由直线 x ? ? ? 和 y ? ?1 所围成的平面图 2
域 D 是由余弦函数 y ? cos x 、 x ? ? ? 及 y ? ?1所围成 2

11 题图

形,区 的平

面图形.在区域 ? 内随机的抛掷一粒豆子,则该豆子落在区域 D 的概率





三.解答题:本大题 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 1r3 分)

r

r

已知平面向量 a ? (cos?,sin ?) , b ? (cos x,sin x) , c ? (sin ?, ? cos?) ,其中 0 ? ? ? ? ,且

函数

f

(x)

?

r (a

r ?b) cos

x

?

rr (b ? c) sin

x

的图象过点 (?

,1)



6

(1)求? 的值;

(2)将函数 y ? f (x) 图象上各点的横坐标变为原来的的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g(x)

的图象,求函数 y ? g(x) 在[0, ? ]上的最大值和最小值. 2

17. (本小题满分 15 分)

某企业招聘工作人员,设置 A 、 B 、 C 三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊五

人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 A 组测试,丙、丁两人各自独立参加 B 组测试.已

知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 1 ,丙、丁两人各自通过测试的概率均为 1 .戊参加 C 组

3

2

测试, C 组共有 6 道试题,戊会其中 4 题.戊只能且必须选择 4 题作答,答对 3 题则竞聘成功.

(Ⅰ)求戊竞聘成功的概率;

(Ⅱ)求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率;

(Ⅲ)记 A 、 B 组测试通过的总人数为? ,求? 的分布列和期望.
18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC , ?ADC ? 90?, 平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA ? PD ? 2 ,
BC ? 1 AD ?1, CD ? 3 . 2
(Ⅰ)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ;

·3·

(Ⅱ)若 M 为棱 PC 的中点,求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值; P

M D

Q

C

A

B

19. (本小题满分 15 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 1 2

,椭圆的短轴端点与双曲线

y2 2

? x2 =1 的焦点

重合,过点 P(4,0) 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围;
20. (本小题满分 18 分)

已知函数 f (x) ? (2 ? a)(x ?1) ? 2 ln x, g(x) ? xe1?x.(a ? R, e ? 2.71828L )

(I)当 a ?1时,求 f (x) 的单调区间; (II)若函数 f (x) 在区间 (0, 1 ) 无零点,求 a 的最小值;
2
(III)若对任意给定的 x0 ??0,e?, 在 ?0, e? 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2)
使得 f (xi ) ? g(x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

长安一中高 2019 级高三第一次模考试卷

一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分

题号 1

2

3

4

答案 D

D

A

B

二、填空题: 每小题 5 分,共 25 分.

数学理科参考答案

5

6

7

B

A

D

8 9 10 BA C

·4·

3? 2

11.; 2 .;12. 2n×1×3×……(2n-1)=(n+1)·…(2n-1)·2n

13. 8 ? ? 3 ;14.4 15. P ? 2 ? ? .

6

2?

三、解答题
rr

16. (1) Q a ?b ? cos? cos x ? sin ? sin x ? cos(? ? x)

……………………1 分

r b

?

r c

?

cos

x

sin

?

?

sin

x

cos ?

?

sin(

x???

?? )x ?

……………………………2 分

rr

rr

? f (x) ? (a ?b) cos x ? (b ? c) sin x

? cos(? ? x) cos x ? sin(? ? x)sin x

? cos(? ? x ? x)

? cos(2x ??),

……………………………4 分

即 f (x) ? cos(2x ??)



f

? (

)

?

? cos(

??)

? 1,

6

3

而0?? ?? ,

∴? ? ? . 3

(2)由(1)得, f (x) ? cos(2x ? ? ) , 3

于是 g(x) ? cos(2(1 x) ? ? ) , 23

即 g(x) ? cos(x ? ? ) . 3

当 x ?[0, ? ] 时, ? ? ? x ? ? ? ? ,

2

3

36

所以 1 ? cos(x ? ? ) ? 1,

2

3

……………………………6 分 ……………………………9 分
……………………………11 分

即当 x ? 0 时, g(x) 取得最小值 1 , 2
当 x ? ? 时, g(x) 取得最大值1. 3

……………………13 分

17.解: (I) 设戊竞聘成功为 A 事件,则

? ? P

A

=

C44

+C43C21 C64

= 1+8 = 3 15 5

…………4 分

(Ⅱ)设“参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数”为 B 事件

p

?

B?

?

1 3

?

2 3

?

2?

? ??

1 2

2
? ? ?

?

1 3

?

1 3

?

3 4

?

7 36

………5 分

·5·

(Ⅲ)? 可取 0,1,2,3,4
?0 1 2 3 4 P 4 12 13 6 1
36 36 36 36 36

E? ? 5 (注:每个概率 1 分,列表 1 分,期望 1 分)…………6 分 3
18.证明:

(Ⅰ)∵AD // BC,BC= 1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,

∴CD // BQ .

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD

且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,

∴BQ⊥平面 PAD.

∵BQ ? 平面 PQB,

∴平面 PQB⊥平面 PAD.

……………6 分

z

另证:AD // BC,BC= 1 AD,Q 为 AD 的中点∴ BC // DQ 且 BC= DQ,

P

2

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ .

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即 QB⊥AD.

D

∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.

∵ PQ∩BQ=Q,

Q

∴AD⊥平面 PBQ.

∵ AD ? 平面 PAD,

A

∴平面 PQB⊥平面 PAD.

…………6 分

x

(Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,

∴PQ⊥AD.

∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且

平面 PAD∩平面 ABCD=AD,

∴PQ⊥平面 ABCD.

…………8 分

(注:不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分)

M C
B y

如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则 Q(0, 0, 0) , A(1,0,0) ,P(0, 0, 3) ,B(0, 3, 0) ,

C(?1, 3, 0)

∵M 是 PC 中点,∴ M (? 1 , 3 , 3 ) 22 2

uuur ∴ AP ? (?1,0,

3),

uuuur BM

?

(?

1

,

?

3,

3)

2 22

设异面直线 AP 与 BM 所成角为?

·6·

uuur uuuur
则 cos? ? | cos ? AP, BM ?|?|

uuur uuuur uAuuPr ? BuuMuur

|=2

7

| AP || BM | 7

∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为 2 7 7
(注:用传统方法相应给分,找角 2 分,求解 2 分)

…………8 分,

19.解(Ⅰ)解:由题意知 e ?

c a

? 1 ,∴ e2 2

?

c2 a2

?

a2 ? b2 a2

?

1 ,即 a2 4

?

4 b2 ……2 分 3

? ? 又双曲线的焦点坐标为 0, ? 3 , b= 3 ,

………………3 分

∴ a2 ? 4,b2 ? 3 故椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1 43

………………6 分

(Ⅱ)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k(x ? 4)

? y ? k(x ? 4)



? ?

x2

?? 4

?

y2 3

得: ?1

(4k 2 ? 3)x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0

由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 1 4

…………9 分

设 A(x1,y1),B

(x2,y2),则 x1

? x2

?

32k 2 4k 2 ?

3

,x1

x2

?

64k 2 4k 2

? 12 ?3



∴ y1 y2 ? k(x1 ? 4)k(x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 (x1 ? x2 ) ? 16k 2 …………7 分

? ? uuur uuur
?OA?OB=x1x2 +y1y2 = 1+k 2

?

64k 2 -12
2
4k +3

- 4k 2

?

32k 2 4k 2 +3

+16k 2

= 25-

87 4k 2 +3

…11



0

?

k

2

<

1 4



-

87 3

?

-

87 4k 2 +3

<-

87 4

,…………9



uuur OA

?

uuur OB

?

???-4, 143

? ??

uuur OA

?

uuur OB

的取值范围是

???-4,

13 4

? ??

…………15 分

20、解:(I)当 a ? 1时, f (x) ? x ?1? 2ln x,则f ?(x) ? 1 ? 2 , …………2 分 x

由 f ?(x) ? 0,得x ? 2;由 f ?(x) ? 0,得0 ? x ? 2.

…………3 分

故 f (x)的单调减区间为?0,2?,单调增区间为?2, ???. …………4 分
(II)∵函数 f (x)在(0, 1) 上无零点, 2
·7·

∴对任意的 x ? (0, 1), f (x) ? 0 恒成立,或者 f (x) ? 0 恒成立, 2

因为 f (x) ? 0在区间(0, 1) 上恒成立不可能, 2

所以对 x ? (0, 1), a ? 2 ? 2 ln x 恒成立.

2

x ?1

……6 分

令 l(x) ? 2 ? 2ln x , x ? (0, 1),

x ?1

2

2 (x ?1) ? 2 ln x 2 ln x ? 2 ? 2

则 l?(x) ? ? x (x ?1)2

?

x (x ?1)2

,

…………7 分

再令m(x) ? 2 ln x ? 2 ? 2, x ? (0, 1),

x

2

则m?( x)

?

?

2 x2

?

2 x

?

?2(1 ? x2

x)

?

0,

故m(x)在(0, 1)上为减函数,于是m(x) ? m(1) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0,

2

2

…………9 分

所以l?(x) ? 0,故l(x)在(0, 1)上为增函数,

2

所以l(x) ? l(1) ? 2 ? 4 ln 2, 2
故要使a ? 2 ? 2 ln x 恒成立,只要a ??2 ? 4 ln 2, ???,
x ?1
综上,若函数 f (x)在(0, 1)上无零点, 则a的最小值为2 ? 4ln 2. …………11 分 2
(III) g ?(x) ? e1?x ? xe1?x ? (1 ? x)e1?x ,

当x ? (0,1)时, g?(x) ? 0,函数g(x)单调递增;
当x ??1, e?时, g?(x) ? 0,函数g(x)单调递减.
又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e?e1?e ? 0,

所以,函数 g(x)在?0,e?上的值域为?0,1?.

…………12 分

当a ? 2时,不合题意;

·8·

当a

?

2时,

f

?(

x)

?

2

?

a

?

2

?

(2

?

a)

x

?

2

?

(2

?

a)( x

?

2

2 ?

a

)

,

x

?

?0,

e?

x

x

x

当x ? 2 时, f ?(x) ? 0.由题意得, f (x)在?0, e?上不单调,
2?a

故 0 ? 2 ? e,即a ? 2 ? 2



2?a

e

此时,当 x变化时, f ?(x), f (x) 的变化情况如下:

…………14 分

x
f ?(x)

(0, 2 ) 2? a


2 2? a
0

? ??

2

2 ?

a

,

e

? ??

+

f (x)

最小值

又因为当x ? 0时, f (x) ? ??,

f ( 2 ) ? a ? 2 ln 2 , f (e) ? (2 ? a)(e ?1) ? 2, 所以,当且仅当a满足下列条件 :

2?a

2?a

? ? ?

f

( 2

2 ?

) a

?

0,即 ???a

?

2 ln

2

2 ?

a

?

0L

L

?? f (e) ? 1,

??(2 ? a)(e ?1) ? 2 ?1L

经验证②对任意 a ? (??, 2 ? 2) 恒成立. e
由③式解得: a ? 2 ? 3 . ④ e ?1

…………16 分

综合①④可知,当

a

?

? ??

??,

2

?

e

3 ?

? 1??

时,

对任意给定的x0

?

?0,

e?,

在 ?0,e?上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2), 使 f (xi ) ? g(x0 ) 立…………18 分

·9·


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