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湖北省武汉市东湖中学高三数学:3.6《正弦定理和余弦定理》同步训练

湖北省武汉市东湖中学高三数学:3.6《正弦定理和余弦定理》同步训练

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1.在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“a<b”是使“cosA>cosB”成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.△ABC 中,a= 5,b= 3,sinB= 22,则符合条件的三角形有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个

3.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面积 为( )

A.2 2 B.8 2 C. 2

2 D. 2

4.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( )

5

3

3

7

A.18

B.4

C. 2

D.8

5.(2010·惠州模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,

则角 B 的值为( )

π A.6

π B.3

C.π6或56π

D.π3或23π

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120°,c= 2a,则( )

A.a>b

B.a<b

C.a=b

D.a 与 b 的大小关系不能确定

7.[2011·浙江卷]在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acosA=bsinB,则 sinAcosA +cos2B=( )

A.-12

1 B.2

C.-1 D.1

8.[2011·重庆卷]若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60°,

则 ab 的值为( )

4 A.3

B.8-4 3 C.1

2 D.3

9.[2011·重庆卷]若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则 cosB=( )

15

3

A. 4

B.4

3 15

11

C. 16

D.16

10.[2011·东北三校一模] 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若∠A∶∠B

=1∶2,且 a∶b=1∶ 3,则 cos2B 的值是( )

A.-12

1 B.2

C.-

3 2

3 D. 2

11.[2011·北京西城一模] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 的

面积,若 acosB+bcosA=csinC,S=14(b2+c2-a2),则∠B=(

)

A.90° B.60° C.45° D.30° 12.[2011·四川卷] 在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是( )

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A.??0,π6?? B.??π6,π?? C.??0,π3?? D.??3π,π??

13.[2011·辽宁卷]△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2

a,则ba=( )

A.2 3 B.2 2 C. 3

D. 2

14.在△ABC 中,cos2B2=a+ 2cc,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为(

)

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2b=a+c,则角 B 的取值范围是( )

A.(π2,π] B.(π3,π2] C.(0,π2] D.(0,π3]

16.[2011·课标全国卷] 在△ABC 中,B=60°,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. 17.[2011·福建卷] 如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°, 则 AD 的长度等于________. 18.在△ABC 中,若 a=3 2,cosC=13,S△ABC=4 3,则 b=__________.

19.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3b-c) cosA=acosC,则 cosA=

________. 20.(2010·新课标全国卷)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=12CD,∠ADB=120°,AD=

2.若△ADC 的面积为 3- 3,则∠BAC=________.

21.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若ba+ab=6cosC,则ttaannCA+ttaannCB的

值是_______.

22.[2011·江苏卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.
(1)若 sin??A+6π??=2cosA, 求 A 的值;
(2)若 cosA=13,b=3c,求 sinC 的值.

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23.[2011·山东卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知cosAc-os2BcosC=2c-b a. (1)求ssiinnCA的值; (2)若 cosB=14,b=2,求△ABC 的面积 S.
24.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 atanB=230,bsinA=4. (1)求 cosB 和 a; (2)若△ABC 的面积 S=10,求 cos4C 的值.
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25.已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosC+12c=b.

(1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

3.6 正弦定理和余弦定理 1.解析:a<b?A<B?cosA>cosB.答案:C

2.解析:∵asinB= 210,∴asinB<b= 3<a= 5,

∴符合条件的三角形有 2 个.答案:B

3.解析:∵sianA=sibnB=sincC=2R=8,∴sinC=8c,

∴S△ABC=12absinC=116abc=116×16 2= 2.答案:C 4.解析:设等腰三角形的底边为 a,顶角为 θ,则腰长为 2a.由余弦定理得 cosθ=4a2+84aa22-a2

=78.

答案:D 5.∵a2+2ca2c-b2=cosB,结合已知等式得 cosB·tanB= 23,∴sinB= 23.答案:D

6.解析:法一由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,即(ba)2+ba-1=0,ba=

-1+ 2

5<1,故 b<a.

法二:由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120°,

b2+ab-a2=0,b=a+a2b,由 a<a+b 得 b<a.

答案:A
7.D【解析】 ∵acosA=bsinB,∴sinAcosA=sin2B, ∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1 8.由(a+b)2-c2=4,得 a2+b2-c2+2ab=4. ① 由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60°=ab,② 将②代入①得 ab+2ab=4,即 ab=43.故选 A. 9.D 由正弦定理得 sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR, 代入 6sinA=4sinB=3sinC,得 6a=4b=3c,

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∴b=32a,c=2a, 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB,① 将 b=32a,c=2a 代入①式,解得 cosB=1116.故选 D.
10.A 11.C 12.C 根据正弦定理有 a2≤b2+c2-bc,由余弦定理可知 a2=b2+c2-2bccosA,所以 b2+c2-
2bccosA≤b2+c2-bc,即有 cosA≥12,所以角 A 的取值范围为??0,π3??,选择 C.
13.D 由正弦定理sianA=sibnB得 asinB=bsinA,所以 asinAsinB+bcos2A= 2a 化为 bsin2A+bcos2A
= 2a,即 b= 2a,故选 D. 14.解析:∵cos2B2 =a2+c c,∴cosB2+1=a2+c c,∴cosB=ac,∴a2+2ca2c-b2=ac,

∴a2+c2-b2=2a2,即 a2+b2=c2,

∴△ABC 为直角三角形.答案:B 15.解析:∵cosB=a2+2ca2c-b2=a2+c22-ac?a+4 c?2=3?a2+8ca2c?-2ac=3?a82+ acc2?-14≥34-14=12,即

cosB∈[12,1),∴B∈(0,π3].答案:D

16.2 7【解析】 因为 B=60°,A+B+C=180°,所以 A+C=120°,

由正弦定理,有sAinBC=sBinCA=sAinCB=sin630°=2, 所以 AB=2sinC,BC=2sinA. 所以 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin(120°-A)+4sinA=2(sin120°cosA-cos120°sinA)+4sinA

= 3cosA+5sinA=2 7sin(A+φ),(其中 sinφ= 3 ,cosφ= 5 )

27

27

所以 AB+2BC 的最大值为 2 7.

17.【答案】 2

【解析】 在△ABC 中,由余弦定理,有

cosC=AC2+2ABCC·B2-C AB2=2×?22×32?2

= 3

23,

则∠ACB=30°.

在△ACD 中,由正弦定理,有

sAinDC=sin∠ACADC,

∴AD=ACsi·ns4in53°0°=2×212= 2,即 AD 的长度等于 2.

2

18.解析:∵cosC=13,∴sinC= 1-?13?2=2 3 2,

又 S△ABC=4 3,即12absinC=4 3,∴b=2 3.

答案:2 3

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20.解析:由∠ADB=120°知∠ADC=60°, 又因为 AD=2,所以 S△ADC=12AD·DCsin60°=3- 3,所以 DC=2( 3-1), 又因为 BD=12DC,所以 BD= 3-1,过 A 点作 AE⊥BC 于 E 点,则 S△ADC=12DC·AE=3- 3, 所以 AE= 3,又在直角三角形 AED 中,DE=1, 所以 BE= 3,在直角三角形 ABE 中,BE=AE, 所以△ABE 是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°, 在直角三角形 AEC 中,EC=2 3-3, 所以 tan∠ACE=EACE=2 33-3=2+ 3, 所以∠ACE=75°, 所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.答案:60° 21.解析:取 a=b=1,则 cosC=13,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=43, ∴c=2 3 3,在如图所示的等腰三角形 ABC 中,可得 tanA=tanB= 2, 又 sinC=23 2,tanC=2 2,∴ttaannCA+ttaannCB=4. 另解:由ba+ab=6cosC 得,a2a+bb2=6·a2+2ba2b-c2, 即 a2+b2=32c2, ∴ttaannCA+ttaannCB=tanC(csoinsAA+csoinsBB)=cosCssinin2CAsinB=a2+2bc22-c2=4.答案:4 22.(1)由题设知 sinAcos6π+cosAsin6π=2cosA.从而 sinA= 3cosA,所以 cosA≠0,tanA= 3,因 为 0<A<π,所以 A=π3. (2)由 cosA=13,b=3c 及 a2=b2+c2-2bccosA, 得 a2=b2-c2. 故△ABC 是直角三角形,且 B=π2, 所以 sinC=cosA=13.
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23.(1)由正弦定理,设sianA=sibnB=sincC=k, 则2c-b a=2ksinkCsi-nBksinA=2sinsCin-BsinA, 所以cosAc-os2BcosC=2sinCsin-BsinA. 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C).又 A+B+C=π, 所以原等式可化为 sinC=2sinA,因此ssiinnCA=2.

(2)由ssiinnCA=2 得 c=2a.

由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 及 cosB=14,b=2,

得 4=a2+4a2-4a2×14,解得 a=1,从而 c=2.

又因为 cosB=14,且 0<B<π.所以 sinB=

15 4.

因此 S=12acsinB=12×1×2×

415=

15 4.

24.解:(1)由 bsinA=4,得 asinB=4,

又 atanB=230,∴cosB=35.

又由 atanB=230知 tanB>0,

则 sinB=45,tanB=43,故 a=5.

(2)由 S=12acsinB,得 c=5,∴A=C.

由 cos4C=2cos22C-1=2cos2(A+C)-1=2cos2B-1

=2×(35)2-1=-275.

25.解:(1)由 acosC+12c=b 和正弦定理得,

sinAcosC+12sinC=sinB,

又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

∴12sinC=cosAsinC,∵sinC≠0,∴cosA=12,

∵0<A<π,∴A=π3.

(2)由正弦定理得,b=assiinnAB=

23sinB,c=assiinnAC=

2 sinC, 3

则 l=a+b+c=1+ 2 (sinB+sinC) 3

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=1+ 2 [sinB+sin(A+B)] 3
=1+2( 23sinB+12cosB)=1+2sin(B+6π). ∵A=3π,∴B∈(0,23π),∴B+π6∈(π6,56π), ∴sin(B+π6)∈(12,1], ∴△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3].
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