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最新高考数学(理)一轮复习测试第十二篇坐标系与参数方程(选修4-4) 第1节坐标系及答案

最新高考数学(理)一轮复习测试第十二篇坐标系与参数方程(选修4-4) 第1节坐标系及答案

选考部分 第十二篇 坐标系与参方程(选修 4-4) 第1节 坐标系 【选题明细表】 知识点、方法 极坐标与直角坐标的互 直线和圆的极坐标方程及应用 简单曲线的极坐标方程及应用 题号 1 2 3,4 1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设☉C 的 极坐标方程为ρ=2sin θ,点 P 为☉C 上一动点,点 M 的极坐标为(4, ),点 Q 为线段 PM 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C1 的方程; (2)试判定轨迹 C1 和☉C 的位置关系,并说明由. 解(1)由☉C 的极坐标方程为ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ, 所以☉C 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0, 又点 M 的极坐标为(4, ), 所以点 M 的直角坐标为(0,4). 设点 P(x0,y0),点 Q(x,y),则有 +(y0-1)2=1.(*) 因为点 Q 为线段 PM 的中点, 所以 代入(*)得轨迹 C1 的方程为 x2+(y- )2= . (2)因为☉C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为 1, 而轨迹 C1 是圆心为(0, ),半径为 的圆, 所以两圆的圆心距为 ,等于两圆半径和,所以两圆外切. 2.在极坐标系中,曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为ρ=-2cos θ, ρcos(θ+ )=1. (1)求曲线 C1 和 C2 的公共点的个; (2)过极点作动直线与曲线 C2 相交于点 Q,在 OQ 上取一点 P,使|OP|·|OQ|=2,求点 P 的轨迹,并指出轨迹是什么图形. 解(1)C1 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为 1 的圆,C2 的直 角坐标方程为 xy-2=0,所以曲线 C2 为直线, = >1, 由于圆心到直线的距离为 d= 所以直线与圆相离,即曲线 C1 和 C2 没有公共点. (2)设 Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则 即 ① 因为点 Q(ρ0,θ0)在曲线 C2 上, 所以ρ0cos(θ0+ )=1, ② 将①代入②,得 cos(θ+ )=1, 即ρ=2cos(θ+ )为点 P 的轨迹方程,为直角坐标方程为(x- )2+(y+ )2=1,因此点 P 的轨迹是以( ,- )为圆心,1 为半径的圆. 3. 导学号 49612292 在极坐标系中,圆 C 是以点 C(2,- )为圆心,2 为半径的圆. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求圆 C 被直线 lθ=- (ρ∈R)所截得的弦长. 解法一 (1)设所求圆上任意一点 M(ρ,θ),如图, 在 Rt△OAM 中,∠OMA=90°, ∠AOM=2π-θ- ,|OA|=4. 因为 cos ∠AOM= , 所以|OM|=|OA|·cos ∠AOM, 即ρ=4cos(2π-θ- )=4cos(θ+ ), 验证可知,极点 O 与 A(4,- )的极坐标也满足方程, 故ρ=4cos (θ+ )为所求. (2)设 lθ=- (ρ∈R)交圆 C 于点 P, 在 Rt△OAP 中,∠OPA=90°,易得∠AOP= , 所以|OP|=|OA|cos ∠AOP=2 . 法二 (1)圆 C 是将圆ρ=4cos θ绕极点按顺时针方向旋转 而得到的圆,所以圆 C 的极坐标方程是ρ=4cos(θ+ ). (2)将θ=- 代入圆 C 的极坐标方程ρ=4cos(θ+ ),得ρ=2 ,所以圆 C 被直线 lθ =- (ρ∈R)所截得的弦长为 2 . 4. 已 知曲 线 C1 的极坐 标 方程 为ρ cos( θ - )=-1, 曲线 C2 的 极坐 标 方程 为 ρ =2 cos(θ- ).以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 解(1)依题意得ρ=2 cos(θ- )=2(cos θ+sin θ), 即ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), 可得 x2+y2-2x-2y=0, 故 C2 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2. (2)曲线 C1 的极坐标方程为ρcos(θ- )=-1, 即ρ( cos θ+ sin θ)=-1, 为直角坐标方程为 x+ y+2=0, 为 半 径 的 圆 , 且 圆 心 到 直 线 C1 的 距 离 由 (1) 知 曲 线 C2 是 以 (1,1) 为 圆 心 , d= = >r= , 于是直线与圆相离,所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 .

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