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2019人教版高中数学必修四课件:2.5 平面向量应用举例 精讲优练课型_图文

2019人教版高中数学必修四课件:2.5 平面向量应用举例 精讲优练课型_图文

2.5 平面向量应用举例 【知识提炼】 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤” 向量 表示问题中涉及的几何元素, (1)建立平面几何与向量的联系,用_____ 向量问题 将平面几何问题转化为_________. 向量运算 研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. (2)通过_________ (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力F与位移s的数量积. 【即时小测】 1.思考下列问题. (1)若 AB CD ,则直线AB与CD平行吗? 提示:不一定. AB CD ,则直线AB与CD平行或重合. (2)向量 AB , CD 的夹角是直线AB,CD的夹角吗? ? 提示:不一定是.因为直线AB,CD的夹角范围为 [0, 所以当 AB与CD ], 2 的夹角是锐角或直角时,即为直线AB与CD的夹角,否则不是. 2.若向量 OF1 =(2,2),OF2 =(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2| 为( ) B.(4,-1) C.2 2 D.5 A.(0,5) 【解析】选D.因为F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5), 所以|F1+F2|=5. 3.力F=(-1,-2)作用于质点P,使P产生的位移为s=(3,4),则力F对 质点P做的功是________. 【解析】因为W=F·s=(-1,-2)·(3,4)=-11,所以力F对质点P做 的功是-11. 答案:-11 【知识探究】 知识点1 向量在平面几何中的应用 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:向量方法可解决平面几何中的哪些问题? 问题2:利用向量法如何证明相等、平行、垂直、三点共线及求角? 【总结提升】 向量方法在平面几何中应用的五个主要方面 (1)要证明两线段相等,如AB=CD,则可转化为证明 AB2 ? CD2 . (2)要证明两线段平行,如AB∥CD,则只要证明存在实数λ ≠0,使 AB ? ?CD 成立,且AB与CD无公共点. (3)要证明两线段垂直,如AB⊥CD,则只要证明数量积 AB ? CD ? 0. (4)要证明A,B,C三点共线,只要证明存在一实数λ ≠0,使 AB ? ?AC. (5)要求一个角,如∠ABC,只要求向量 BA与向量 BC 的夹角即可. 知识点2 向量在物理中的应用 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:在物理学中,你知道哪些知识与向量的线性运算有关系? 问题2:如何利用向量方法解决物理中的相关问题? 【总结提升】 向量在物理中应用时要注意的三个问题 (1)把物理问题转化为数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成 数学模型. (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象. (3)在解决具体问题时,要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相 关知识: ①力、速度、加速度和位移都是向量; ②力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法; ③动量mv是数乘向量; ④功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积. 【题型探究】 类型一 平面几何中的垂直问题 【典例】1.在四边形ABCD中, BD=(-4,2),则该四边形 AC =(1,2), 的面积为( A. 5 ) B.2 5 C.5 D.10 2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点. 求证:AF⊥DE(利用向量证明). 【解题探究】1.典例1中由 AC与BD 的坐标表示,可以得出AC,BD存 在怎样的位置关系? 提示:由 AC ? BD =0,可知AC⊥BD,即平行四边形的对角线互相垂直. 2.典例2中,要证明AF⊥DE,如何采用向量法求证? 提示:证明 AF ? DE ? 0. 【解析】1.选C.因为 AC ? BD =1×(-4)+2×2=0,所以 1 1 以四边形ABCD的面积是 | AC | ? BD ? ? 5 ? 20 ? 5. 2 2 AC,所 ? BD 2.方法一:设 AB ? a, AD ? b, 1 则 AF ? a ? 1 b, ED ? b ? a, 2 2 所以 AF ? ED ? (a ? 1 b) ? (b ? 1 a) ? 1 b 2 ? 1 a 2 ? 3 a ? b. 2 2 2 2 4 又AB ? AD ,且 AB ? AD , 所以a2=b2,a·b=0,所以 =0,所以 AF ? 即AF⊥DE. ED , AF ? ED 方法二:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 设正方形的边长为1. 1 1 ,1). 则A(0,0) , D(0 E( , 0),F(1 , ), 2 1 1 所以 AF ? (1, ) ? ? 0, 0 ? ? (1 , ), 2 2 1 1 DE ? ( , 0) ? ? 0, 1? ? ( , ? 1), 2 2 1 1 又 AF ? DE ? (1, )?( , ? 1) ? 0, 2 2 2 所以 AF ? DE 即AF⊥DE. , 【方法技巧】利用向量解决垂直问题 (1)方法:对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件, 即向量的数量积为0. (2)途径:可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式. 【变式训练】如图所示,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上一点, PFCE是矩形, 证明:PA⊥EF. 【证明】以点D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 设正方形的边长为1, DP ? ? 0 ? ? ? 2 , 2 2 2 2 ?, ?),E(1, ?),F( ?, 0), 2 2 2 2 2 2 2 2 于是 PA ? (? ?, 1? ?), EF ? ( ? ? 1, ? ? ), 2

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