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2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测:2.2.1等差数列的概念与通项公式_图文

2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测:2.2.1等差数列的概念与通项公式_图文

◆数学?必修5?(配人教A版)◆

数 列

2.2 2.2.1

等差数列

等差数列的概念与通项公式

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1.通过实例,理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式.

3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系, 并能用有关知识解决相应的问题.
4.体会等差数列与一次函数的关系.

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基础梳理 1.等差数列的定义:____________________. 定义的数学式表示为:__________________________. (2)判断下列数列是否是等差数列 ①2,4,6,8,10; ②1,3,5,8,9,10. 2.(1)首项为a1公差为d的等差数列{an}的通项公式为: ____________.

答案:1.从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一 个常数 an-an-1=d (与n无关的常数),n≥2,n∈N+
练习1:(1)是;(2)不是. 2.an=a1+(n-1)d 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修5?(配人教A版)◆ (2)写出下列数列的通项公式
①2,4,6,8,10; ②0,5,10,15,20,…. 3.(1)等差中项的定义:______________________. (2)求下列各组数的等差中项

①2,4;②-3,9.
答案:练习2:(1)an=2n,n=1,2,3,4,5; (2)an=5n-5,n∈N*

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4.(1)等差数列当公差______时,为递增数列;当 公差______时,为递减数列.

(2)判断下列数列是递增还是递减数列
①等差数列3,0,-3,…;

②数列{an}的通项公式为:an=2n-100(n∈N*).
5.等差数列的图象的特点是:________________. 答案:4.d>0 d<0 练习4:(1)是递减数列;(2)是递增数列

5.一条直线上的一群孤立点
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自测自评 1.{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公 差d=( ) A.-2
1 C. 2

B.- 2 D.2

1

解析:由题意知a1+6d-2(a1+3d)=-1,①

a1+2d=0,②
1 由①②可得d=- ,a1=1. 2

答案:B

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(

2.等差数列a-2d,a,a+2d,…的通项公式是 )
A.an=a+(n-1)d B.an=a+(n-3)d

C.an=a+2(n-2)d

D.an=a+2nd

解析:数列的首项为a-2d,公差为2d,∴an=(a- 2d)+(n-1)· 2d=a+2(n-2)d.

答案:C

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3.已知点(n,an)(n∈N*)都在直线3x-y-24=0上, 那么在数列{an}中有( A.a7+a9>0 C.a7+a9=0 ) B.a7+a9<0 D.a7· a9=0

解析:由题意知通项公式an=3n-24,

∴a7+a9=(3×7-24)+(3×9-24)=0.
答案:C

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等差数列的通项公式 等差数列{an}中,已知a9=3,a18=12,求

a36、an.
解析:由a9=3得:a1+8d=3,

由a18=12得:a1+17d=12.
解方程组得:d=1,a1=-5.

∴a36=-5+35=30;
an=-5+(n-1)=n-6,n∈N*. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练 1.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断

153是否是这个数列中的项?如果是,是第几项?
解析:法一:设等差数列的公差为d,则 an=a1+(n-1)d. ∵a15=33,a61=217, ? ? ?33=a1+14d, ?a1=-23, ∴? 解得? ? ? ?217=a1+60d, ?d=4, ∴an=-23+(n-1)· 4=4n-27. 令an=153,则4n-27=153,得n=45∈N*, ∴153是所给数列的第45项. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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法二:∵{an}不是常数列, ∴{an}的通项公式是关于n的一次函数.假设153是该 数列的第n项,则(15,33)、(61,217)、(n,153)三点共线.

217-33 153-33 * ∴ = ,解得 n=45∈N , 61-15 n-15
∴153是所给数列的第45项.

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◆数学?必修5?(配人教A版)◆ 等差中项的应用
在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五 个数成等差数列,求此数列.
解析:法一:∵-1,a,b,c,7 成等差数列, ∴b 是-1 与 7 的等差中项, -1+7 ∴b= =3. 2 a 又是-1 与 3 的等差中项, -1+3 ∴a= =1. 2 c 又是 3 与 7 的等差中项, 3+7 ∴c= =5. 2 法二:设 a1=-1,a5=7, ∴7=-1+(5-1)d?d=2,an=-1+(n-1)· 2=2n-3, ∴所求的数列为-1,1,3,5,7.

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跟踪训练 2.某办公室共有6个人,其年龄成等差数列,已知年龄 最大的为52岁,而6个人的年龄和为237岁,求年龄最小的为 多少岁? 解析:设等差数列的a1=52,公差为d,则d<0,

∴a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)+(a1 +5d)=237,
∴52×6+15d=237,∴d=-5, ∴a1+5d=52-5×5=27, ∴年龄最小的应为27岁. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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等差数列的判定 已知数列{an},满足a1=2,an+1= (1)数列 (2)求an. 是否为等差数列?说明理由. ,

1 1 分析:先将递推公式变形,推导 - 为常数. an+1 an ?1? 解析:(1)数列?a ?是等差数列,理由如下: ? n? 2an ∵a1=2,an+1= , an+2 an+2 1 1 1 1 1 1 ∴ = = + ,∴ - = . 2 an an+1 2an an+1 an 2 ?1? 1 1 1 ? ? 即 a 是首项为 = ,公差为 d= 的等差数列. a1 2 2 ? n? 1 1 n 2 (2)由上述可知 = +(n-1)d= ,∴an= . an a1 2 n

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跟踪训练 3.在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该

数列的通项an=________.
解析:由an+1=an+2(n≥1)可得数列{an}是公差为2 的等差数列,又a1=1,所以an=2n-1. 答案:2n-1

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一、选择填空题 1.有穷等差数列5,8,11,…,3n+11(n∈N*)的项数 是( ) A.n B.3n+11

C.n+4

D.n+3

解析:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数 列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数 为n+3.故选D. 答案:D

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2.若{an}是等差数列,则由下列关系确定的数列 {bn}也一定是等差数列的是( )

A.bn=a
C.bn=an+an+1

B.bn=an+n2
D.bn=nan

解析:{an}是等差数列,设an+1-an=d,则数列
bn=an+an+1满足: bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d.

故选C.
答案:C

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1.用好等差数列的定义与掌握好等差数列的通项公式 是关键;写数列通项公式时注意n的取值范围;如预习导学 中的练习2. 2.注意等差数列与一次函数间关系,如自测自评中第 3题. 3.题设中有三个数成等差数列时,一般设这三个数为: a-d、a、a+d. 若五个数成等差一般设为:a-2d、a-d、a、a+d、a +2d.有时也直接设为等差数的通项形式,具体问题具体分 析,设的目的是便于计算,要灵活选择设的方法. 4.等差中项有广泛应用,要准确理解其含义. 5.证明数列为等差数列的方法有:定义法、通项公式 法、等差中项法. 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

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