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四川省雅安市重点中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理

四川省雅安市重点中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理


雅安中学 2014—2015 学年高二年级下期期中 数学试题(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考试结束后,将答题卡和机读卡一并收回。 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,每个小题给出的四个选项中,只有唯一 个选项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填涂在机读卡上。) 1、i 是虚数单位,计算 i ? i ? i ? (
2 3

) C.-1 D.1

A. ?i

B. i )

2 2、若 A3 n ? 12Cn ,则 n =(

A.8

B.7

C.6

D.4 )

3、6 个人排队,其中甲、乙、丙 3 人两两不相邻的排法有( A.30 种
4

B.144 种
3

C.5 种
2

D.4 种 ) D. x
5

4、化简 ? x ? 4 ? ? 4 ? x ? 4 ? ? 6 ? x ? 4 ? ? 4 ? x ? 4 ? ? 1 得( A. x
4

B. ? x ? 4 ?

4

C. ? x ? 1?

4

5、从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的取法有( A.120 B.60 C.240 D.180



6、设 f ?( x ) 是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可 能正确的是( )

7、 题中,不正确的个数为( )

在以下命

①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;②若 a∥b,则存在唯一的实数λ ,使 a= ? b; ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若 OP ? 2 OA? 2 OB ? OC ,则 P,A,B,C 四点共 面; ④若{a, b, c}为空间的一组基底, 则{a+b, b+c, c+a }构成空间的另一组基底; ⑤|(a· b )· c| =|a|·|b|·|c|. A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
? ? ? ?

1

8、已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,那么下列结论中错误的是( A. B.函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减



? x0 ? R , 使 f ? x0 ? ? 0
? ?

D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0
?

9、已知 OA =(1,2,3), OB =(2,1,2), OP =(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA? QB 取 得最小值时,点 Q 的坐标为( A. ? , , ? )

?

?

?1 3 1? ? 2 4 3?

B. ? , , ?

?4 4 8? ? 3 3 3?

C. ? , , ? )

?1 3 3? ?2 2 4?

D. ? , , ?

?4 4 7? ?3 3 3?

10、若 x ? [0, ??) ,则下列不等式恒成立的是(

A.

1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x

x? B. ln(1 ? x)…

1 2 x 8

C.

e x? 1 ? x ? x 2

1? D. cos x…

1 2 x 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:(本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卡上。) 11、曲线 y ? e 在点 A(0,1)处的切线斜率为
x

。 。

12、复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 为 z 的共轭复数,则 z ? z ? z ? 1 = 13、 2 除以 9 的余数是
33



14、平面内有 12 个点,其中有 4 点共线,此外再无任何 3 点共线,以这些点为顶点可得到的 不同的三角形个数为 。(用数值作答) 15、已知函数 f ( x) ? ex , g ( x) ? ln 值为 。

x 1 ? 的图象分别与直线 y ? m 交于 A, B 两点,则 | AB | 的最小 2 2

三、 解答题: (本题共 6 个小题, 共 75 分, 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或者演算步骤。 )

1 ? ? 16.(本小题满分 12 分)在 ? 2 x ? ? 的展开式中,求: x? ?
(1)第 3 项的二项式系数及系数. (2)含 x 的项.
2
2

6

17、(本小题满分 12 分)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字: (1)可组成多少个无重复数字的自然数? (2)可组成多少个无重复数字的四位偶数?(所有题目包括必要过程,且结果用数值作答)

18、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? a . (1)求 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?2 ,2] 上的最大值是 20,求它在该区间上的最小值。

19、(本小题满分 12 分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建 造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤ x 3x+5 ≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热层建造费用与 20 年的能源消 耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小?并求最小值。 20、(本小题满分 13 分)已知矩形 ABCD 中, AB ?

k

2,AD ? 1 ,将Δ ABD 沿 BD 折起,使点 A 在

平面 BCD 内的射影落在 DC 上,E、F、G 分别为棱 BD、AD、AB 的中点。 (I)求证:DA⊥平面 ABC; (II)求点 C 到平面 ABD 的距离; (III)求二面角 G—FC—E 余弦值的大小。

3

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 ? x , g ( x) ? x ? e x ? x2 ?1( x ? 0) ,且 f ( x ) 点 x ? 1 处取得极值. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x ) ? ? (Ⅲ)证明: g ( x) ? f ( x) .

5 x ? b 在区间 [1,3] 上有解,求 b 的取值范围; 2

雅安中学 2014—2015 学年高二年级下期期中 数学试题(理工类)参 考 答 案 一、选择题: CABBC DCCBD

二、填空题:

4

11、 14、

1 26

12、 15、

-i 2+ln2

13、

8

三、解答题: 16、解、(1)第 3 项的二项式系数为错误!未找到引用源。=15.......................3 分 又 T3=错误!未找到引用源。(2 错误!未找到引用源。) 错误!未找到引用源。=2 ·错误!未找到 引用源。x, 所以第 3 项的系数为 2 错误!未找到引用源。=240.................................6 分 (2)Tk+1=错误!未找到引用源。(2 错误!未找到引用源。) 错误!未找到引用源。 =(-1) 2 错误!未找到引用源。x , 令 3-k=2,得 k=1. 所以含 x 的项为第 2 项,且 T2=-192x ............................12 分 17、解:(1)组成无重复数字的自然数共有: (个)...............6 分 (2)无重复数字的四位偶数中个位数是 0 共有(个);个位数是 2 或 4 共 有(个) 所以,无重复数字的四位偶数共有(个).............6 分
2 2 k 6-k 3-k 6-k 4 4 4

C ? C A ? C A ? C A ? C A ? C A ? 1631
1 6 1 1 5 5 1 2 5 5 1 3 5 5 1 4 5 5 1 5 5 5

18、解:(1) f ' ( x) ? ?3x 2 ? 6 x ? 9 ,

令 f ( x) ? 0 得: x ? ?1 或 x ? 3
'

C11 A53 ? 60



1 1 2 C2 C4 A4 ? 96

f ( x) 在 (??, ? 1) 和 (3, ? ?) 上单调递减。…………….........6 分

60 ? 96 ? 156
(2)由(1)可知, f ( x) 在 x ?[?2,2] 上的最大值为 f (?2) 或 f ( 2) 取得。

f (?2) = a ? 2 , f (2) ? a ? 22 ? a ? 2
所以 f ( x)max ? f (2) ? a ? 22 ? 20 , a ? ?2 ∴ f ( x) min ? f (?1) ? ?7 ............................................................... ..12 分 19、解:(1)由题意,隔热层厚度为 x cm 时,每年能源消耗费用为 C(x)= , 3x+5
5

k

40 由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= ,而建造费用为 C1(x)=6x,最后得隔热层建造费用与 20 3x+5 40 800 年 的 能 源 消 耗 费 用 之 和 为 f(x) = 20C(x) + C1(x) = 20 × + 6x = + 6x(0 ≤ x ≤ 3x+5 3x+ 5 10)...............................6 分 2 400 2 400 25 (2) f ?( x ) =6- (舍去).当 2,令 f ?( x ) =0,则 2=6,解得 x=5 或 x=- ?3x+5? ?3x+5? 3 0<x<5 时, f ?( x ) <0,当 5<x<10 时, f ?( x ) >0,从而可知 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为

f(5) = 6 × 5 +

800 = 70. 故 当 隔 热 层 修 建 5 cm 厚 时 , 总 费 用 达 到 最 小 值 70 万 15+5

元................................12 分 20、解:如图,以 CB 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,过点 C,平面 BDC 方向向上的法向量 为 Z 轴建立空间直角坐标系。

1 2 2 2 , ),B(1,0,0),D(0, ? 2 ,0),E( , ? , 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 0),F(0, ? , ),G( , ? , ) 2 4 4 4 4
则 C(0,0,0),A(0, ? (I)证明:

? 2 2 ? 2 2 ? ? DA ? (0, , ),BA ? (?1,? , ),CB ? (1,0,0) 2 2 2 2 ? ? ? ? 1 1 且 DA? BA ? 0 ? ? ? 0,DA? CB ? 0 ? 0 ? 0 ? 0,BA ? CB ? B 2 2
∴DA⊥平面 ABC ................................................................................. .........................4 分 (II)解:设点 C 到平面 ABD 的距离为 d

? ? 2 2 ? 2 2 2 2 ? AC ? (0, ,? ),AB ? (1, ,? ),AD ? (0,? ,? ) 2 2 2 2 2 2 容易求出平面 ABD 的一个法向量为 n2 ? (? 2, 1 ,? 1)
2 2 0? ? ? ? 2 2 |? 2 ? d ?|| AC | cos ? AC,n2 ?|?| 1 ? 2 1? 2 ? 1 ? 1
即 点 C 到 平 面 ABD 的 距 离 为

2 2

................................................................................. ...8 分 (III)解:? EC ? (? ,

? 2 1 2 2 ,0),EF ? (? ,? , ) 2 2 4 4 容易求出平面 FEC 的一个法向量为 n3 ? ( 2, 1 , 3) ? 1 2 2 ? 1 2 ),GF ? (? ,? ,0) 又 GC ? (? , ,? 2 4 4 2 2 容易求出平面 FGC 的一个法向量为 n4 ? (? 2, 1 , 3) 1 2

?

6

? cos ? n3,n4 ??
∴ 于 是 二

? 2 ?1? 9 12 ? 12
面 角

?

2 3
— FC — G 的 余 弦 值 大 小 为

E

2 ..........................................................................13 分 3 1 ' ? 2x ?1 21、解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 ? x ,∴ f ( x ) ? x?a
∵函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 ? x 在点 x ? 1 处取得极值, ∴ f '(1) ? 0 ,即当 x ? 1 时 ∴

1 ? 2x ?1 ? 0 , x?a

1 ? 1 ? 0 ,则得 a ? 0 .经检验符合题意.......................................4 分 1? a 5 5 2 (Ⅱ)∵ f ( x ) ? ? x ? b ,∴ ln x ? x ? x ? ? x ? b , 2 2 7 2 ∴ ln x ? x ? x ? b . 2 7 2 令 h( x) ? ln x ? x ? x( x ? 0) , 2 1 7 (4 x ? 1)( x ? 2) 则 h '( x) ? ? 2 x ? ? ? . x 2 2x
∴当 x ??1,3? 时, 计算得:h(1) ?

5 3 5 ?5 ? ,h(3) ? ln 3 ? ? ,h(2) ? ln 2 ? 3 , ? h( x) ? ? , ln 2 ? 3? 2 2 2 ?2 ?

所以 b 的取值范围为 ? , ln 2 ? 3? ................................................9 分
x (Ⅲ)证明:令 F ? x ? ? g ( x) ? f ( x) ? x ? e ? ln x ? x ? 1 ? x ? 0 ? ,

?5 ?2

? ?

x 则 F ? ? x ? ? ? x ? 1? ? e ?

? x ? 1? ? x ? e x ? 1 1 ?1 ? , x x

?

?

令 G( x) ? x ? e ?1 ,则?G?( x) ? ? x ? 1? ? e ? 0( x ? 0) ,
x

x

? 函数 G ( x) 在 ? 0, ?? ? 递增, G ( x) 在 ? 0, ?? ? 上的零点最多一个
又? G(0) ? ?1 ? 0 , G (1) ? e ? 1 ? 0 ,

? 存在唯一的 c ? ? 0,1? 使得 G (c) ? 0 ,
且当 x ? ? 0, c ? 时, G ? x ? ? 0 ;当 x ? ? c, ?? ? 时, G ? x ? ? 0 . 即当 x ? ? 0, c ? 时, F ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? c, ?? ? 时, F ? ? x ? ? 0 .

? F ( x) 在 ? 0, c ? 递减,在 ? c, ?? ? 递增,所以 F ? x ? ? F ? c ? ? c ? ec ? ln c ? c ?1.
7

由 G (c) ? 0 得 c ? ec ? 1 ? 0 即 c ? ec ? 1 ,两边取对数得: ln c ? c ? 0 ,? F ? c ? ? 0 ,

? F ? x? ? F ?c? ? 0
从而证得 g ( x) ? f ( x) ........................................................14 分

8


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