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高中数学必修5:基本不等式及其应用 知识点及经典例题(含答案)

高中数学必修5:基本不等式及其应用  知识点及经典例题(含答案)

基本不等式及其应用 【知识概述】 基本不等式的应用涉及到诸多内容,本课从近几年的高频考点出发,系统地介绍了基本 不等式在考题中的体现形式以及具体解法.通过这节课的学习,要求同学们掌握基本不等式 在其他综合问题中的解决方法. 新课程标准中要求同学们会利用基本不等式比较大小关系,利用基本不等式求函数的最 值 基本不等式中的几个基本概念: (1) 对于任意实数 a,b, a2 ? b2 ? 2ab ,当且仅当 a=b 时等号成立; ? ? (2) 基本不等式: a ? b ? ab a,b ? R? , 当且仅当 a ? b 时等号成立 2 ①如果 a+b 是定值,则当且仅当 a ? b 时 ab 有最大值(和定积最大) ②如果 ab 是定值,则当且仅当 a ? b 时 a+b 有最小值(积定和最小) 【学前诊断】 1. [难度] 易 函数 y=4x+ 1 (x>0)的最小值为 ( ). x A.2 B.2 2 C.4 D.8 2. [难度] 易 下列函数中,最小值为 2 的是( A. y ? sin x ? 1 sin x ). B. y ? x2 ? 1 x C. y ? x 2 ? 2 ? 1 x2 ? 2 D. y ? x2 ? 2 x2 ?1 3. [难度] 中 已知 x ? 5 ,则 f(x)= x2 ? 4x ? 5 有( ). 2 2x ? 4 1 数学·必修 5 A.最大值 5 4 【经典例题】 B.最小值 5 4 C.最大 1 D.最小值 1 例 1.求函数 y ? x ? 1 的值域为__________. x ?1 例 2.设 0 ? x ? 2,求函数 f (x) ? x(8 ? 3x) 的最大值以及相应的 x 值. 例 3.设 x, y 为正数,则 (x ? y)( 1 ? 4 ) 的最小值为( ) xy A.8 B.9 C.12 D.15 例 4.已知 2 ? 3 ? 2(x ? 0, y ? 0), 则 xy 的最小值是___________. xy 例 5. 若x ? 0, y ? 0, 且 log2 x ? log2 y ? 2 ,则 1 x ? 1 y 的最小值为___________. 例 6. 已知 x ? 0, y ? 0, 且 3x ? 4 y ? 12 ,求 lg x ? lg y 的最大值以及相应的 x, y 值. 例 7. 设 a ? 0,b ? 0, 若 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 1 ? 1 的最小值为( ) ab 1 A.8 B.4 C.1 D. 4 例 8. 若 M (x, y) 在直线 x ? 2y ?1 ? 0 上移动,则 2x ? 4y 的最小值是( ). 2 A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 2 例 9. 关于 x 的不等式 ?2x4 ? 3x2 ?1 ? t(x2 ?1) 对于任意实数 x 都成立, 求实数 t 的取值范围. 【本课总结】 1.均值定理的使用有一定的灵活性,且使用范围较广,在使用均值定理时一定要记住“三 字经”:即一正、二定、三相等,缺一不可.实际解题过程中,难点是如何创造使用均值定理 2 数学·必修 5 的条件,在一元函数和多元函数中均有应用. 2.在基本不等式的应用中最容易出错的地方则是忽视“三字经”中的某一条.特别是取 等的条件. 3.在两次(或者多次)使用均值不等式时,要确保两个(或者多个)不等式取等的条件 是一致的,否则就不能利用两次(或者多次)使用均值不等式求最值. 【活学活用】 1. [难度] 易 函数 y= 4 ? x ? x 2 (x>0)的最小值是 ( ). 1? x A.2 3 B.3 C.2 D.1 2. [难度] 中 已知不等式 ( x ? y)( 1 ? a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( ). xy A.8 B.6 C.4 D.2 3. [难度] 中 若 a>b>1,P= lg a lg b ,Q= 1 (lg a ? lg b) ,R= lg( a ? b) ,则( ). 2 2 A. R<P<Q B. P<Q<R C.Q<P<R D. P<R<Q 3 数学·必修 5

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