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【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:7.3 简单的线性规划(共35张PPT)

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:7.3 简单的线性规划(共35张PPT)


§7.3

简单的线性规划

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系

Ax+By+C=0 中表示直线_________________某一侧的所有点组成的平面区
域(半平面)不含边界直线. 不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边 界直线.

目录

(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得Ax+ By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标 适合同一个不等式Ax+By+C>0;而位于另一个半平面内的 点,其坐标适合另一个不等式Ax+By+C<0.

(3)二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直
线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,此区域叫 可行域.

目录

2.线性规划 求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值的问题, 统称为线性规划问题. 可行解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做__________,由所有可行解

组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域);使目标函数取得
最优解 最大值或最小值的可行解叫做_________.生产实际中有许多 问题都可以归结为线性规划问题.

目录

思考探究

1.线性规划中最优解只有一个吗?
提示:不一定.当目标函数的直线通过可行域的顶点时,可 能有一个.当目标函数的直线与可行域的边界平行时,最优 解不只一个. 2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)位于直线Ax+By+C=0两侧的充

要条件是什么?
提示:(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.

目录

课前热身
?x-2y+4≥0 ? 1.不等式组? 表示的平面区域是( ?x+y≤0 ?

)

答案:A
目录

2.(2011· 高考天津卷)设变量 x,y 满足约束条件

?x≥1, ? ?x+y-4≤0, ?x-3y+4≤0, ?
A.-4 4 C. 3

则目标函数 z=3x-y 的最大值为(

)

B.0 D.4

目录

?x≥1, ? 解析:选 D.?x+y-4≤0, ?x-3y+4≤0 ?

表示的平面区域如图所示.

z=3x-y 在(2,2)取得最大值. zmax=3×2-2=4.

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3.(2011· 高考广东卷)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由

? 不等式组?y≤2 ?x≤ 2y
A.4 2 C.4

0≤x≤ 2 给定,若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A

→ → 的坐标为( 2,1),则 z=OM· 的最大值为( OA B.3 2 D.3

)

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? 解析:选 C.由线性约束条件?y≤2, ?x≤ 2y,
如图所示,

0≤x≤ 2, 画出可行域

→ → 目标函数 z=OM· = 2x+y,将其化为 y=- 2x+z, OA 结合图形可知,目标函数的图象过点( 2,2)时,z 最大,将点 ( 2,2)的坐标代入 z= 2x+y 得 z 的最大值为 4.
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?x+y-2≥0, ? 4.若实数 x、y 满足?x≤4, 则 s=x+y 的最大值为 ?y≤5, ?
________.

答案:9

目录

?2x-y≥0 ? 1 x+ y 5.已知? ,则( ) 的最大值是________. 2 ? ?x-2y+2≤0

1 答案: 4

目录

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 二元一次不等式(组)表示的区域

对于不等式 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0), 在坐标系中先 画出虚线 Ax+By+C=0,在该直线的某一侧找一个特殊点 (如原点),若该点的坐标适合不等式,则该点所在的一侧即 为不等式表示的区域,否则就是另一侧.

目录

例1

?|x-y|≤1 ? (2013· 济南市调研)已知不等式组? 表示的平面 ? ?|x+y|≤a

区域的面积是 8,则 a 的值是( A. 2 C.2 2 B.2 D.4

)

【思路分析】

该不等式组表示的区域是矩形,求两平行线

间的距离d1和d2,S=d1·2. d

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?-1≤x-y≤1, ? 【解析】 原不等式组可以表示为? 直线 x-y ?-a≤x+y≤a, ?

|-1-1| =1 与直线 x-y=-1 之间的距离为 d1= = 2,直线 x 2 |-a-a| +y=a 与直线 x+y=-a 之间的距离为 d2= = 2a, 结 2 合图形可得 S=d1d2=8,所以 a=4.故选 D.

【答案】

D

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【领悟归纳】

本不等式组去掉绝对值符号转化为四个不等

式组成的不等式组,即四条直线围成的封闭图形.

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考点 2

利用线性规划求目标函数的最值

先列出可行域,将目标函数 z=Ax+By,看成直线平行移动即 A z z y=- x+ , 利用该直线在 y 轴上的截距 取最大或最小来确 B B B 定 z 的最大或最小值.

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例2

(2011· 高考山东卷)设变量 x,y 满足约束条件

?x+2y-5≤0, ? ?x-y-2≤0, ?x≥0, ?
A.11 C.9

则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为(

)

B.10 D.8.5

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【解析】

作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示.

2 z 1 又 z=2x+3y+1 可化为 y=- x+ - ,结合图形可知 z=2x 3 3 3 +3y+1 在点 A 处取得最大值. ?x+2y-5=0, ?x=3, ? ? 由? 得? 故 A(3,1). ?x-y-2=0, ?y=1, ? ? 此时 z=2×3+3×1+1=10.

【答案】

B
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【思维总结】 将目标函数 z=2x+3y+1 转化为直线方程 y= z-1 2 - x+ ,求目标函数的最大值就是求该直线最大截距时 3 3 z 的值.

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跟踪训练

?x-y+1≥0, ? (2012· 高考大纲全国卷)若 x, 满足约束条件?x+y-3≤0, y ?x+3y-3≥0, ?
则 z=3x-y 的最小值为________.

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解析:先作出如图所示的可行域(阴影部分), 再作出初始直线 3x-y=0,即 y=3x. 发现直线 y=3x 越向上移动 z 越小,因此当直线平移到 A 点时 z 最小.又∵A(0,1),∴zmin=3×0-1=-1.

答案:-1
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考点3

线性规划的实际应用

在线性规划的实际问题中,主要掌握两种类型:一是给定一
定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任

务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问怎样统筹
安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.

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例3

(2012· 考 四 川 卷 ) 某 公 司 生 产 甲 、 乙 两 种 桶 装 产 高

品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产 乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润 是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产 品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过 合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司 共可获得的最大利润是( A.1 800元 B.2 400元 )

C.2 800元 D.3 100元
【思路分析】 本题的关键是写出线性约束条件及目标函数, 然后利用线性规划知识解答.
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【解析】 设生产甲产品 x 桶,乙产品 y 桶,每天利润为 z 元,

? ?2x+y≤12, 则? x≥0, ?y≥0, ?
x+2y≤12,

z=300x+400y.

作出可行域,如图阴影部分所示. 作直线 300x+400y=0,向右上平移,过点 A 时, ?x+2y=12, ?x=4, ? ? z=300x+400y 取最大值,由? 得? ?2x+y=12, ?y=4, ? ? ∴A(4,4),∴zmax=300×4+400×4=2 800.

【答案】

C
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【思维总结】

本题考查线性规划知识,考查识图能力和数

形结合思想.解决本题的难点是将实际问题转化为数学问题, 从实际情景中抽象出不等式组.

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方法感悟
方法技巧

1.二元一次不等式表示的区域的确定方法:
(1)直线Ax+By+C=0定边界,特殊点定区域. ①在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0;

②在直线外取一点P(x0,y0),特殊地,当C≠0时,常把原点作
为特殊点; ③若Ax0+By0+C>0,则包含点P的半平面为不等式Ax+By+

C>0所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式Ax+By
+C<0所表示的平面区域.

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(2)直线的斜截式法: A C ①当 B>0 时,Ax+By+C>0?y>- x- 表示直线 Ax+By+C B B =0 的上方; A C ②当 B>0 时,Ax+By+C<0?y<- x- ,表示直线 Ax+By B B +C=0 的下方. 2. 线性规划应用题建模的思路:一般以“资源——产品——收 益”为主线;设元时将产品数量设为 x、y,将收益多少设为 z, 资源数量为常数 a、b、c 等.这样 z 与 x、y 之间的关系就是目 标函数;而 x、y 与 a、b、c 等之间的关系就是约束条件.

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失误防范
1.画可行域时,注意边界的虚与实. z 2.在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时,要注意: b z z 当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值 b b z 时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值; b z 截距 取最小值时,z 取最大值. b 3.求最优解时,注意题意要求,是一般实数还是整数.

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考向瞭望把脉高考
命题预测 线性规划是高考数学的热点之一,以其实用性、工具性和交

互性,备受命题者的关注.在走进高考试卷中的短短几年里,
就立即“走红”,逐步成为高考的一个新热点,试题多以选择 题、填空题出现,随着时间推移,线性规划的试题也越来越 开放,从单纯知识点的考查,到能力考查,“亮题”不断出现: 如求非线性目标函数的最值;求待定参数或可行域的约束条

件;与其它函数、数列等知识综合,有的是实际应用问题.
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2012年的高考中,江西卷考查实际应用问题,山东卷、大纲

全国卷、课标全国卷、广东卷、辽宁卷、安徽卷均为简单的
线性规划,陕西卷的可行域与函数的切线结合在一起. 预测2014年高考线性规划考题仍以选择题、填空题为主,考 查求最值、面积及参数问题.可能出现作可行域问题,应引 起高度重视.

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典例透析 例

?y≥x ? (2011· 高考湖南卷)设 m>1,在约束条件?y≤mx ?x+y≤1 ?

下,

目标函数 z=x+my 的最大值小于 2, m 的取值范围为( 则 A.(1,1+ 2) C.(1,3) B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

)

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【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示,将目标函数化 1 z 为斜截式为 y=- x+ ,结合图形可以看出当目标函数过 y m m =mx 与 x+y=1 的交点时取到最大值.
?y=mx, ? ? 1 , m ?. 联立? 得交点坐标为 m+1 m+1 ? ? ? ?x+y=1,

1+m2 将其代入目标函数得 zmax= . m+1 1+m2 由题意可得 <2,又 m>1, m+1 所以 1<m<1+ 2.

【答案】

A
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【名师点评】 本题主要考查线性规划的基础知识以及运算求 解的数形结合思想,对本题的正确解答的关键是正确画出可行 域,再找出目标函数的最小值,由已知条件求解不等式解参数 m 范围.

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