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安徽省“江南十校”2014届高三下学期3月联考数学(理)试题(扫描版)_图文

安徽省“江南十校”2014届高三下学期3月联考数学(理)试题(扫描版)_图文

2014 年安徽省“江南十校”高三联考

数学(理科)试卷答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.C.解析: M ? ?? 1,3?, N ? ?? ?,1? 2. A.解析: 2 ? ai ? ?2 ? a ? ? ?2 ? a ?i ? 2 ? a ? 0 1? i 2 3.C 解析:由题知 2c ? 2 3, e ?

3 ? a ? 1, b ? 2 ,这样的双曲线标准方程有两个

4.D 解析:由 2a 6 ? 6 ? a 7 得 a 5 ? 6 ,所以 S 9 ? 9a5 ? 54 5.B 解析:值域 ?? 2,1? , b ? a ? 3 6.D 解析:将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥 7.B 解析:回归直线不一定过样本点 8.C 解析:由 a // b 知 2 x ? 3 y ? 3 ,则

3 2 1?3 2? ? ? ? ? ? ??2 x ? 3 y ? ? x y 3? ?x y?

1? 9 y 4x ? ? ? ? 8. 12 ? ? ? 3? x y ? ?

9.B 解析:根据向量加法的平行四边形法则得动点 P 的轨迹是以 OB , OC 为邻边的平行四边 形 , 其 面 积 为 ?BOC 面 积 的 2 倍 . 在 ?ABC 中 , 由 余 弦 定 理 可 得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,代入数据解得 BC ? 7 ,设 ?ABC 的内切圆的半径为 r ,则

1 1 bc sin A ? ? a ? b ? c ? r 2 2
S ?BOC ?







r?

2 6 3







1 1 2 6 7 6 ? BC ? r ? ? 7 ? ? ,故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2 2 3 3
14 6 3

2 S ?BOC ?

3 3 f ( x) ? sin 2 x ? a sin x ? a ? , 令t ? sin x?? 1 ? t ? 1? 2 10.C 解析: ,则 g ?t ? ? t ? at ? a ? , a a
对任意

3 ? g ?? 1? ? 1 ? ? 0 ? ? a ,解得 a 的取值范围是 ?0,1? x ? R, f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 ? ? g (1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0 ? a ?
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应横线上。 11. 3 2 ? 2

r 6?2 r ?? 1? 12. a ? 1 解析:它的展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C 6 x

6? r

a ?2 ,则 x 2 项的系数是

C 62 a ?2 ? 15
,又 a ? 0 ,则 a ? 1 13. 2 解析:直线 l 的极坐标方程为 ? sin ?? ?

? ?

??

? ? 2 ? 1 ,可化为 x ? y ? 2 ? 2 , 4?

∴圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为 d ?

1?1? 2 ? 2 2

? 1 ,又∵圆 C 的半径为 r ? 2 ,

2 2 ∴直线 l 被曲线 C 截得的弦长 2 r ? d ? 2 .

14 ? , ? 解析:根据题意作出不等式组所表示的可行域为 ?ABC 及其内部,又因 4 2

?9 7? ? ?

2x ? y ? 5 y ?1 y ?1 ? 2? , 而 表示可行域内一点 ? x, y ? 和点 P ? ?2, ?1? 连线 x?2 x?2 x?2 y ?1 的 斜 率 , 由 图 可 知 k PB ? ? k PA , 原 不 等 式 组 解 得 A?0,2?, B?2,0? , 所 以 x?2 1 y ?1 3 9 2x ? y ? 5 7 ? ? ,从而 ? ? 。 4 x?2 2 4 x?2 2
为 15(1) (3) (4) (5)解析:显然命题(1)正确; (2)四面体的垂心到四个面的距离不一 定相等, (2)命题错误;若四面体 ABCD 为垂心四面体,垂心为 H ,则 AH , BH 均与 CD 垂 直,从而 AB ? CD ,(3)命题正确;设顶点 A 在面 BCD 上的射影为 F ,因 AB ? CD ,所 以 AB 的射影 BF ? CD ,同理 CF ? BD ,即 F 是 ?BCD 的垂心, (4)命题正确;由(4) 设 BF 交 CD 于 E , 则 AC ? AD ? CF ? DF ? CE ? DE ? BC ? BD , 即
2 2 2 2 2 2 2 2

AC 2 ? BD 2 ? AD 2 ? BC 2 ,(5)命题正确。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。解 答应写在答题卡指定的区域内。

16. 解

?? ? f ( x) ? c o s ? 2 x ? ? ? 2n s i 3? ?

2

x?

1 3 c o s 2x ? n s i 2 x ? ?1 ? c o s 2x? 2 2

3 3 ?? ? ? c o s 2x ? n s i 2x ? 1 ? 3 n s i ? 2x ? ? ? 1 2 2 3? ?

?????4

分 ????? 6分 (Ⅰ) ? f ( x) ? 分

3 sin(2 x ?

?
3

) ? 1,

?T ? ? ,

?????8

(Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤ 10 分 所以当 2 x ? 12 分

? ? ? 4? , 所以 ? 2 x ? ? . 2 3 3 3
,即 x ?

?????

?
3

?

?
2

?
12

时, f ( x) 有最大值 3 ? 1 .

?????

17 解: (Ⅰ)设“取出的 3 个球中编号最大数值为 3 的球”为事件 A ,则最大数值为 3 相当 于 从 编 号 为 1,2,3 的 红 色 球 和 编 号 为 3 的 白 色 球 中 任 取 3 个 , 其 概 率

P ? A? ?

3 C4 1 ? 。 ?????4 分 3 C6 5

(Ⅱ)ξ 的可能取值为 1,2,3,4,

?????5 分

2 C32 C52 10 C4 1 1 3 6 P ?? ? 1? ? 3 ? , P?? ? 2? ? 3 ? , P?? ? 3? ? 3 ? , P?? ? 4? ? 3 ? , C 6 20 C6 20 C6 20 C6 20

所以 ? 的分布列为 分 ξ P 故 E? ? 1 ? 12 分

?????9

1

2

3

4

1 20

3 20

6 20

10 20
?????

1 3 6 10 13 ? 2? ? 3? ? 4? ? . 20 20 20 20 4

18 ①







f ( x)







f ' ( x) ? ax2 ? 2?a ? 1?x ? 2 ? e x

?

?

?????2 分 ?????

4 3 2 (I) 若a ? , 由 f ?( x) ? 0, 得2 x ? x ? 3 ? 0, 解得x1 ? ? , x 2 ? 1 3 2
3分 综合①,可知

x

3 ( ?? ,? ) 2
+ ↗

?

3 2

3 ( ? ,1) 2
- ↘

1
0 极小值

(1,?? )
+ ↗

f ?( x) f ( x)
所以, x1 ? ? 6分

0 极大值

3 是极大值点, x2 ? 1 是极小值点. (注: 未注明极大、 极小值扣 1 分) ????? 2

(II)若 f ( x) 为 ?? 1,1? 上的单调函数,又 f ' (0) ? ?2 ? 0 ,所以当 x ? ?? 1,1? 时 f ' ( x) ? 0 , 即 立。

g ( x) ? ax2 ? 2?a ? 1?x ? 2 ? 0



??1,1?







?????8 分 ?????

(1) 当 a ? 0 时,g ( x) ? ?2 x ? 2 ? 0 在 ?? 1,1? 上恒成立; 9分

2 (2)当 a ? 0 时,抛物线 g ( x) ? ax ? 2?a ? 1?x ? 2 开口向上,则 f ?x ? 在 ?? 1,1? 上为单调函















? g ?? 1? ? 0 ? ? g ?1? ? 0





?? a ? 0 ? ?3a ? 4 ? 0







0?a?

4 。 3

?????11 分

综合(1) (2)知 a 的取值范围是 0 ? a ? 12 分

4 。 3

?????

19.证明(Ⅰ)如图,连接 EO、OA.? E、O 分别为 CB1、BC 的中点,? EO 是 ?BB1C 的 中位线, ? EO / / BB1 且 EO ?

DA ? EO , ?四边形 AOED 是平行四边形,即 DE / /OA ,


1 1 BB1 . 又 DA // BB1 且 DA ? BB1 ? EO,? DA // EO 且 2 2

DE ? 平面ABC, OA ? 平面ABC,? DE / / 平面ABC .

?????4 分

( Ⅱ ) ? AB ? AC, BC 为 直 径 , ? AO ? BC , 又 BB1 ? AO , 从 而

AO ? 平面BB1C

, ,

? DE // AO
?



? DE ? 平面BB1C, DE ? 平面B1 DC
???8 分

平面B1 DC ? 平面CBB1

(III) 如图, 作过 C 的母线 CC1 ,连接 B1C1 ,则 B1C1 是上底面圆 O1 的直径, 连接 AO 1 1, 则 A1O1 / / AO ,又 AO ? 平面CBB1C1 ,? A1O1 ? 平面CBB1C1 ,过 O1 作 O1 H ? B1C , 连 接 A1 H , 则 A1 H ? B1C , 所 以 ?A1 HO1 为 二 面 角 A1 ? B1C ? B 平 面 角 的 补 角。 ?????10 分

H

2 0 0 ? BB1 ? BC ,? BB1C1C 为正方形,?O1 B1C ? 45 ,? O1 H ? O1 B1 ? sin 45 ? 2 r( r 为

圆柱半径) ,?在 Rt?A1O1 H 中, cos ?A HO ? O1 H ? 1 1 A1 H

2 r 2 ? 2 ? ? r2 ? ? ? 2 r? ? ?
2

?

3。 3

? 平 面 A1 B1C 与 平 面 BB1C 所 成 二 面 角 A1 ? B1C ? B 的 余 弦 值 是
? 3 。 3
?????12 分

法二:分别以 AB, AC , AA1 为 x, y , z 轴建系,设 AB ? AC ? a, 则 BC ? BB1 ?

2a ,平面

?a a ? BB1C 的法向量 AO ? ? , ,0 ? ,又 A1 B1 ? ?a,0,0?, A1C ? 0, a,? 2a, ,设平面 A1 B1C 的 ?2 2 ?
法向量 n ? ? x, y, z ? ,则由 n ? A1 B1 ? 0, n ? A1C ? 0 得 x ? 0, y ?

?

?

2 z ,取 n ? 0, 2 ,1 ,则

?

?

cos AO, n ?

AO ? n AO n

?

2 a 2 2 a? 3 2

?

3 , ? 二 面 角 A1 ? B1C ? B 余 弦 值 是 3

?

3 。???12 分 3

20 解: (1)由题意知 a 分

? 2c, bc ? 3 ,

?????2

x2 y2 ? a ? 2, b ? 3 ,椭圆 ? 的标准方程是 ? ? 1。 4 3


?????4

? x ? my ? q ? (2) 联立 ? x 2 y 2 ? 3m 2 ? 4 y 2 ? 6mqy ? 3q 2 ? 12 ? 0 ? ? 1 ? 3 ?4

?

?

?

?

?????5

分 由 ? ? 12 3m q ? 3m ? 4 q ? 4 ? 48 3m ? 4 ? q
2 2 2 2 2

?

?

??

??

?

2

?? 0
3m 2 ? 4 ? q 2 ? 0



?

?????7 分

记 A? x1 , y1 ?, B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?

? 6mq 3q 2 ? 12 , y y ? 1 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

因 F ?1,0 ? ,所以 FA1 ? ? x1 ? 1,? y1 ?, FB ? ? x2 ? 1, y2 ? ,故 A1 , F , B 三点共线

? ? x1 ? 1? y2 ? ? x2 ? 1??? y1 ? ? 0
?10 分

????

? ?x1 ? 1? y 2 ? ?x 2 ? 1??? y1 ? ? ?my1 ? q ? 1? y 2 ? ?my 2 ? q ? 1? y1 ? 2my1 y 2 ? ?q ? 1?? y1 ? y 2 ? ? 2m ? 2m
?12 分 由

3q 2 ? 12 ? 6mq ? ?q ? 1? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

?

????

3q ? 12 ? 0 ? q ? 4?m ? 0? 3m 2 ? 4

?? 知 A1 , F , B







线



充 要







m ?2



q ? 4。

?????13 分

2?a n ? 1? n a n ?1 ? 1 2?a n ? 1? 21 解 (Ⅰ) 由原式可得 n ? ? t ?1 ?1 n t ? 1 a n ? 2t ? 1 a n ? 1 ?2 t n ?1
2分 记

?????

bn ?

an ? 1 t n ?1





bn ?1 ?
1 bn ?1

2bn a ? 1 2t ? 2 , b1 ? 1 ? ? 2, bn ? 2 t ?1 t ?1
?

?????3 分



? t n ?1? 1 1 1 1 1 1 ? , ? , 所以, 数列 ? 公差为 的等差数列。 ??? ? 是首项为 , bn 2 b1 2 2 2 ? a n ? 1?

4分

an ? 1 2 2 t n ?1 1 1 1 n ?1 。 ? ? ?n ? 1? ? ? ,故 n ? ,即 a n ? 从而有 n bn b1 2 2 t ?1 n
分 (Ⅱ) bn ? n ?a n ? 1? ? 2n t ? 1 ? 2nt ? 2n ,
2 n n

?

?

?????5

?

?

?????6

分 若 t ? 0 ,则数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ? ? n?n ? 1? ; 分 ?????7

n 2 3 n 若 t ? 0, t ? ?1 ,记数列 nt 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ? t ? 2t ? 3t ? ? ? nt ,由错位相

? ?

减得

Tn ?
10 分 (III)

t 1? t n

?1 ? t ?2

?

? ? nt

n ?1

1? t

,从而 S n ?

2t 1 ? t n

?1 ? t ?2

?

? ? 2nt

n ?1

1? t

? n?n ? 1? 。

?????

a n ?1 ? a n ?

2 t n ?1 ? 1 2 t n ? 1 2?t ? 1? ? ? n 1 ? t ? ? ? t n ?1 ? t n ? ?n ? 1? 1 ? t ? ? ? t n ?1 n ?1 n n?n ? 1?

?

? ?

?

??

?

?

??

=

2?t ? 1? n 2?t ? 1? n nt ? 1 ? t ? ? ? t n ?1 ? t ? 1 ? t n ? t ? ? ? t n ? t n ?1 n?n ? 1? n?n ? 1?

?

?

??

??

? ?

?

?

??
????

?12 分 (1)若 0 ? t ? 1 ,则 t ? 1 ? 0, t ? t ? 0?i ? 0,1,?, n ? 1? ,从而
n i

a n ?1 ? a n ? 0 ; ?????13 分
n i (2)若 t ? 1 ,则 t ? 1 ? 0, t ? t ? 0?i ? 0,1,?, n ? 1? ,从而 a n ?1 ? a n ? 0 。

综上知, 对任意 t ? 0, t ? 1 , 数列 ?an ?均为递增数列。 14 分

?????


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