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高等数学和线性代数公式定理和性质归纳

高等数学和线性代数公式定理和性质归纳


高等数学和线性代数公式、定理、性质归纳
高等数学常见公式归纳
导数常见公式:

(tgx)? ? sec 2 x (ctgx)? ? ? csc x (sec x )? ? sec x ? tgx (csc x )? ? ? csc x ? ctgx
2

(arcsin x)? ?

1

( a x )? ? a x ln a 1 (loga x)? ? x ln a
积分常见公式:

1? x2 1 (arccosx)? ? ? 1? x2 1 (arctgx)? ? 1? x2 1 (arcctgx)? ? ? 1? x2

? tgxdx ? ? ln cos x ? C ? ctgxdx? ln sin x ? C ? sec xdx ? ln sec x ? tgx ? C ? csc xdx ? ln csc x ? ctgx ? C
dx 1 x ? arctg ?C 2 ?x a a dx 1 x?a ? x 2 ? a 2 ? 2a ln x ? a ? C dx 1 a?x ? a 2 ? x 2 ? 2a ln a ? x ? C dx x ? a 2 ? x 2 ? arcsin a ? C

? cos ? sin

dx
2

x x

? ? sec 2 xdx ? tgx ? C ? ? csc 2 xdx ? ?ctgx ? C

dx
2

?a

? sec x ? tgxdx ? sec x ? C ? csc x ? ctgxdx ? ? csc x ? C
x ? a dx ?

2

ax ?C ln a

? shxdx ? chx ? C ? chxdx? shx ? C ?
dx x ?a
2 2

? ln(x ? x 2 ? a 2 ) ? C

?
2

?
2

I n ? ? sin n xdx ? ? cosn xdx ?
0 0

n ?1 I n?2 n

? ? ?

x 2 a2 x ? a 2 ? ln(x ? x 2 ? a 2 ) ? C 2 2 x 2 a2 x 2 ? a 2 dx ? x ? a 2 ? ln x ? x 2 ? a 2 ? C 2 2 x 2 a2 x a 2 ? x 2 dx ? a ? x 2 ? arcsin ? C 2 2 a x 2 ? a 2 dx ?

三角函数的有理式积分公式:

sin x ?

2u 1? u 2 x 2du ,  cos x ? , u ? tg , dx ? 2 2 2 1? u 1? u 1? u 2

一些初等函数:

两个重要极限公式:

e x ? e?x 2 x e ? e?x 双曲余弦: chx ? 2 shx e x ? e ? x 双曲正切: thx ? ? chx e x ? e ? x 双曲正弦: shx ? arshx ? ln(x ? x 2 ? 1) archx ? ? ln(x ? x 2 ? 1) 1 1? x arthx ? ln 2 1? x
常见三角函数公式: ·诱导公式: 函数 角A -α 90° -α 90° +α 180° -α 180° +α 270° -α 270° +α 360° -α 360° +α ·和差角公式: sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα

lim
x ?0

sin x ?1 x 1 lim(1 ? ) x ? e ? 2.7182818284 59045 ... x ?? x

cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα

tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα

ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα

·和差化积公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? tg (? ? ? ) ? tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg? ctg? ? ctg? ? 1 ctg (? ? ? ) ? ctg? ? ctg?

sin ? ? sin ? ? 2 sin

???

2 2 ??? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 sin sin 2 2

cos

? ??

·倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos? cos 2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ctg 2? ? 1 ctg 2? ? 2ctg? 2tg? tg 2? ? 1 ? tg 2?
·半角公式:

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos? tg 3? ? 3tg? ? tg 3? 1 ? 3tg 2?

sin tg

?
2

?? ??

1 ? cos? ? 1 ? cos?               cos ? ? 2 2 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ? ?   ctg ? ? ? ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? 2 1 ? cos? sin ? 1 ? cos?
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
·余弦定理: c ? a ? b ? 2abcosC
2 2 2

?
2

·正弦定理:

·反三角函数性质: arcsin x ?

?
2

? arccos x    arctgx ?

?
2

? arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
k ( n?k ) ( k ) (uv) ( n ) ? ? C n u v k ?0 n

? u ( n ) v ? nu( n?1) v? ?

n(n ? 1) ( n?2) n(n ? 1)?(n ? k ? 1) ( n?k ) ( k ) u v?? ? ? ? u v ? ? ? uv( n ) 2! k!

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理: f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a) f (b) ? f (a) f ?(? ) 柯西中值定理: ? F (b) ? F (a) F ?(? ) 当F( x) ? x时,柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。
曲率:

弧微分公式:ds ? 1 ? y ? 2 dx, 其中y ? ? tg? 平均曲率: K? ?? .?? : 从M点到M ?点,切线斜率的倾角变 化量;?s:MM ?弧长。 ?s y ?? ?? d? M点的曲率:K ? lim ? ? . ?s ?0 ?s ds (1 ? y ? 2 ) 3

直线:K ? 0; 1 半径为a的圆:K ? . a
定积分的近似计算:
b

矩形法: ? f ( x) ?
a

b?a ( y0 ? y1 ? ? ? yn?1 ) n b?a 1 [ ( y0 ? yn ) ? y1 ? ? ? yn?1 ] n 2 b?a [( y0 ? yn ) ? 2( y2 ? y 4 ? ? ? yn?2 ) ? 4( y1 ? y3 ? ? ? yn?1 )] 3n

梯形法: ? f ( x) ?
a b

b

抛物线法: ? f ( x) ?
a

定积分应用相关公式:

功:W ? F ? s 水压力:F ? p ? A mm 引力:F ? k 1 2 2 , k为引力系数 r b 1 函数的平均值: y? f ( x)dx b?a ? a 1 均方根: f 2 (t )dt ? b?a a
空间解析几何和向量代数:
b

空间2点的距离:d ? M 1 M 2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 向量在轴上的投影: P r ju AB ? AB ? cos? ,?是 AB与u轴的夹角。 ? ? ? ? P r ju (a1 ? a2 ) ? P r ja1 ? P r ja2 ? ? ? ? a ? b ? a ? b cos? ? a x bx ? a y b y ? a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角: cos? ? i ? ? ? c ? a ? b ? ax bx j ay by a x bx ? a y b y ? a z bz a x ? a y ? a z ? bx ? b y ? bz
2 2 2 2 2 2

k ? ? ? ? ? ? a z , c ? a ? b sin ? .例:线速度: v ? w? r. bz ay by cy az ? ? ? bz ? a ? b ? c cos? ,?为锐角时, cz

ax ? ?? ? ? ? 向量的混合积: [ a b c ] ? ( a ? b ) ? c ? bx cx 代表平行六面体的体积 。

平面的方程: ? 1、点法式:A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z 0 ) ? 0,其中n ? { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程:Ax ? By ? Cz ? D ? 0 x y z 3、截距世方程:? ? ? 1 a b c 平面外任意一点到该平 面的距离:d ? Ax0 ? By0 ? Cz 0 ? D A2 ? B 2 ? C 2

? x ? x0 ? m t x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 ? ? 空间直线的方程: ? ? ? t , 其中s ? {m, n, p}; 参数方程: ? y ? y0 ? nt m n p ? z ? z ? pt 0 ? 二次曲面: x2 y2 z 2 1、椭球面:2 ? 2 ? 2 ? 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面: ? ? z( , p, q同号) 2 p 2q 3、双曲面: x2 y2 z 2 单叶双曲面:2 ? 2 ? 2 ? 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面:2 ? 2 ? 2 ?(马鞍面) 1 a b c
多元函数微分法及应用

全微分:dz ?

?z ?z ?u ?u ?u dx ? dy   du ? dx ? dy ? dz ?x ?y ?x ?y ?z

全微分的近似计算: ?z ? dz ? f x ( x, y )?x ? f y ( x, y )?y 多元复合函数的求导法 : dz ?z ?u ?z ?v z ? f [u (t ), v(t )]    ? ? ? ?   dt ?u ?t ?v ?t ?z ?z ?u ?z ?v z ? f [u ( x, y ), v( x, y )]    ?   ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x 当u ? u ( x, y ),v ? v( x, y )时, du ? ?u ?u ?v ?v dx ? dy   dv ? dx ? dy  ?x ?y ?x ?y

隐函数的求导公式: Fx F F dy dy d2y ? ? 隐函数F ( x, y ) ? 0,   ? ? ,   2 ? (? x )+ (? x ) ? dx Fy ?x Fy ?y Fy dx dx Fy F ?z ?z 隐函数F ( x, y, z ) ? 0,  ? ? x ,   ? ? ?x Fz ?y Fz

?F ? F ( x, y , u , v ) ? 0 ? ( F , G ) ?u 隐函数方程组:    J ? ? ? ?G ? (u, v) ?G ( x, y, u, v) ? 0 ?u ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G) ?? ?      ? ? ? ?x J ? ( x, v ) ?x J ? (u, x) ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G) ?? ?      ? ? ? ?y J ? ( y, v) ?y J ? (u, y )
微分法在几何上的应用:

?F ?v ? Fu ?G Gu ?v

Fv Gv

? x ? ? (t ) x?x y ? y0 z ? z 0 ? 空间曲线? y ? ? (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程: 0 ? ? ? ?(t 0 ) ? ?(t 0 ) ? ?(t 0 ) ? z ? ? (t ) ? 在点M处的法平面方程: ? ?(t 0 )(x ? x0 ) ? ? ?(t 0 )( y ? y0 ) ? ? ?(t 0 )(z ? z 0 ) ? 0 ? ? Fy Fz Fz Fx Fx ? F ( x, y , z ) ? 0 若空间曲线方程为: , 则切向量T ? { , , ? G G Gx G G G ( x , y , z ) ? 0 ? y z z x ? 曲面F ( x, y, z ) ? 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 ),则: ? 1、过此点的法向量: n ? {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} x ? x0 y ? y0 z ? z0 3、过此点的法线方程: ? ? Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 )
方向导数与梯度:

Fy } Gy

2、过此点的切平面方程 :Fx ( x0 , y0 , z 0 )(x ? x0 ) ? Fy ( x0 , y0 , z 0 )( y ? y0 ) ? Fz ( x0 , y0 , z 0 )(z ? z 0 ) ? 0

?f ?f ?f 函数z ? f ( x, y )在一点p( x, y )沿任一方向l的方向导数为: ? cos? ? sin ? ?l ?x ?y 其中?为x轴到方向l的转角。 ?f ? ?f ? i? j ?x ?y ? ? ?f ? ? 它与方向导数的关系是 : ? grad f ( x, y ) ? e ,其中e ? cos? ? i ? sin ? ? j ,为l方向上的 ?l 单位向量。 ?f ? 是gradf ( x, y )在l上的投影。 ?l 函数z ? f ( x, y )在一点p( x, y )的梯度:gradf ( x, y ) ?
多元函数的极值及其求法:

设f x ( x0 , y0 ) ? f y ( x0 , y0 ) ? 0,令:f xx ( x0 , y0 ) ? A,  f xy ( x0 , y0 ) ? B,  f yy ( x0 , y0 ) ? C ? ? A ? 0, ( x0 , y0 )为极大值 2 ? ? AC ? B ? 0时, ? A ? 0, ( x0 , y0 )为极小值 ? ? 2 则: 值 ? AC ? B ? 0时,      无极 2 ? AC ? B ? 0时,        不确定 ? ? ?
重积分及其应用:

?? f ( x, y)dxdy ? ?? f (r cos? , r sin ? )rdrd?
D D?

曲面z ? f ( x, y )的面积A ? ??
D

? ?z ? ? ?z ? 1? ? ? ? ? ? ? ? dxdy ? ?x ? ? ?y ?

2

2

M 平面薄片的重心: x? x ? M

?? x? ( x, y)d?
D

?? ? ( x, y)d?
D 2 D

,   y ?

My M

?

?? y? ( x, y)d?
D

?? ? ( x, y)d?
D D

平面薄片的转动惯量: 对于x轴I x ? ?? y ? ( x, y )d? ,   对于y轴I y ? ?? x 2 ? ( x, y )d? 平面薄片(位于 xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a), (a ? 0)的引力:F ? {Fx , Fy , Fz },其中: Fx ? f ??
D

? ( x, y ) xd?
(x ? y ? a )
2 2 3 2 2

,  Fy ? f ??
D

? ( x, y ) yd?
(x ? y ? a )
2 2 3 2 2

,  Fz ? ? fa ??
D

? ( x, y ) xd?
(x ? y ? a )
2 2 3 2 2

柱面坐标和球面坐标:

? x ? r cos? ? 柱面坐标: f ( x, y, z )dxdydz? ??? F (r ,? , z )rdrd?dz, ? y ? r sin ? ,     ??? ? ? ? z?z ? 其中:F (r ,? , z ) ? f (r cos? , r sin ? , z ) ? x ? r sin ? cos? ? 2 球面坐标: ? y ? r sin ? sin ? ,  dv ? rd? ? r sin ? ? d? ? dr ? r sin ?drd?d? ? z ? r cos? ?

??? f ( x, y, z )dxdydz? ??? F (r ,? ,? )r
? ?

2

sin ?drd?d? ? ? d? ? d?
0 0

2?

?

r (? ,? )

? F (r ,? ,? )r
0

2

sin ?dr

重心:x ?

1 M

??? x?dv,   y ? M ??? y?dv,   z ? M ??? z?dv,  其中M ? x ? ??? ?dv
? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ?

1

1

转动惯量:I x ? ??? ( y ? z ) ?dv ,  I y ? ??? ( x ? z ) ?dv ,  I z ? ??? ( x ? y ) ?dv
曲线积分:

第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分): ? x ? ? (t ) 设f ( x, y )在L上连续,L的参数方程为: ,    (? ? t ? ? ),则: ? ? y ? ? (t )

?
L

? x?t f ( x, y )ds ? ? f [? (t ),? (t )] ? ? 2 (t ) ? ? ? 2 (t )dt   (? ? ? )   特殊情况: ? ? y ? ? (t ) ?

?

第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分): ? x ? ? (t ) 设L的参数方程为 ,则: ? ? y ? ? (t )

? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? ? ?{P[? (t ),? (t )]? ?(t ) ? Q[? (t ),? (t )]? ?(t )}dt
L

?

两类曲线积分之间的关 系: ? Pdx ? Qdy ? ? ( P cos? ? Q cos ? )ds,其中?和?分别为
L L

L上积分起止点处切向量 的方向角。 ?Q ?P ?Q ?P 格林公式: ( ? )dxdy ? ? Pdx ? Qdy格林公式: ( ? )dxdy ? ? Pdx ? Qdy ?? ?? ? x ? y ? x ?y D L D L ?Q ?P 1 当P ? ? y, Q ? x,即: ? ? 2时,得到D的面积:A ? ?? dxdy ? ? xdy ? ydx ?x ?y 2L D · 平面上曲线积分与路径 无关的条件: 1、G是一个单连通区域; 2、P( x, y ),Q( x, y )在G内具有一阶连续偏导数 ,且 减去对此奇点的积分, 注意方向相反! · 二元函数的全微分求积 : ?Q ?P 在 = 时,Pdx ? Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分,其中: ?x ?y
( x, y )

?Q ?P = 。注意奇点,如 (0,0),应 ?x ?y

u ( x, y ) ?

( x0 , y0 )

? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy,通常设x

0

? y0 ? 0。

曲面积分:
2 2 对面积的曲面积分: ?? f ( x, y, z)ds ? ?? f [ x, y, z ( x, y)] 1 ? z x ( x, y) ? z y ( x, y)dxdy ? Dxy

对坐标的曲面积分: ,其中: ?? P( x, y, z)dydz? Q( x, y, z)dzdx ? R( x, y, z)dxdy
?

号; ?? R( x, y, z)dxdy ? ? ?? R[ x, y, z( x, y)]dxdy,取曲面的上侧时取正
? Dxy

号; ?? P( x, y, z)dydz ? ? ?? P[ x( y, z ), y, z]dydz,取曲面的前侧时取正
? D yz

号。 ?? Q( x, y, z )dzdx ? ? ?? Q[ x, y( z, x), z ]dzdx,取曲面的右侧时取正
? Dzx

两类曲面积分之间的关 系: ?? Pdydz? Qdzdx? Rdxdy? ?? ( P cos? ? Q cos? ? R cos? )ds
? ?

高斯公式:

??? ( ?x ? ?y ? ?z )dv ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ?? ( P cos? ? Q cos ? ? R cos? )ds
? ? ?

?P

?Q

?R

高斯公式的物理意义— —通量与散度: ? ?P ?Q ?R ? 散度:div? ? ? ? ,即:单位体积内所产生 的流体质量,若 div? ? 0, 则为消失... ?x ?y ?z ? ? 通量: ?? A ? nds ? ?? An ds ? ?? (P cos? ? Q cos ? ? R cos? )ds, ? 因此,高斯公式又可写 成: div A ??? dv ? ?? An ds
? ? ? ? ?

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

?? ( ?y ? ?z )dydz? ( ?z ? ?x )dzdx ? ( ?x ? ?y )dxdy ? ? Pdx ? Qdy ? Rdz
? ?

?R

?Q

?P

?R

?Q

?P

dydz dzdx dxdy cos? ? ? ? ? 上式左端又可写成: ? ?? ?? ?x ?y ?z ?x ? ? P Q R P

cos ? ? ?y Q

cos? ? ?z R

?R ?Q ?P ?R ?Q ?P 空间曲线积分与路径无 关的条件: ? ,  ? ,  ? ?y ?z ?z ?x ?x ?y i j k ? ? ? ? 旋度:rotA ? ?x ?y ?z P Q R ? ? ? 向量场A沿有向闭曲线 ?的环流量: Pdx ? Qdy ? Rdz ? A ? ? ? t ds
? ?

常数项级数:

1? qn 1? q (n ? 1)n 等差数列: 1? 2 ? 3 ??? n ? 2 1 1 1 调和级数: 1 ? ? ? ? ? 是发散的 2 3 n 等比数列: 1 ? q ? q 2 ? ? ? q n?1 ?
级数审敛法:

1、正项级数的审敛法— —根植审敛法(柯西判 别法): ? ? ? 1时,级数收敛 ? 设:? ? lim n u n ,则? ? ? 1时,级数发散 n ?? ? ? ? 1时,不确定 ? 2、比值审敛法: ? ? ? 1时,级数收敛 U n?1 ? 设:? ? lim ,则? ? ? 1时,级数发散 n ?? U n ? ? ? 1时,不确定 ? 3、定义法: s n ? u1 ? u 2 ? ? ? u n ; lim s n 存在,则收敛;否则发 散。
n ??

交错级数u1 ? u 2 ? u3 ? u 4 ? ?(或 ? u1 ?u 2 ?u3 ? ?, u n ? 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理: ? ? u n ? u n?1 如果交错级数满足 s ? u1 , 其余项rn的绝对值rn ? u n?1。 ?lim u ? 0,那么级数收敛且其和 n ? ?n??
绝对收敛与条件收敛:

(1)u1 ? u 2 ? ? ? u n ? ?,其中u n为任意实数; (2) u1 ? u 2 ? u3 ? ? ? u n ? ? 如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对 收敛级数; 如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。 1 (?1) n 调和级数: 发散,而 ?n ? n 收敛; 1   级数: ? n 2 收敛; p?1时发散 1   p级数: ? n p    p ? 1时收敛
幂级数:

1 x ? 1时,收敛于 1? x 1 ? x ? x ? x ? ? ? x ? ?   x ? 1时,发散
2 3 n

对于级数(3)a0 ? a1 x  ? a2 x 2 ? ? ? an x n ? ?,如果它不是仅在原点 收敛,也不是在全 x ? R时收敛 数轴上都收敛,则必存 在R,使 x ? R时发散,其中R称为收敛半径。 x ? R时不定 1

? ? 0时,R ?

a 求收敛半径的方法:设 lim n?1 ? ?,其中an,an?1是(3)的系数,则 ? ? 0时,R ? ?? n ?? a n ? ? ??时,R ? 0
函数展开成幂级数:

?

函数展开成泰勒级数: f ( x) ? f ( x0 )(x ? x0 ) ? 余项:Rn ?

f ??( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? ? ? ( x ? x0 ) n ? ? 2! n!

f ( n?1) (? ) ( x ? x0 ) n?1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是: lim Rn ? 0 n ?? (n ? 1)! f ??(0) 2 f ( n ) (0) n x ??? x ?? 2! n!

x0 ? 0时即为麦克劳林公式: f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ?
一些函数展开成幂级数:

m(m ? 1) 2 m(m ? 1)?(m ? n ? 1) n x ??? x ? ?     (?1 ? x ? 1) 2! n! x3 x5 x 2 n?1 n ?1 sin x ? x ? ? ? ? ? (?1) ? ?     (?? ? x ? ??) 3! 5! (2n ? 1)! (1 ? x) m ? 1 ? m x ?
欧拉公式:

? e ix ? e ?ix cos x ? ? ? 2 e ix ? cos x ? i sin x   或? ix ?ix ?sin x ? e ? e ? 2 ?
三角级数:

a0 ? f (t ) ? A0 ? ? An sin(n?t ? ? n ) ? ? ? (an cosnx ? bn sin nx) 2 n?1 n ?1 其中,a0 ? aA0,an ? An sin ? n,bn ? An cos? n,?t ? x。 正交性: 1, sin x, cos x, sin 2 x, cos2 x?sin nx, cosnx?任意两个不同项的乘积 在[?? ,? ] 上的积分= 0。
傅立叶级数:

?

f ( x) ?

a0 ? ? ? (an cosnx ? bn sin nx),周期 ? 2? 2 n?1

? ? 1 (n ? 0,1,2?) ?an ? ? f ( x) cosnxdx    ? ?? ? 其中? ? ?b ? 1 f ( x)sinnxdx    (n ? 1,2,3?) ? n ? ? ?? ?

1 1 ?2 1? 2 ? 2 ?? ? 8 3 5   1 1 1 ?2 ? ? ?? ? 24 22 42 62 正弦级数:an ? 0,bn ? 余弦级数:bn ? 0,an ?

1 1 1 ?2 ? ? ? ? ? (相加) 6 2 2 32 4 2 1 1 1 ?2 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (相减) 12 2 3 4 1? 2
?

?
2

? f ( x) sin nxdx  n ? 1,2,3?  f ( x) ? ? b
0 0

n

sin nx是奇函数

f ( x) cosnxdx  n ? 0,1,2?  f ( x) ? ??

?

a0 ? ? an cosnx是偶函数 2

周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数:

f ( x) ?

a0 ? n?x n?x ? ? (an cos ? bn sin ),周期 ? 2l 2 n?1 l l

l ? 1 n?x a ? f ( x) cos dx    (n ? 0,1,2?) ? n ? l l ? ?l 其中? l ?b ? 1 f ( x) sin n?x dx    (n ? 1,2,3?) ? n l? l ?l ?

微分方程的相关概念:

一阶微分方程: y ? ? f ( x, y )  或 P( x, y )dx ? Q( x, y )dy ? 0 可分离变量的微分方程 :一阶微分方程可以化 为g ( y )dy ? f ( x)dx的形式,解法:

? g ( y)dy ?? f ( x)dx  得:G( y) ? F ( x) ? C称为隐式通解。
dy y ? f ( x, y ) ? ? ( x, y ),即写成 的函数,解法: dx x y dy du du dx du y 设u ? ,则 ? u ? x ,u ? ? ? (u ), ? ? 分离变量,积分后将 代替u, x dx dx dx x ? (u ) ? u x 齐次方程:一阶微分方 程可以写成 即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:

dy 1、一阶线性微分方程: ? P( x) y ? Q( x) dx
? P ( x ) dx 当Q( x) ? 0时, 为齐次方程, y ? Ce ?

当Q( x) ? 0时,为非齐次方程, y ? ( ? Q ( x )e ? dy 2、贝努力方程: ? P( x) y ? Q( x) y n, (n ? 0,1) dx
全微分方程:

P ( x ) dx

? P ( x ) dx dx ? C )e ?

如果P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? 0中左端是某函数的全微 分方程,即: ?u ?u du( x, y) ? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? 0,其中: ? P( x, y), ? Q( x, y) ?x ?y ?u ( x, y) ? C应该是该全微分方程的 通解。
二阶微分方程:

f ( x) ? 0时为齐次 d2y dy ? P ( x ) ? Q ( x ) y ? f ( x ) , dx dx2 f ( x) ? 0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:

(*)y ?? ? py ? ? qy ? 0,其中p, q为常数; 求解步骤: 1、写出特征方程: (?)r 2 ? pr ? q ? 0,其中r 2,r的系数及常数项恰好是 (*)式中y ??, y ?, y的系数; 2、求出(?)式的两个根r1 , r2

3、根据r1 , r2的不同情况,按下表写 出(*)式的通解:

r1,r2的形式
两个不相等实根 ( p 2 ? 4q ? 0) 两个相等实根 ( p 2 ? 4q ? 0) 一对共轭复根 ( p 2 ? 4q ? 0)

(*)式的通解

y ? c1e r1x ? c2e r2 x y ? (c1 ? c2 x)e r1x y ? e?x (c1 cos?x ? c2 sin ?x)

r1 ? ? ? i?,r2 ? ? ? i? 4q ? p 2 p ? ? ? ,? ? 2 2
二阶常系数非齐次线性微分方程

y ?? ? py ? ? qy ? f ( x),p, q为常数 f ( x) ? e ?x Pm ( x)型,?为常数; f ( x) ? e ?x [ Pl ( x) cos?x ? Pn ( x) sin ?x]型

线性代数公式、定理和性质基本知识 行列式 克莱姆法则 注意 分母都为原方程组的系数行列式.

b1 a12 b a22 D x1 ? 1 ? 2 , D a11 a12 a21 a22

a11 b1 a b D x2 ? 2 ? 21 2 . a11 a12 D a21 a22

注意:在利用克莱姆法则解方程组时,系数行列式不能等于零。另外,方程组中方程的个数 与未知数的个数必须相等。 二阶与三阶行列式的计算--------------对角线法则 在一个排列 i1…is…it…in 中, 如果仅将它的两个数码 is 与 it 对调, 其它数码不变, 得到 另一个排列, 这样的变换, 称为一个对换. 定理 任一排列经过一次对换后改变奇偶性. 定理 n 个数码(n>1)共有 n!个 n 级排列, 其中奇偶排列各占一半.

a11 a12 a13 D ? a 21 a 22 a 23 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 ? a 31 a 32 a 33 ? a13a22a31 ? a11a23a32 ? a12a21a33
上三角行列式
p1 p2 p3

? (?1)

t ( p1 p2 p3 )

a1 p1 a2 p2 a3 p3 .

a11 ? 0 ? 0

a12 ? a1n a 22 ? a 2 n ? ? 0
0 a 22 ?

?

? a11a22 ?ann .

? a nn
? ? ? 0 0 ?

同理可得下三角行列式

a11 a 21 ? a n1

? a11a22 ?ann .

a n 2 ? a nn

对角行列式同上

另外

?1 ?2
?

? (?1)

n( n?1) 2

?1?2 ??n .

?n

行列式的性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等,即 DT=D 性质 2 交换行列式的两行(列),行列式的值变号. 推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. 性质 3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k,等于用数 k 乘此行列式, 推论 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行列式的值等于零. 性质 4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和. 注意: 只能拆一行或一列. 性质 5 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数 k 后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变 余子式与代数余子式 i? j 余子式 M 代数余子式 A ij ij

记 A ? (?1)

M ,

行列式展开定理 n 阶行列式 D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘 积的和, 即

D ? ai1 Ai1 ? ai 2 Ai 2 ? ? ? ain Ain (i ? 1,2,?, n)

D ? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ??? anj Anj

( j ? 1,2,?, n).

推论: 若行列式某行(列)的元素全为零,则行列式的值为零. 定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零 范德蒙 (Vandermonde)行列式

1 x1 ?

1 x2 ?

? ? ?

1 xn ?

2 Dn ? x1

2 x2

2 ? xn

n ? i ? j ?1

?(x

i

? x j ).

n ?1 x1

n ?1 n ?1 x2 ? xn

矩阵
注意: 不同阶数的零矩阵是不相等的 当对角矩阵的主对角上的元都相同时,称为数量矩阵 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算. 矩阵加法的运算规律:

(1) A ? B ? B ? A ;

(2) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) .

数乘矩阵的运算规律

(1) ? ( ?A) ? (?? ) A ;
(3) ? ( A ? B) ? ?A ? ?B .
? A( BC ) ; (2) A( B ? C ) ? AB ? AC , (4) AE ? EA ? A .

(2) (? ? ? ) A ? ?A ? ?A ;

加法和数乘合称为矩阵的线性运算. 矩阵乘法的运算规律: (1) ( AB )C

(3) k ( AB ) ? (kA)B ? A(kB)
注意:交换律不成立 若

AB ? BA ,

矩阵乘法不满足消去律 A 的方幂规律

称 A、B 可交换,前提 A、B 为同阶方 阵

Ak Al ? Ak ? l ,
( AB)k ? Ak Bk .

( Ak )l ? Akl .

一般由于没有交换律 转置矩阵的运算性质:

(1) ( AT )T ? A ;

(2) ( A ? B)T ? AT ? BT ; (3) (kA)T ? kAT ;
T T T ( A1 A2 ? As )T ? As ? A2 A1 .

(4) ( AB)T ? BT AT .
AT ? A ,则 A 称为对称阵 .

推广

AT ? ? A ,则 A 称为反对称阵 .反对称阵的对角元全为零
方阵的行列式

(1) AT ? A ; (2) kA ? k n A ; (3) AB ? A ? B ;

A1 A2 ? As ? A1 A2 ? As .
逆矩阵

特别的

Am ? A .

m

(1) 只有方阵才可能可逆;(2) 逆阵若存在, 则必唯一.

伴随矩阵 性质 逆矩阵的运算性质

AA? ? A? A ? A E.

A ?1 ?

1 ? A . A

(1) 若A可逆, 则A?1亦可逆, 且( A?1 )?1 ? A .
(2) 若A可逆, 数? ? 0, 则?A可逆, 且
(?A) ?1 ? 1

?

A?1.

(3) 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且
推广 ( A2 ? )?1 ?
?1 ? A2

(A B )?1 ? B ?1 A ?1

.
T ?1

(4) 若A可逆, 则AT 亦可逆 , 且 ( A ) ? ( A ) .
(5) 若A可逆, 则有 A?1 ? A .
注意 A,B 可逆,A+B 不一定可逆,即使可逆,一般 ( A ? B) 可逆阵 A 若对称(反对称),则
?1 T ?1
?1

?1 T

? A?1 ? B?1 . ? A?1 , 对称

也对称(反对称). ( A ) ? ( A )

T ?1

( A?1 )T ? ( AT ) ?1 ? (? A)?1 ? ? A?1 , 反对称
设 A, B, C 为同阶方阵, AB ? AC 。若 A 可逆,则 B ? C 。 对于可逆矩阵而言,矩阵乘法的消去律成立。 伴随矩阵的有关性质: (1)

AA? ? A? A ? A E
A ? A ( A? ) ?1

A? ? A A ?1 , ( A? ) ?1 ?
若 (2)
n?2

1 A, A

( A? )? ? A
?

A (n ? 2)

(3)
?

A? ? A
n?1

n ?1

(4) ( A )

? ?1

? ( A?1 )? , ( AT )? ? ( A? )T

(5) ( AB) ? B A

?

?

(6) (kA) ? k

A?

其中 A,B 均为 n 阶方阵,k 为数 分块矩阵的运算规则 略

? A?1 ? A C? ? ? ? ? ?O B ? ? O ? ? ?
?1

?1

? A?1CB ?1 ? ?. B ?1 ? ?

?1 ? ? A O? A ? ? ? ? ?C B ? ? ? B ?1CA?1 ? ? ? ?1

?1

O? ?. ?1 ? B ?

? A?1 O ? ? A O? ?. ? ?O B ? ? ?? ?O ?1 ? B ? ? ? ? ? O B?1 ? ?O A? ? ? ? ? ? B O? ? ?1 O ? ?. ? ? ?A ?
矩阵的初等变换 略 见书
?1

?1 ?O ? ?C A? B ? ? B O? ? ?? ? ?1 ? ?1 C ?1 ? ?, A B ? ? ? ?A

矩阵的秩 零矩阵的秩规定为 0。 矩阵秩的性质:(1) 若 A 为 m? n 矩阵,则 0 ? r ( A) ? min( m , n) ; (2) r ( AT ) ? r ( A) ; r ( kA) ? r ( A) ( k ? 0 ); (3) 若 A 有一个 r 阶子式不为零,则 r ( A) ? r ;若 A 的所有 r ? 1 阶子式全为零,则

r ( A) ? r ;
4) 对于 n 阶方阵 A 而言, 有 r ( A) ? n ? A ? 0

r ( A) ? n ? A ? 0 ;

当 r(A)=min(m, n)

时,称矩阵 A 为满秩矩阵,可逆矩阵也称为满秩矩阵。 (5) 设 P , Q 为可逆阵,则 r ( PA) ? r ( A) , r ( AQ ) ? r ( A) . 注意:初等变换不改变矩阵的秩。 阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的个数。 矩阵秩的计算方法: 用初等行变换把矩阵化为阶梯形, 则该阶梯形矩阵中的非零行数就是所 求矩阵的秩。 方程组有解的充分必要条件是 dr ?1 ? 0 . 实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r ? r ( A) , 若 d r ?1 ? 0 ,则 r ( A ) ? r ( A) ? r 线性方程组解的判定定理 若 d r ?1 ? 0 ,则 r ( A ) ? r ( A) ? 1 ,

线性方程组 Ax ? b 有解的充分必要条件是 r ( A) ? r ( A ) . 在有解的情况下,当 r ( A) ? n 时有唯一解;当 r ( A) ? n 时有无穷多解;这时自由未知量个 数为 n ? r ( A) . 若 r ( A) ? n ,则只有零解,若 r ( A) ? n ,则有非零解.若 m ? n ,则必有非零解, 因为此时必有 r ( A) ? m ? n 向量的线性运算满足以下八条运算律: (1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g (3) a+θ =a (4) a+(-a)= θ (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb (7) (kl)a=k(la) (8) 1a=a 其中 a, b, g 都是 n 维向量, k, l 为实数. 除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:

(1' ) 0? ? ? , k? ? ? (其中0 为数零, k为任意数 ); (2' ) 若k? ? ? , 则或者k ? 0, 或者? ? ? ; (3' ) 向量方程? ? x ? ? 有唯一解 x ? ? ? ? .
定理 1 在 s ? 2 情况下,向量组 ?1 ,?, ? s 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量能 被其余向量线性表示。 推论 在 s ? 2 情况下,向量组 ?1 ,?, ? s 线性无关的充分必要条件是其中没有哪一个向量能被 其余向量线性表示。 注 两个向量线性相关(无关)当且仅当它们成比例(不成比例)

定理2(线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组 Ax ? ? 有(无)非零解,其中 A ? (?1 ,?, ? s ) .这又取决于 r ( A) ? s 或 r ( A) ? s 定理 3 若向量组 ?1 ,?, ? s 线性无关,而 ? ,?1 ,?, ? s 线性相关,则 ? 能由 ?1 ,?, ? s 线性 表出,且表法唯一。 线性相关性的性质 (1) 如果向量组有一个部分组线性相关,则该向量组线性相关。 k1?1 ? ?? kr? r ? 0? r ?1 ? ?? 0? s ? ? . (2) 如果一个向量组线性无关, 则其任一部分组,线性无关. 部分相关 ? 整体相关 整体无关 ? 部分无关 线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关; 线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关. (2) 若向量组 ?1 ,?, ? s 线性无关,则每个向量各添一个分量后的向量组 ? 1 ,?, ? s 仍线性 无关. (3) 向量组的个数如果多于维数, 则必线性相关。 (4) 若向量组 ?1 ,?, ? s 可由向量组 ? 1 ,?, ? t 线性表出, 且s ? t , 则向量组 ?1 ,?, ? s 必 线性相关. 推论 若向量组 ?1 ,?, ? s 线性无关,且可由向量组 ? 1 ,?, ? t 线性表出,则 s ? t . (5) 两个线性无关且彼此等价的向量组,必含有相同个数的向量. 向量组的秩 一个向量组的一个部分组称为一个极大(线性)无关组,如果它满足:(1)是线性无关的,(2) 再任意添一个向量(如果还有的话)所得向量组线性相关. 一个线性无关的向量组, 它的极大无关组就是它本身. 任何一个向量组, 只要它含有非零向量, 就一定有极大无关组. 定理 一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价. 若向量组 ?1 ,?, ? s 线性无关,且可由向量组 ? 1 ,?, ? t 线性表出,则 s ? t . 推论若 P,Q 为可逆矩阵,则有 r ( PA) ? r ( AQ) ? r ( A) . 线性方程组解的结构 见课件 特征值与特征向量的性质 性质 1(1) 设 ? 是矩阵 A 的属于特征值 ?0 的特征向量, 则对任意常数 k ? 0 , k ? 也是 A 的属于

?0 的特征向量; ?0 的特征向量

(2) 若 ? , ? 都是 A 的属于特征值 ?0 的特征向量,

) 也是A的属于 则 k? ? l? ( k , l 不全为零

性质2属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况. 推广 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。 性质 3 矩阵 A 与它的转置 A 有相同的特征值。 注意 尽管 A 和 A 的特征值相同,但一般它们的特征向量是不同的。 性质 4 设 ?0 是矩阵 A 的特征值, ? 是相应的特征向量,则 (1) k?0 是 kA 的特征值(k 是任意常数) ;
m ; ?m 0 是 A 的特征值(m 是正整数) ?1 ?1 (3) 当 A 可逆时, ?0 ? 0 ,且 ?0 是 A 的特征值. m ?1 m ?1 且 ? 仍然是矩阵 kA 、 A 、 A 的相应于特征值 k?0 、 ?0 、 ?0 的特征向量。 T T

(2)

(4))当 A 可逆时,

A

?0

是 A

?

的特征值

(1)
性质 5

? ?i ? ? aii ; (2)
i ?1 i ?1

n

n

??
i ?1

n

i

? A.

?a
i ?1

n

ii

称为 A 的迹,记为 tr( A) .

推论 方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的特征值全不为零. 矩阵的迹的性质

(1) tr( A ? B) ? tr( A) ? tr( B) ; (4) tr( AB) ? tr( BA)

(2) tr(kA) ? k tr( A) ;

(3) tr( AT ) ? tr( A) ;

相似矩阵的性质 定理 相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同. 推论 1 相似矩阵的行列式相等; 推论 2 相似矩阵的迹相等;
? ?1 ? ? ? ?2 ? ? ??? ? ? ? ? ? ?n ? ? 相似,则 ? 与一个对角阵 ?

推论 3 若矩阵 A

1

, ?2 ,??n 即为 A 的全部特征值。

注意 特征值相同的矩阵不一定相似. 相似矩阵的其它性质: 相似矩阵的秩相等; P AP ? B , 若 P,Q 为可逆矩阵,则有 r ( PA) ? r ( AQ) ? r ( A) . 若 A ~ B ,则 (1) A ~ B ; (2) kA ~ kB ,其中 k 为任意常数 (3) A ~ B ,其中 m 为任意正整数 (4) p( A) ~ p( B) ,其中 p( x ) 为任一多项式; (5)它们的特征矩阵 ?E ? A 和 ?E ? B 也相似 (6)A ,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。 对角化见课件
m m T T

?1


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