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二项式定理和杨辉三角基本知识

二项式定理和杨辉三角基本知识


二项式定理
二项式定理内容:
n 01 nn ? 1 2 n ? 2 2 r n ? r r n n ( a ? b ) ? C a ? C a b ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b () n ? N ? nn n n n

等式右边的多项式叫做 (a ?b) 的二项展开式,共有 n+1 项
n

二项式系数:其中各项系数 C n 叫做展开式的二项式系数。 二项展开式的通项:展开式中的 式的第 r+1 项。 记作:
r nr r T C a?b r ? 1? n
r n?r r Cn a b

r

项叫做二项展开式的通项,通项是展开

(其中 0≤r≤n,r∈N, n∈N+)

例1

展开 (1? x)

n

(2 x ?

例2

展开

1 6 ) x

例3

求 (1?2x) 的展开式的第 4 项的二项式系数和系数。
7

例4

1 ( x ? )9 x 中含 x3 的项,并说明它是展开式的第几项? 求

杨辉三角(贾宪三角或帕斯卡三角)
(a+b)n 展开式的二项式系数,当 n 取正整数时可以单独裂成下表的形式: (a+b)1 ????????? 1 1 2 (a+b) ???????? 1 2 1 3 (a+b) ??????? 1 3 3 1 4 (a+b) ?????? 1 4 6 4 1 5 (a+b) ????? 1 5 10 10 5 1 6 (a+b) ???? 1 6 15 20 15 6 1 ???? 观察上面的杨辉三角,可以看出二项式系数具有下面 3 条性质: 1、每一行的两段都是 1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和。 性质 1 实际上反映了组合数的下列性质:
0 n C 1 ,C 1 n? n?
m m m ? 1 C ? C C n ? 1 n? n

2、每一行中,与首末两段“等距离”的两个数相等。 性质 2 实际上反映了组合数的下列性质:
m n ? m C C n ? n

T
3、如果二项式的幂指数 n 是偶数,那么其展开式中间一项

n ?1 2

的二项式系数最大;如果 n

T
是奇数,那么其展开式中间两项

n?1 2

T n ?1

2

?1

的二项式系数相等且最大。

容易推出二项式系数满足的第 4 条性质。 4、二项展开式的二项式系数的和等于 2 。 在
n 0 n1 n ? 12 n ? 2 n 0 ( 1 ? x ) ? C x ?? C x C x ? ? ? C x n n n n 中,令 x=1,则

n

0 1 2 n n C ? C ?? C ?? C n n n? n 2

例 1 证明在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。 提示:奇数项的二项式系数和为 偶数项的二项式系数和为 令 a=1,b=-1
0 2 4 C C C ? n? n? n?
1 3 5 C ? C C ? n n? n?

例 2 已知(x2-1)n 展开式的各项二项式系数和等于 1024,求展开式中含 x6 的项。

例 3 求(1-x)8 展开式中二项式系数最大的项。

练习: 1、已知
5 9 1 0 Ca ? , Cb ? , 那 么 C = 1 5 1 5 1 6

(提示: 用公式

m m m ? 1 m n ? m C C C n ? 1? n? n 和C n ?C n )

2、当 n 为偶数时, (a+b)n 展开式中,二项式系数最大项是第 当 n 为奇数时, (a+b)n 展开式中,二项式系数最大项是第
9 ( 2 - x ) 3、在 的展开式中,二项式系数最大项为

项; 项;



( 1-x) 4、求 的展开式中的含 x 的奇次项系数的和。
5、证明:
0 2 4 n n ? 1 C ? C ? C ? ? ? C ? 2 ( n 是 偶 数 ) n n n n

13

(x3 +
6、已知 7、设

1 n ) x 3 的展开式中,只有第 6 项的系数最大,求展开式中的常数项。

8 8 7 ( 3 x ? 1 ) ??? a x a x ? ? a x ? a 8 7 1 0 ,则

(1) (2) (3)

a ? a ? ? ? a ? 8 7 1

; ;

a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? 8 7 6 5 4 3 210
a ????? a 8 6 a 4 a 2 a 0
.

选修 2——3
1、 2、
m A ? n (1 nn ?? ) (2 )( ? n ? m ? 1 ) n

第一章计数原理 公式

n A ??? n ( n 1 ) ( n 2 )2 ? * 1! ? n n

m An ?

3、

n! (n ? m)!

4、

m n ( n ? 1 ) ( n ? 2 ) ? ( nm ?? 1 ) m A n C ? ? n m A m ! m

m C n ?

5、 6、

n ! m ! (n?m )!

m n ? m C C n ? n

? 1 n n 7、 n 8、二项式定理内容:

m m m ? 1 C ? C ? C

n 01 nn ? 1 2 n ? 2 2 r n ? r r n n ( a ? b ) ? C a ? C a b ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b () n ? N ? nn n n n

9、二项式系数:其中各项系数 10、二项式的通项:

C nr 叫做展开式的二项式系数。

r nr r T C a?b r ? 1? n
n

11、二项展开式的二项式系数的和等于 2 。
0 1 2 n n C ? C ?? C ?? C n n n? n 2


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