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2019学年高中数学北师大版必修四课件:第一章 §5 第2课时 正弦函数的性质_图文

2019学年高中数学北师大版必修四课件:第一章 §5 第2课时 正弦函数的性质_图文

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北 师 大 版

第2课时 正弦函数的性质

[核心必知]

正弦函数y=sin x的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 周期 在 y=sin x R . [-1,1] . 奇 函数 T= 2π .
π π 2kπ- ,2kπ+ 2 2 (k∈Z)

单调性

上是增加的; 上是减少的

π 3π 2kπ+ ,2kπ+ 2 2 (k∈Z) 在

函数 当x= 当x=

y=sin x
π 2kπ+ (k∈Z) 2 3π 2kπ+ (k∈Z) 2

最值

时,ymax= 1 ; -1 . 时,ymin=

[问题思考]

1.“正弦函数在第一象限是增加的”这一说法正确吗?为什么?
提示: 不正确. 事实上, “第一象限”是由所有的区间(2kπ, π 2kπ+ )(k∈Z)构成的,在这样若干个区间所构成的集合的并集 2 内,显然函数值不是随着 x 值的增加而增加的.

2.正弦曲线有对称轴和对称中心吗?分别有多少个?
提示: 正弦函数曲线既是轴对称图形, 又是中心对称图形. π 函数 y=sin x,(x∈R)的对称轴是 x=kπ+ (k∈Z) ,有无数条; 2 对称中心是点(kπ,0)(k∈Z) ,有无穷多个.

1.求函数

? ? y=lg?sin ?

2? ? x- ?的定义域. 2?
? ? y=lg?sin ?

[尝试解答] 要使函数

2? ? x- ?有意义, 2?

2 2 则 sin x- >0,即 sin x> .作出正弦函数 y=sin x,x 2 2 ∈[0,2π]的图像.

?π 3π ? 如图,由图像可以得到满足条件的 x 的集合为?4+2kπ, 4 +2kπ?,k∈Z. ? ? ? ?π 3π ? 2?? ? ∴函数 y=lg?sin x- ?的定义域为?4+2kπ, 4 +2kπ?,k∈Z. 2? ? ? ?

1 .求由三角函数参与构成的函数定义域,对于自变量必 须满足: (1)使三角函数有意义. (2)分式形式的分母不等于零. (3)偶次根式的被开方数不小于零. (4)对数的真数大于 0. 2.求三角函数定义域时,常常归结为解三角不等式( 组), 这时可利用三角函数的图像直观地求得解集.

1.求函数 y= -3sin x 的定义域.
解:要使函数有意义,必须使-3sin x≥0.即 sin x≤0, ∴(2k-1)π≤x≤2kπ,k∈Z. ∴函数的定义域为[(2k-1)π,2kπ],k∈Z.

例 2:求下列函数的值域. (1)y=2-sin x;(2)y=lg sin x; (3)y=sin
2

? π? x-4sin x+5,x∈?0,2?. ? ?

[尝试解答] (1)正弦函数 y=sin x 的值域为[-1,1].所 以函数 y=2-sin x 的值域为[1,3].

(2)∵0<sin x≤1,∴y=lg sin x≤0. ∴函数 y=lg sin x 的值域为(-∞,0]. ? π? (3)令 t=sin x,由 x∈?0,2?,得 0≤t≤1. ? ? y=t2-4t+5=(t-2)2+1. 当 t=0,即 sin x=0 时,最大值为 5, 当 t=1,即 sin x=1 时,最小值为 2. ∴该函数的值域是[2,5].

1.对于形如f(x)=asin x+b的函数的值域可以利用正弦

函数图像或有界性直接解决.
2.对于形如f(x)=Asin2x+Bsin x+C的函数,可用配方法

求其值域,注意当x有具体限制范围时,需要考虑sin x的范
围.

2. 求函数 y=a-2sin x(a∈R) 取得最大值、最小值时 x 的 集合.
π 解:当 sin x=1 时,y 最小,此时 x= +2kπ,k∈Z, 2 π 当 sin x=-1 时,y 最大,此时 x=- +2kπ,k∈Z, 2 所以,函数 y=a-2sin x 取得最大值时 x 的集合为
? ? ?, ? ? ? ? ? ? π ? 的集合为?x?x= +2kπ,k∈Z 2 ? ?

? ? ? ? π ?x?x=- +2kπ,k∈Z ? ? 2 ?

取得最小值时 x

? ? ?. ? ?

3.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=xsin(π+x); (2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x).
[尝试解答] (1)函数的定义域为 R,关于原点对称. f(x)=xsin(π+x)=-xsin x, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x). ∴f(x)是偶函数.

? ?1-sin x>0 (2)由? ? ?1+sin x>0

?-1<sin x<1,得函数定义域为

π {x|x∈R,且 x≠2+kπ,k∈Z},关于原点对称. 又 f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x), ∴函数 f(x)是奇函数.

1+sin x-cos2x 3.判断函数 y= 的奇偶性. 1+sin x

解:函数应满足 1+sin x≠0,
? ? ? ? 3 ∴函数的定义域为? x x∈R,且x≠2kπ+ π,k∈Z ? ? 2 ? ? ? ? ?. ? ?

∵函数的定义域不关于原点对称, ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.

4.求下列函数的单调增区间. (1)y=2sin(-x);(2)y=a+bsin x(a,b∈R 且 b≠0).
[ 尝试解答 ] (1)y = 2sin( - x) =- 2sin x , ∴ 函数 y = 2sin(-x)的递增区间就是函数 u=2sinx 的递减区间. ∴函数 ? π 3π? ? ? y=2sin(-x)的递增区间为?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈Z). ? ?

π π 2kπ- ,2kπ+ (2)∵y=sin x 的单调递增区间为 2 2 (k∈Z), π 3π 2kπ+ ,2kπ+ 减区间为 2 2 (k∈Z).∴当 b>0 时,y=a+bsin x π π 2kπ- ,2kπ+ 的单调递增区间为 2 2 (k∈Z);当 b<0 时,y=a+ π 3π 2kπ+ ,2kπ+ bsin x 的单调增区间为 2 2 (k∈Z).

求形如y=a+bsin x的函数的单调区间,只需考察y=sin x
的单调区间,当b>0时,y=a+bsin x与y=sin x的单调区间相 同,当b<0时,则y=sin x的单调递增(减)区间是y=a+bsin x的 递减(增)区间.

4.求函数 y=2-sin x 的单调区间.
1 sin x 解:∵y=2 =( ) 2 ∴所求函数的单调性与 y=sin x 的单调性正好相反. π 3π 2kπ+ ,2kπ+ ∴所求函数的单调增区间是 2 2 , (k∈ Z) . π π 2kπ- ,2kπ+ 单调减区间是 2 2 ,(k∈Z).
-sin

x

求函数y=sin2x-4sin x-1的值域. [错解] ∵y=sin2x-4sin x-1=(sin x-2)2-5,∴y≥-5. ∴此函数的值域为[-5,+∞). [错因] 在探讨y=(sin x-2)2-5的值域时,误认为sin x∈R, 而忽略了正弦函数的有界性,即|sin x|≤1.这也是此类问题的常 见错误.
[正解] ∵y=sin2x-4sin x-1=(sin x-2)2-5,

且-1≤sin x≤1,
∴当sin x=-1时,函数的最大值是4. 当sin x=1时,函数的最大值是-4. ∴此函数的值域为[-4,4].

1.正弦函数 y=sin x,x∈R 的图像的一条对称轴是( ) π A.y 轴 B.x 轴 C.直线 x= D.直线 x=π 2 答案:C 2.函数 f(x)=1+sin x 的最小正周期是( π 3π A. B.π C. D.2π 2 2
答案:D

)

? ? π? π? 3.(天津高考)函数 f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为( ? ? ? ?

)

A.-1

2 B.- 2

2 C. 2
由已知

D. 0
? π? ? x∈?0, ? ,得 2? ? ?

解析:选 B

π 3π? π ? ? 2x- ∈?- , ? , 4 ? 4 4? ?

? 2 ? 所以 ,1?, 2 ? ? ? π? π? 2 ? ? ? ? 故函数 f(x)=sin?2x-4 ?在区间?0, 4 ?上的最小值为- . 2 ? ? ? ?

? ? π? ? ? ? 2 x - sin? ∈?- 4? ? ? ?

4.函数f(x)=sin2x+1的奇偶性是________. 解析:f(-x)=sin2(-x)+1=sin2x+1=f(x) ∴f(x)是偶函数. 答案:偶函数

? π? 5.设函数 y=sin?x-6?取得最大值的 x 的集合是________. ? ?

π π 解析:当且仅当 x-6=2+2kπ,k∈Z, ? ? π 2π 即 x= 3 +2kπ,k∈Z 时,y=sin??x-6??取最大值. ? ? ? ? ? ? ? 2π ? ?. x = + 2 k π , k ∈ Z 故 x 的集合为? x ? ? ? 3 ? ? ?
? ? ? ? 2π ? 答案:?xx= 3 +2kπ,k∈Z? ? ? ?

6.比较下列各组数的大小. 7 5 (1)sin 2 012°和 cos 160°;(2)sin 和 cos ; 4 3
解:(1)sin 2 012°=sin(360°×5+212°)=sin 212° =sin(180°+32°)=- sin 32°. cos 160°=cos(180°-20°)=- cos 20°=- sin 70°. ∵sin 32°<sin 70°, ∴-sin 32°>- sin 70°,即 sin 2 012°>cos 160°. π 5 + 5 π 7 π 5 3π (2)cos = sin 2 3 ,又 < < + < , 3 2 4 2 3 2 π 3π , y=sin x 在 2 2 上是减少的, π 5 + 7 5 7 5 ∴sin >sin 2 3 = cos ,即 sin >cos . 4 3 4 3


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