2014—2015 学年度第二学期
高一年级数学 ( 理科 ) 期考试题
(完成时间:120 分钟 满分:150 分) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答案写在答题卡上
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分.) ? ? ? ? 1.已知向量 a ? (?1,2) , b ? (2, x) ,若 a ? b ,则实数 x 等于(
A.1 B. -1 ) B. y ? sin x D. y ? cos ? C.-4
) D.42.下列函数中
是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是( A. y ? tan 2 x C. y ? sin ?
?π ? ? 2x ? 2 ? ?
? 3π ? ? 2x ? 2 ? ?
) D. ?
3.在 ?ABC 中, BD ? A.
??? ?
1? 3? a? b 4 4
? ???? 3 ??? BC ,设 AB ? a, AC ? b ,则向量 AD ? ( 4 3? 1? 7? 3? B. a ? b C. a ? b 4 4 4 4
)
7? 3? a? b 4 4
4. 已知 sin 2? ?
24 ? (0, ) ,? ? ,则 sin? ? cos ? =( 25 4
B.
A.-
1 5
1 5
第5题
C. ?
7 5
D.
7 5
)
5. 阅读右面的程序框图,输出结果 s 的值为( A.
1 2 1 16
B.
3 16
1 8
C.
D.
6. 已知 | p |? 2 2 ,| q |? 3 , p, q 的夹角为 为 BC 的中点,则 | AD | 为(
? ?
?
? ??
????
??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ,如图,若 AB ? 5 p ? 2q , AC ? p ? 3q , D 4
)
A.
15 2
B.
15 2
C.7
D.18
7. 甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字, 把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若 a=b 或 a=b-1,就称甲乙“心有灵犀”现 在任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( A. ) D.
7 36
B.
1 4
C.
11 36
5 12
8.若函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos? x ? ? ? 0? 的最小正周期为 ? ,则它的图像的一个对称中 心为( A. ( )
?
2
,0)
B. (
?
3
,0)
C. (
?
6
,0)
D. ( )
?
12
, 0)
9.函数 f ? x ? ? ? x ?
? ?
1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能( x?
A.
B.
C.
D.
10. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且在[-3,-2]上是减函数,若 ? , ? 是锐角三角 形的两个内角,则( ) B. f ?sin ? ? ? f ?cos ? ? D. f ?cos? ? ? f ?cos? ? A. f ?sin ? ? ? f ?cos ? ? C. f ?sin ? ? ? f ?sin ? ?
11.由函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像得到 g ( x) ? cos(2 x ?
?
3
) 的图像,可将 f ( x) 的图象(
)
? 个单位 6 ? C.向右平移 个单位 12
A.向左平移
tan ?OPB 的值为(
? 个单位 6 ? D.向左平移 个单位 12
B.向右平移
12.函数 y ? sin ? x ? x ? R ? 的图象如图所示,设 O 为坐标原点,P 是图象的最高点,B 是图象与
x 轴的交点,则
)
A.10 C.
8 7
B.8 D.
4 7
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)
13.如图为 y ? A cos(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 图象的一段,其解析式
?
2
.
)的
14.已知 A(2,3) , B(3, 0) ,且 AC ? ?2CB ,则点 C 的 坐标为 .
??? ?
??? ?
15. 欧阳修《卖油翁)中写到: “ (翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌漓沥之,自 钱孔入,而钱不湿” ,可见“行行出状元” ,卖油翁的技艺让人叹为观止,若铜钱是直径 为 4 cm 的圆,中间有边长为 l cm 的正方形孔.若随机向铜钱上滴一滴油(设油滴整体落 在铜钱上) .则油滴(设油滴是直径为 0. 2 cm 的球)正好落入孔中(油滴整体落入孔中) 的概率是 . .
16.给出下列说法,其中说法正确的序号是 ① 小于 90 的角是第Ⅰ象限角;
o
②若 ? 是第Ⅰ象限角,则 tan ? ? sin ? ;
③ 若 f ( x) ? cos 2 x , x2 ? x1 ? ? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④ 若 f ( x) ? sin 2 x , g ( x) ? cos 2 x , x1 、 x2 是方程 f ( x)=g ( x) 的两个根,则 x2 ? x1 的最小值是 ? .
三、解答题 (总分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 10 分) 已知 a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) , b ? (?2 , 3) , c ? (?2 , m) (1)若 a ? (b ? c) ,求 c ; (2)若 ka ? b 与 2a ? b 共线,求 k 的值.
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
?
?
π 18.(本小题满分 12 分)某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) (? ? 0, | ? | ? ) 在某 2
一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
?x ??
0
π 2 π 3
π
3π 2 5π 6
?5
2π
x
A sin(? x ? ? )
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ)令 g(x)=f (x+ 的取值范围.
? ? ? )—1,当 x∈[— , ] 时,若存在 g (x)<a—2 成立,求实数 a 3 6 3
19.(本小题满分 12 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低 碳族” ,否则称为“非低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
(1)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值; (2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率.
cos ( ( xx + + )) - 3 sin2 x +1 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) =2 cos - 6 6
(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? (
22
? ?
? ?
, ) 时,若 f ( x) ≥log2 t 恒成立,求 t 的取值范围. 6 2
21.(本小题满分 12 分) 已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (2 ? 2sin A , sin A ? cos A) 与 n ? (sin A ? cos A , 1 ? sin A) 共线,且 AB · AB ? ? AC AC? ?0 0. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y ? 2sin
2
??
?
??? ??? ?? ??? ??? ??
B C?B ? cos 的值域. 2 2
22.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos (1)求 a ? b及 | a ? b | ;
?
3 3 ? x x ? x,sin x), b ? (cos , ? sin ), 且x ? [0, ] 2 2 2 2 2
? ?
? ?
(2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?
? ?
? ?
3 ,求实数 ? 的值. 2
2014—2015 学年度第二学期
高一年级数学(理科)期考试题参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1
A
2
D
3
A
4
A
5
C
6
A
7
C
8
B
9
D
10
A
11
D
12
B
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)
13. y ? cos(2 x ? ? ) 14. (4,-3) 15. 361? 6 16. ②③ (对一个给 2 分,全对给 5 分,含错误选项记 0 分)
64
三、解答题 (总分 70 分) ? ? 17. 解: (1) b ? c ? (?4,3 ? m) ? ? ? ∵ a ? (b ? c) ,
∴
?????????????????????1 分
m ? ?1 ????????????4 分 ? ∴ c = 5 ???????????????????????5 分 ? ? ? ? (2)由已知: ka ? b ? (k ? 2,2k ? 3) , 2a ? b ? (4,1) , ????????6 分 ? ? ? ? 因为 (ka ? b) / /(ka ? b) ,所以: k ? 2 ? 4(2k ? 3) , ???????9 分 ? k ? ?2 ???????????????????10 分
18.解: (Ⅰ)根据表中已知数据可得: A ? 5 ,
? ∴ c ? (?2 , ? 1)
∴ a· ? a? (b b? ?c c) ) ? ?4 ? 2(3 ? m) ? 0
?? ? ? ? ?
??????2 分
?
3 π 解得 ? ? 2, ? ? ? .数据补全如下表: 6 π ?x ?? π 0 2
? ?? ?
?
2
,A=-5 ,
5? 3? , ? ?? ? 6 2
3π 2 5π 6
?5
2π
x
A sin(? x ? ? )
π 12
0
π 3
5
7π 12
0
13 π 12
0
??4 分
π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) , 6
∴ g(x)=f (x+
????????????6 分
? ? ? )—1=5 sin[2( x ? ) ? ] —1=5 cos 2 x —1 3 6 3
????8 分
∵ x∈[— ∴ —
? ? , ] 6 3
∴ 2x∈[— ∴ —
? 2? , ] 3 3
??????9 分
1 ≤cos(2x)≤1 2
∵ 存在 g(x)<a—2 成立 ∴a 的取值范围是(—
7 ≤g(x) ≤4 ??????10 分 2 7 3 ∴a—2> — ∴a>— , 2 2
???????????12 分
3 ,+∞). 2
19.解:(1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高为
0.3 ? 0.06 . 5
频率直方图如下:
……………………………………………………??1 分
????3 分 第一组的人数为 所以 n ?
120 ? 200 ,频率为 0.04×5=0.2, 0.6
……………………………………????4 分
200 ? 1 000. 0.2
由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1 000×0.3=300, 所以 p ?
195 ? 0.65. 300
……………………………………………………??5 分
第四组的频率为 0.03×5=0.15, 所以第四组的人数为 1 000×0.15=150,所以 a=150×0.4=60. ????6 分 (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 60∶ 30=2∶1,所以采用分层抽样法抽取 6 人,[40,45)岁中有 4 人,[45,50)岁中有 2 人. …………………………………………………………????7 分 设[40,45)岁中的 4 人为 a、b、c、d,[45,50)岁中的 2 人为 m、n,则选取 2 人作 为领队的有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m)、(b,n)、 (c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n),共 15 种 ????9 分 其中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、 (d,m)、(d,n),共 8 种. ??????????????10 分 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率为 P ?
8 . ??12 分 15
20.解: (Ⅰ)∵
????????????????3 分 由 ∴ f(x)的单调递增区间为 ,得 ,?5 分 .????6 分
? 1 3 (或者:f(x) = cos(2 x ? ) — 3 sin 2x +2= cos2x— sin 2 x +2 3 2 2 ? =— sin(2 x ? ) +2 ???????????????????3 分 6 ? ? 3? 令 +2kπ ≤ 2 x ? ≤ +2kπ k∈Z 6 2 2 ? 5? 则 +kπ ≤x≤ +kπ k∈Z ??????????????5 分 6 3 ? 5? ∴ f(x)的单调递增区间为:[ +kπ , + kπ ] k∈Z ????6 分) 6 3 ? ? 2? ? 4? ? 2x ? ? (Ⅱ) ∵ x ? ( , ) , ∴ , ????????????7 分 6 2 3 3 3 ? 1 ∴ —1≤cos( 2 x ? )≤— , , ????8 分 3 2 ? ? ? ? 5? (或者:∵ x ? ( , ) ,∴ ? 2 x ? ? ??????????????7 分 6 2 6 6 6 1 ? ? 3 ∴ ≤ sin(2 x ? ) ≤1 ∴ 1≤— sin(2 x ? ) +2 ≤ ????8 分) 2 6 6 2
∴ . ????????????????9 分 ∴0<t≤2, ???11 分 ????12 分 若 f(x)≥log2t 恒成立, 则 ∴log2t ≤1 即 t 的取值范围为(0,2].
21.解: (Ⅰ)由题设知: (2 ? 2sin A) (1 ? sin A) ? (cos A ? sin A)(sin A ? cos A ) ?1 分 得 2(1 ? sin 2 A) ? sin 2 A ? cos2 A ? 2sin 2 A ?1 又 A 为三角形内角,所以: ???????2 分 ???????3 分 ???????????4 分 ?????????????5 分
sin A ?
由 AB · AB ?AC ?AC ?? 00 ,知 A 为锐角, 所以 A ?
??? ??? ? ???? ??? ??
3 2
?
3
(Ⅱ)由(Ⅰ)及题设知: B ? C ? 所以: y ? 2sin
2
B ? ? ? cos( ? B) ? 1 ? cos B ? cos( ? B) 2 3 3 3 1 ? ,???????9 分 ? 1? sin B ? cos B ? 1 ? sin( B ? ) 2 2 6 2? ? ? ? ?? ? B ? ? 又: 0 ? B ? ?????????10 分 3 6 6 2 1 ? 1 y ? ( , 2) ∴ ? ? sin( B ? ) ? 1 ????11 分 ∴ 2 6 2
2? , 3
??????????????6 分
B C?B 1 ? cos 的值域为 ( , 2) ??????12 分 2 2 2 ? ? 3 x 3 x 22.解: (1) a ? b = cos x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x, ?????2 分 2 2 2 2 ? ? 3 x 2 3 x 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x | a ? b | = (cos x ? cos ) ? (sin x ? sin ) , 2 2 2 2
因此函数 y ? 2sin
2
3 x 3 x (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x 2 2 2 2 ? ?? ∵ x ? ?0, ? , ∴ cos x ? 0, ? 2? ? ? ∴ | a ? b | =2cosx. (2)由(Ⅰ)得 f ( x) ? cos2 x ? 4? cos x,
即 f ( x) ? 2(cosx ? ? ) ? 1 ? 2? .
2 2
????????????3 分 ????????????4 分 ?????????????5 分 ?????????6 分 ?????????7 分
? ?? , ∴ 0≤cosx≤1 ?????????8 分 ? 2? ? ①当? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0时, f ( x) 取得最小值-1,
∵ x ? ?0, 这与已知矛盾. ???????????????9 分
2 ②当0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ?时, f ( x) 取最小值 ? 1 ? 2? . 3 1 2 由已知得 ?1 ? 2? ? ? ,解得 ? = ?????????10 分 2 2
③当λ >1 时,当且仅当 cosx=1 时,f(x)取得最小值 1—4λ 由已知得 1—4λ = ? 综上所述λ =
3 5 ,解得λ = ,这与 ? ? 1 相矛盾. ???11 分 2 8
??????????12 分
1 ,为所求. 2