海南省文昌中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题

2014—2015 学年度第二学期

高一年级数学 ( 理科 ) 期考试题
（完成时间：120 分钟 满分：150 分） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答案写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分.） ? ? ? ? 1．已知向量 a ? (?1,2) ， b ? (2, x) ，若 a ? b ，则实数 x 等于(
A．1 B. －1 ) B. y ? sin x D. y ? cos ? C．－4

) D．42．下列函数中

是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是( A. y ? tan 2 x C. y ? sin ?

?π ? ? 2x ? 2 ? ?

? 3π ? ? 2x ? 2 ? ?
） D． ?

3．在 ?ABC 中， BD ? A．

??? ?

1? 3? a? b 4 4

? ???? 3 ??? BC ，设 AB ? a, AC ? b ，则向量 AD ? （ 4 3? 1? 7? 3? B． a ? b C． a ? b 4 4 4 4
）

7? 3? a? b 4 4

4. 已知 sin 2? ?

24 ? （0， ） ，? ? ，则 sin? ? cos ? ＝（ 25 4
B．

A．－

1 5

1 5

第5题

C． ?

7 5

D．

7 5
）

5. 阅读右面的程序框图，输出结果 s 的值为（ A．

1 2 1 16

B．

3 16
1 8

C．

D．

6. 已知 | p |? 2 2 ，| q |? 3 ， p, q 的夹角为 为 BC 的中点，则 | AD | 为（

? ?

?

? ??

????

??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ，如图，若 AB ? 5 p ? 2q ， AC ? p ? 3q ， D 4

）

A．

15 2

B．

15 2

C．7

D．18

7. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字， 把乙猜的数字记为 b，其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6}，若 a=b 或 a=b-1，就称甲乙“心有灵犀”现 在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( A． ) D．

7 36

B．

1 4

C．

11 36

5 12

8．若函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos? x ? ? ? 0? 的最小正周期为 ? ，则它的图像的一个对称中 心为( A． ( )

?
2

,0)

B. (

?
3

,0)

C. (

?
6

,0)

D. ( ）

?
12

, 0)

9．函数 f ? x ? ? ? x ?

? ?

1? ? cos x （ ?? ? x ? ? 且 x ? 0 ）的图象可能（ x?

A．

B．

C．

D．

10. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)，且在[-3，-2]上是减函数，若 ? , ? 是锐角三角 形的两个内角，则( ) B． f ?sin ? ? ? f ?cos ? ? D． f ?cos? ? ? f ?cos? ? A． f ?sin ? ? ? f ?cos ? ? C． f ?sin ? ? ? f ?sin ? ?

11．由函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像得到 g ( x) ? cos(2 x ?

?
3

) 的图像，可将 f ( x) 的图象（

）

? 个单位 6 ? C．向右平移 个单位 12
A．向左平移
tan ?OPB 的值为（

? 个单位 6 ? D．向左平移 个单位 12
B．向右平移

12．函数 y ? sin ? x ? x ? R ? 的图象如图所示，设 O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与
x 轴的交点，则

）

A．10 C．
8 7

B．8 D．
4 7

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
13．如图为 y ? A cos(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 图象的一段，其解析式

?
2
.

)的

14．已知 A(2,3) ， B(3, 0) ，且 AC ? ?2CB ，则点 C 的 坐标为 .

??? ?

??? ?

15. 欧阳修《卖油翁)中写到： “ （翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌漓沥之，自 钱孔入，而钱不湿” ，可见“行行出状元” ，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径 为 4 cm 的圆，中间有边长为 l cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落 在铜钱上） ．则油滴（设油滴是直径为 0. 2 cm 的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中） 的概率是 . .

16．给出下列说法，其中说法正确的序号是 ① 小于 90 的角是第Ⅰ象限角；
o

②若 ? 是第Ⅰ象限角，则 tan ? ? sin ? ；

③ 若 f ( x) ? cos 2 x ， x2 ? x1 ? ? ，则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ； ④ 若 f ( x) ? sin 2 x ， g ( x) ? cos 2 x ， x1 、 x2 是方程 f ( x)=g ( x) 的两个根，则 x2 ? x1 的最小值是 ? .

三、解答题 (总分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17.（本小题满分 10 分） 已知 a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量，其中 a ? (1, 2) , b ? (?2 , 3) , c ? (?2 , m) （1）若 a ? (b ? c) ，求 c ； （2）若 ka ? b 与 2a ? b 共线，求 k 的值．

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

π 18.（本小题满分 12 分）某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) (? ? 0, | ? | ? ) 在某 2
一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

?x ??

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6
?5

2π

x
A sin(? x ? ? )

0

5

0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置 ，并直接写出函数 f ( x) 的解 ．．．．．．．．．．． 析式； （Ⅱ）令 g(x)=f (x+ 的取值范围.

? ? ? ）—1，当 x∈[— ， ] 时，若存在 g (x)＜a—2 成立，求实数 a 3 6 3

19.（本小题满分 12 分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对［25,55］岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低 碳族” ，否则称为“非低碳族” ，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（1）补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值； （2）从年龄段在［40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动， 其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在［40,45)岁的概率.

cos （ （ xx + + )) － 3 sin2 x +1 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ＝2 cos － 6 6
（Ⅰ）求 f ( x) 的单调递增区间； （Ⅱ）当 x ? (

22

? ?

? ?

, ) 时，若 f ( x) ≥log2 t 恒成立，求 t 的取值范围． 6 2

21.（本小题满分 12 分） 已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角，向量 m ? (2 ? 2sin A , sin A ? cos A) 与 n ? (sin A ? cos A , 1 ? sin A) 共线，且 AB · AB ? ? AC AC? ?0 0． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）求函数 y ? 2sin
2

??

?

??? ??? ?? ??? ??? ??

B C?B ? cos 的值域． 2 2

22．(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos （1）求 a ? b及 | a ? b | ；

?

3 3 ? x x ? x,sin x), b ? (cos , ? sin ), 且x ? [0, ] 2 2 2 2 2

? ?

? ?

（2）若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

? ?

? ?

3 ，求实数 ? 的值． 2

2014—2015 学年度第二学期

高一年级数学(理科)期考试题参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1
A

2
D

3
A

4
A

5
C

6
A

7
C

8
B

9
D

10
A

11
D

12
B

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
13． y ? cos(2 x ? ? ) 14． （4，－3） 15． 361? 6 16. ②③ (对一个给 2 分,全对给 5 分，含错误选项记 0 分)

64

三、解答题 (总分 70 分) ? ? 17. 解： （1） b ? c ? (?4,3 ? m) ? ? ? ∵ a ? (b ? c) ，
∴

?????????????????????1 分

m ? ?1 ????????????4 分 ? ∴ c = 5 ???????????????????????5 分 ? ? ? ? （2）由已知： ka ? b ? (k ? 2,2k ? 3) ， 2a ? b ? (4,1) ， ????????6 分 ? ? ? ? 因为 (ka ? b) / /(ka ? b) ，所以： k ? 2 ? 4(2k ? 3) ， ???????9 分 ? k ? ?2 ???????????????????10 分
18．解： （Ⅰ）根据表中已知数据可得： A ? 5 ，

? ∴ c ? (?2 , ? 1)

∴ a· ? a? (b b? ?c c) ) ? ?4 ? 2(3 ? m) ? 0

?? ? ? ? ?

??????2 分

?

3 π 解得 ? ? 2, ? ? ? .数据补全如下表： 6 π ?x ?? π 0 2

? ?? ?

?
2

，A=－5 ，

5? 3? ， ? ?? ? 6 2

3π 2 5π 6
?5

2π

x
A sin(? x ? ? )

π 12
0

π 3
5

7π 12
0

13 π 12
0

??4 分

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ， 6
∴ g(x)=f (x+

????????????6 分

? ? ? ）—1=5 sin[2( x ? ) ? ] —1=5 cos 2 x —1 3 6 3

????8 分

∵ x∈[— ∴ —

? ? ， ] 6 3

∴ 2x∈[— ∴ —

? 2? ， ] 3 3

??????9 分

1 ≤cos(2x)≤1 2

∵ 存在 g(x)<a—2 成立 ∴a 的取值范围是(—

7 ≤g(x) ≤4 ??????10 分 2 7 3 ∴a—2> — ∴a>— ， 2 2
???????????12 分

3 ，+∞). 2

19．解：（1）第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以高为

0.3 ? 0.06 . 5
频率直方图如下：

……………………………………………………??1 分

????3 分 第一组的人数为 所以 n ?

120 ? 200 ，频率为 0.04×5=0.2， 0.6
……………………………………????4 分

200 ? 1 000. 0.2

由题可知，第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 000×0.3=300， 所以 p ?

195 ? 0.65. 300

……………………………………………………??5 分

第四组的频率为 0.03×5=0.15， 所以第四组的人数为 1 000×0.15=150，所以 a=150×0.4=60. ????6 分 （2）因为［40,45)岁年龄段的“低碳族”与［45，50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 60∶ 30=2∶1，所以采用分层抽样法抽取 6 人，［40,45)岁中有 4 人，［45，50)岁中有 2 人. …………………………………………………………????7 分 设［40,45)岁中的 4 人为 a、b、c、d，［45,50)岁中的 2 人为 m、n，则选取 2 人作 为领队的有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m)、(b,n)、 (c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d，n)、(m,n)，共 15 种 ????9 分 其中恰有 1 人年龄在［40,45)岁的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、 (d,m)、(d,n)，共 8 种. ??????????????10 分 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在［40,45)岁的概率为 P ?

8 . ??12 分 15

20．解： （Ⅰ）∵

????????????????3 分 由 ∴ f（x）的单调递增区间为 ，得 ，?5 分 ．????6 分

? 1 3 （或者：f(x) ＝ cos(2 x ? ) — 3 sin 2x +2= cos2x— sin 2 x +2 3 2 2 ? ＝— sin(2 x ? ) +2 ???????????????????3 分 6 ? ? 3? 令 +2kπ ≤ 2 x ? ≤ +2kπ k∈Z 6 2 2 ? 5? 则 +kπ ≤x≤ +kπ k∈Z ??????????????5 分 6 3 ? 5? ∴ f(x)的单调递增区间为：[ +kπ , + kπ ] k∈Z ????6 分） 6 3 ? ? 2? ? 4? ? 2x ? ? （Ⅱ） ∵ x ? ( , ) ， ∴ ， ????????????7 分 6 2 3 3 3 ? 1 ∴ —1≤cos( 2 x ? )≤— ， ， ????8 分 3 2 ? ? ? ? 5? （或者：∵ x ? ( , ) ，∴ ? 2 x ? ? ??????????????7 分 6 2 6 6 6 1 ? ? 3 ∴ ≤ sin(2 x ? ) ≤1 ∴ 1≤— sin(2 x ? ) +2 ≤ ????8 分） 2 6 6 2
∴ ． ????????????????9 分 ∴0＜t≤2， ???11 分 ????12 分 若 f(x)≥log2t 恒成立， 则 ∴log2t ≤1 即 t 的取值范围为（0，2]．

21．解： （Ⅰ）由题设知： (2 ? 2sin A) (1 ? sin A) ? (cos A ? sin A)(sin A ? cos A ) ?1 分 得 2(1 ? sin 2 A) ? sin 2 A ? cos2 A ? 2sin 2 A ?1 又 A 为三角形内角，所以： ???????2 分 ???????3 分 ???????????4 分 ?????????????5 分

sin A ?

由 AB · AB ?AC ?AC ?? 00 ，知 A 为锐角， 所以 A ?

??? ??? ? ???? ??? ??

3 2

?

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知： B ? C ? 所以： y ? 2sin
2

B ? ? ? cos( ? B) ? 1 ? cos B ? cos( ? B) 2 3 3 3 1 ? ，???????9 分 ? 1? sin B ? cos B ? 1 ? sin( B ? ) 2 2 6 2? ? ? ? ?? ? B ? ? 又： 0 ? B ? ?????????10 分 3 6 6 2 1 ? 1 y ? ( , 2) ∴ ? ? sin( B ? ) ? 1 ????11 分 ∴ 2 6 2

2? ， 3

??????????????6 分

B C?B 1 ? cos 的值域为 ( , 2) ??????12 分 2 2 2 ? ? 3 x 3 x 22．解： （1） a ? b = cos x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x, ?????2 分 2 2 2 2 ? ? 3 x 2 3 x 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x | a ? b | = (cos x ? cos ) ? (sin x ? sin ) ， 2 2 2 2
因此函数 y ? 2sin
2

3 x 3 x (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x 2 2 2 2 ? ?? ∵ x ? ?0, ? ， ∴ cos x ? 0, ? 2? ? ? ∴ | a ? b | =2cosx. （2）由（Ⅰ）得 f ( x) ? cos2 x ? 4? cos x,
即 f ( x) ? 2(cosx ? ? ) ? 1 ? 2? .
2 2

????????????3 分 ????????????4 分 ?????????????5 分 ?????????6 分 ?????????7 分

? ?? ， ∴ 0≤cosx≤1 ?????????8 分 ? 2? ? ①当? ? 0 时，当且仅当 cos x ? 0时, f ( x) 取得最小值－1，
∵ x ? ?0, 这与已知矛盾． ???????????????9 分
2 ②当0 ? ? ? 1 时，当且仅当 cos x ? ?时, f ( x) 取最小值 ? 1 ? 2? . 3 1 2 由已知得 ?1 ? 2? ? ? ，解得 ? = ?????????10 分 2 2

③当λ >1 时，当且仅当 cosx=1 时，f(x)取得最小值 1—4λ 由已知得 1—4λ = ? 综上所述λ =

3 5 ，解得λ = ，这与 ? ? 1 相矛盾． ???11 分 2 8
??????????12 分

1 ，为所求． 2