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重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题(解析版)

重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题(解析版)

重庆市 2019 届高三学生学业调研抽测(第二次)

理科数学试题卷

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知 为虚数单位,复数 满足

,则 ( )

A.

B.

C. 1

D.

【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知求解出 ,再计算出模长.

【详解】

则 本题正确选项: 【点睛】本题考查复数模长的求解,关键是利用复数的运算求得 ,属于基础题.

2.已知集合



A.

B.

【答案】A

【解析】

【分析】

分别求解出两个集合,根据交集定义求得结果.

【详解】

,则 C.

() D.

则 本题正确选项: 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算,关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两个 集合,属于基础题.

3.设





1

,则 的大小关系为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据指数函数单调性可得 ,再利用 作为临界值可得 , ,从而得到三者之间的关系.

【详解】

可知: 本题正确选项: 【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题,关键是能够利用函数的单调性进行判断,属于基础题.

4.设等比数列 的前 项和为 ,已知

,且 与 的等差中项为 20,则 ( )

A. 127

B. 64

C. 63

D. 32

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出等比数列的首项和公比,然后计算 即可.

【详解】解:因为

,所以

因为 与 的等差中项为 ,,所以

,即



所以
故选:C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算,属于基础题.

5.已知 为两条不同的直线, 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A. 若 , ,则 B. 若 , ,且 ,则
2

C. 若 , ,且 , ,则 D. 若直线 与平面 所成角相等,则 【答案】B 【解析】 【分析】 结合空间中平行于垂直的判定与性质定理,逐个选项分析排除即可. 【详解】解:选项 A 中可能 ,A 错误;选项 C 中没有说 是相交直线,C 错误;选项 D 中若 相交, 且都与平面 平行,则直线 与平面 所成角相等,但 不平行,D 错误. 故选:B. 【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系,属于基础题.

6.函数

的图像大致为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】 根据奇偶性可排除 和 两个选项,再根据

时,

的符号,可排除 选项,从而得到正确结果.

【详解】 定义域为

为定义在

上的奇函数,可排除 和





当 时,

,可排除

本题正确选项:

【点睛】本题考查函数图像的判断,解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除,通

3

过排除法得到正确结果. 7.运行如图所示的程序框图,则输出 的值为( )

A. 9

B. 10

C. 11

【答案】C

【解析】

【分析】

将 的变化规律整理为数列的形式,求解出数列的通项,根据

【详解】将 每次不同的取值看做一个数列







,…,

D. 12 求解出输出时 的取值.



,则



时,

;当

时,



时, ,输出结果

本题正确选项:

【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果,由于循环次数较多,可以根据变化规律,利用数列

的知识来进行求解.

8.设函数

的一条对称轴为直线

曲线 ,则在下列区间中,函数 为增函数的是( )

A.

B.

C.

【答案】B
4

,将曲线 向右平移 个单位后得到 D.

【解析】 【分析】

将 化简为

,根据对称轴可求得

项,判断其单调性,从而得到结果.

【详解】

;通过平移得到



代入 可得:



,可得:

;依次代入各个选



时,

, 不单调,可知 错误;



时,

, 单调递增,可知 正确;



时,

, 单调递减,可知 错误;



时,

, 不单调,可知 错误.

本题正确选项:

【点睛】本题考查

的单调性问题,主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅助

角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出 的解析式.

9.某班组织由甲、乙、丙等 5 名同学参加的演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲不是第一个出 场,学生乙不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的计算公式,分别求解公式各个部分的概率,从而求得结果. 【详解】设事件 为“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”;事件 为“学生丙第一个出场”







5

本题正确选项: 【点睛】本题考查条件概率的求解,关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.

10.已知双曲线

的一条渐近线方程为

,左焦点为 ,当点 在双曲线右支上,点 在



上运动时,则

的最小值为( )

A. 9

B. 7

C. 6

【答案】B

【解析】

【分析】

根据渐近线方程求出双曲线方程,根据定义可将问题转化为求解

与圆心共线时取最小值.

D. 5 的最小值,由位置关系可知当

【详解】由渐近线方程可知

设双曲线右焦点为

由双曲线定义可知:



则只需求

的最小值即可得到

设圆

的圆心为 ,半径

的最小值



本题正确选项: 【点睛】本题考查双曲线中的最值问题,关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化,再根据圆外点到圆上 点的距离的最值的求解方法得到所求最值.

11.已知三棱锥

各顶点均在球 上, 为球 的直径,若



,三棱锥

的体积

为 4,则球 的表面积为( )

A.

B.

【答案】B

【解析】

【分析】

求解出
6

面积后,利用三棱锥

C.

D.

的体积,构造方程,求解出点 到底面 的距离,从而可知 的长

度;利用正弦定理得到 ,勾股定理得到球的半径,从而求得球的表面积. 【详解】原题如下图所示:





得:

则 设 外接圆圆心为 ,则

由正弦定理可知, 外接圆半径:

设 到面 距离 由 为球 直径可知:

为 则 球的半径 球 的表面积 本题正确选项: 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解,关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直 的关系构造直角三角形.

12.已知 是函数

(其中常数 )图像上的两个动点,点

,若

的最小值为

0,则函数 的最小值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】 通过函数解析式可判断出
7

关于

对称,可知

取最小值时,

与 相切且

;利用导

数求解切线斜率,求解出 ,从而可得函数最小值 .

【详解】当 时,

,则

由此可知, 关于 对称



最小值为 ,即

,此时

则此时函数图象如下图所示:

此时



当 时,

相切于



,则



,可得

则 本题正确选项: 【点睛】本题考查函数最值的求解问题,关键是能够通过解析式判断出函数的对称性,从而借助导数的几何意 义求得参数的值,进而得到函数最值.

二、填空题(将答案填在答题纸上)

13.为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,得到 5 组数据: , ,





,根据收集到的数据可知

,由最小二乘法求得回归直线方

程为

,则

______.

【答案】375

【解析】

【分析】

求解出 ,利用

求解出 ,进而求得结果.

【详解】由题意:

则:

本题正确结果:
8

【点睛】本题考查回归直线方程问题,关键是明确回归直线必过 ,利用此点可求解得到结果.

14.若实数 满足不等式组

,则 的最大值为_____.

【答案】16 【解析】 【分析】 先由简单线性规划问题求出

的最大值,然后得出

的最大值.

【详解】解:由不等式组

画出可行域如图中阴影部分

然后画出目标函数

如图中过原点虚线,平移目标函数在点 A 处取得最大值



得点

所以 最大为 4 所以 的最大值为 16 故答案为:16.

【点睛】本题考查了简单线性规划问题,指数复合型函数的最值,属于基础题.

15.已知点 是抛物线

上不同的两点,且 两点到抛物线 的焦点 的距离之和为 6,线段

的中点为

,则焦点 到直线 的距离为______.

【答案】

【解析】

【分析】

通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程,再利用点到直线距离求得结果.

【详解】设



9

由抛物线定义可知:

,则



为 中点,则

抛物线方程为

则:

,两式作差得:

则 直线 的方程为: 点 到直线 的距离

,即

本题正确结果: 【点睛】本题考查抛物线的几何性质,关键是在处理弦的中点的问题时,要熟练应用点差法来建立中点和斜率 之间的关系.

16.已知数列 ,对任意

,总有

的前 项的和为______.

【答案】

【解析】 【分析】

利用

求得

,从而可得

项相消的方式求得结果.

【详解】当 且

时,由

……②

① ②得:

当 时,

综上所述:

成立,设 ……①得:

则: 则 的前 项和 为:

,则数列 ,则每两项作和,通过裂

10

本题正确结果:

【点睛】本题考查数列裂项相消法求和,关键是能够通过 的前 项和求得数列 的通项公式,根据 的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.

的通项公式,从而得到

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.在 中,角 的对边分别为 ,已知



.

(1)求 的面积;

(2)若 ,求

值.

的 【答案】(1)4(2)
【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理求得 的正余弦的值;利用向量数量积求得 ,从而可求面积;(2)利用余弦定理求得 的 正余弦值,利用两角和差公式求得结果. 【详解】(1)由正弦定理得:


的面积为

(2)



,即

【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题,关键是能够熟练 应用正余弦定理处理边角关系式.
18.有两种理财产品 和 ,投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相 互独立):
11

产品 : 投资结果 概率

获利

不赔不赚

亏损

产品 : 投资结果 概率

获利

不赔不赚

亏损

注:

(1)若甲、乙两人分别选择了产品 投资,一年后他们中至少有一人获利的概率大于 ,求实数 的取值范围;

(2)若丙要将 20 万元人民币投资其中一种产品,以一年后的投资收益的期望值为决策依据,则丙选择哪种产 品投资较为理想.

【答案】(1)

(2) 当

时,丙可在产品 和产品 中任选一个投资;当

时,丙应选产品

投资;当

时,丙应选产品 投资.

【解析】 【分析】

(1)“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率

,可求得 ;又

可得 ,由此

可得 的范围;(2)分别求出投资 , 两种产品的数学期望,通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品. 【详解】(1)记事件 为“甲选择产品 投资且获利”,记事件 为“乙选择产品 投资且获利”,记事件 为“一 年后甲、乙两人至少有一人投资获利”











,且 ,

(2)假设丙选择 产品投资,且记 为获利金额(单位:万元),则 的分布列为 投资结果
12

概率
假设丙选择 产品投资,且记 为获利金额(单位:万元),则 的分布列为 投资结果 概率



时,

,丙可在产品 和产品 中任选一个投资;



时,

,丙应选产品 投资;



时,

,丙应选产品 投资.

【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时, 关键是分别求解出数学期望,依据大小关系来确定结果.

19.如图,在四棱锥

中,底面 是菱形, 为 的中点,已知





.

(1)证明:平面 (2)求二面角

平面 ; 的平面角的正弦值.

【答案】(1)见证明;(2)

【解析】

【分析】

(1)分别证得



分别求得平面 和平面

,从而证得 平面 ,进而证得面面垂直;(2)建立空间直角坐标系, 法向量,利用法向量夹角求得结果.

13

【详解】(1)证明:连接 ,取 的中点为 ,连接

在菱形 中, 为正三角形
在 中, ,

, ,由勾股定理知 为等腰直角三角形

,即

平面



平面

平面

平面

(2)解:如图,以 为原点,以

所在直线为

轴建立空间直角坐标系







, 设平面 的法向量为





, ,则

,且



,令

,则



设平面 的法向量为

,则





,令

,则



14



二面角

的平面角的正弦值为

【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题,关键是能够建立起空间直角坐 标系,通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值,属于常规题型.

20.已知离心率为 的椭圆 :

的右焦点为 ,点 到直线 的距离为 1.

(1)求椭圆 方程;

(2)若过点

的直线与椭圆 相交于不同的 两点,设 为椭圆 上一点,且满足

( 为坐

的 标原点),当

时,求实数 的取值范围.

【答案】(1) 【解析】 【分析】 (1)通过点 到直线

(2)



的距离、离心率和 的关系,求得标准方程;(2)直线与椭圆方程联立,利用

可得 ;再利用

,根据弦长公式可求得

,得到

;利用

表示出 点坐

标,代入椭圆可得

,从而可求得 的范围.

【详解】(1)由题意得:

,即





,即



椭圆 的方程为

(2)由题意可知直线 的斜率存在,











得:



,得:

(*)



15

,结合(*)得:

从而



点 在椭圆上
整理得: 即
或 【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题,关键是能够利用直线与椭圆相交于不 同两点且弦长得到 的取值范围;再通过向量的坐标运算,可得到关于 与 的关系,进而可求得结果.

21.已知函数



.

(1)若函数 与 的图像上存在关于原点对称的点,求实数 的取值范围;

(2)设

,已知 在

上存在两个极值点 ,且

,求证:

(其中 为

自然对数的底数).

【答案】(1)

(2)见证明

【解析】 【分析】

(1)将问题转化为



有解,即



上有解,通过求解



最小值得到

;(2)通过极值点为 可求得

,通过构造函数的方式可得:

;通过求证

可证得

,进而可证得结论.

【详解】(1)函数 与 的图像上存在关于原点对称的点



的图像与函数

的图像有交点

16

即 设 当
(2) 在



有解,即

, ,则 时, 为减函数;当
,即



上存在两个极值点 ,且





上有解

时, 为增函数

,即



,则

要证

,即证

只需证明

,即证明



,则



在 上单调递增,



【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题,解决问题的关键是能将交点问题转变为能 成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题,从而通过构造函数的方式,找到合适的函数模型来通过最 值解决问题.

22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为
17

( 为参数),以坐标原点 为极点,以 轴正半轴 .

(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;

(2)若直线 与曲线 相交于 两点,设点

,已知

【答案】(1)直线 :

,曲线 :

(2)

【解析】

【分析】

,求实数 的值.

(1)在直线 的参数方程

中消去参数 t 得直线的一般方程,在曲线 的极坐标方程为



先两边同乘 ,得曲线的直角坐标方程;(2)将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中,得到韦达定

理,由



,列方程求出答案.

【详解】解:(1)因为直线 的参数方程为

消去 t 化简得直线 的普通方程:







因为



所以



所以曲线 的直角坐标方程为

(2)将

代入





















∵ ,∴

,满足



【点睛】本题考查了直线 参数方程,曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化,直线与圆的位置关系,属于中

档题.

18

23.选修 4-5:不等式选讲

已知函数



.

(1)当 (2)若

时,求不等式

的解集;

,且当

时,不等式

有解,求实数 的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

试题分析:

(1)将不等式零点分段可得不等式的解集为

.

(2)将不等式转化为

,可得实数 的取值范围是

.

试题解析:解:(1)当

时,





等价于







解得 ∴不等式 (2)∵





的解集为

,∴

不等式

,即

.

.







,∴实数 的取值范围是

.

点睛:绝对值不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

19


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