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(全国通用版)2018-2019高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用检测 新人教A版必修4

(全国通用版)2018-2019高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用检测 新人教A版必修4

江山如此 多娇啊

第一章

1.6

三角函数模型的简单应用

A 级 基础巩固 一、选择题 1.如图所示是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是( D )

A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为-5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时的振动速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的位移为零 π? 1 ? 2. 电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I=5sin?100π t+ ?, 则当 t= s 时, 3? 200 ? 电流强度 I 为( B ) A.5 A C.2 A [解析] 将 t= 得 I=2.5 A. 1 3.如图,是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙点的位 2 置将处于图中的( D ) B.2.5 A D.-5 A π? 1 ? 代入 I=5sin?100π t+ ? 3? 200 ?

A.甲 C.丙

B.乙 D.丁

1 [解析] 与乙点的位置相差 周期的点为丁点,故选 D. 2 4. 动点 A(x, y)在圆 x +y =1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一周. 已 1 3 知时间 t=0 时, 点 A 的坐标是( , ), 则当 0≤t≤12 时, 动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位: 2 2
2 2

1

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秒)的函数的单调递增区间是( D ) A.[0,1] C.[7,12] B.[1,7] D.[0,1]和[7,12]

[解析] 由已知可得该函数的周期为 T=12, 2π π ω= = , T 6 1 3 又当 t=0 时,A( , ), 2 2 π π ∴y=sin( t+ ),t∈[0,12], 6 3 可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]. 二、填空题 π 5. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数 y=a+Acos[ (x- 6 6)](x=1,2,3,……,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月平 均气温最低为 18 ℃,则 10 月份的平均气温为__20.5__℃. 三、解答题 π 5π 6. 已知某地一天从 4 时~16 时的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin( x- )+20, 8 4

x∈[4,16].
(1)求该地区这一段时间内的温差; (2)若有一种细菌在 15℃到 25℃之间可以生存, 那么在这段时间内, 该细菌能生存多长 时间? [解析] (1)由函数易知,当 x=14 时函数取最大值,此时最高温度为 30℃;当 x=6 时函数取最小值,此时最低温度为 10℃,所以温差为 30-10=20(℃). (2)∵4≤x≤16, ∴ π 5π 3π 3π x- ∈[- , ], 8 4 4 4

π 5π 令 15≤10sin( x- )+20≤25, 8 4 1 π 5π 1 ∴- ≤sin( x- )≤ . 2 8 4 2 π π 5π π ∴- ≤ x- ≤ . 6 8 4 6 ∴ 26 34 ≤x≤ . 3 3

2

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34 26 8 ∴该细菌的存活时间为 - = (小时). 3 3 3 B 级 素养提升 一、选择题 1.一根长 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位 移 s(cm)与时间 t(s)的函数关系式是 s=3cos? 摆动的周期是 1 s 时,线长 l 等于( D ) A. π C. π

? ?

g π? t+ ?,其中 g 是重力加速度,当小球 l 3?

g g
2

B. 2π D. 4π 2π ,所以

g

g

2

[解析] 因为周期 T=

g l

g 2π = =2π , l T

则 l=

g


2



2. 电流强度 I(安培)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ω t+φ )的图象如图所示, 则t 为 7 (秒)时的电流强度为( A 120 )

A.0 C.10 2 [解析] 由图知,A=10,函数的周期

B.-5 2 D.-10 2

T=2?

? 4 - 1 ?= 1 , ? ?300 300? 50

2π 2π ? 1 ,10?代入 I=10sin(100π t+φ )得 φ =π ,故 所以 ω = = =100π ,将点? ? T 1 6 ?300 ? 50 π? 7 ? 函数解析式为 I=10sin?100π t+ ?,再将 t= 代入函数解析式得 I=0. 6? 120 ? 3. 据市场调查, 某种商品一年内每年出厂价在 7 千元的基础上, 按月呈 f(x)=Asin(ω x +φ )+b(A>0,ω >0,|φ |< π )的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千克,7 2

3

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月份价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( π π * A.f(x)=2sin( x- )+7(1≤x≤12,x∈N ) 4 4 π π * B.f(x)=9sin( x- )(1≤x≤12,x∈N ) 4 4 π * C.f(x)=2 2sin x+7(1≤x≤12,x∈N ) 4 π π * D.f(x)=2sin( x+ )+7(1≤x≤12,x∈N ) 4 4 9-5 [解析] 由题意,得 A= =2,b=7. 2 2π 周期 =2×(7-3)=8, ω 3π ∴当 x=3 时,y=9,∵2sin( +φ )+7=9. 4 3π 3 π ∴sin( +φ )=1, π +φ = +2kπ (k∈Z). 4 4 2 π π ∵|φ |< ,∴φ =- . 2 4 π π * ∴f(x)=2sin( x- )+7(1≤x≤12,x∈N ) 4 4 二、填空题

A )

4.如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动需要__0.8__s 往返一次.

[解析] 由图象知周期 T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要 0.8 s 往返一次. 5.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度 y(m)在某天 24 h 内 π 的变化情况, 则水面高度 y 关于从夜间 0 时开始的时间 x 的函数关系式为 y=-6sin x . 6

[解析] 将其看成 y=Asin(ω x+φ )的图象,由图象知:A=6,T=12,

4

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2π π ∴ω = = ,下面确定 φ . T 6 将(6,0)看成函数图象的第一特殊点, 则 π ×+φ =0.∴φ =-π . 6

π π ∴函数关系式为:y=6sin( x-π )=-6sin x. 6 6 三、解答题 6. 如图, 牡丹江市某天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ ) π +b(A>0,ω >0,|φ |< ). 2

(1)求这一天最大的温差; (2)求这段曲线的函数解析式. [解析] (1)由图象得这一天的最高温度是-2℃,最低温度是-12℃, 则这一天最大的温差是-2-(-12)=10(℃).
? ?A+b=-2, (2)由(1)得? ? ?-A+b=-12,

解得 A=5,b=-7. 由图象得函数的周期 T=2(14-6)=16, 则 2π π ?π =16,解得 ω = .所以 y=5sin? x+φ ω 8 ?8

?-7. ? ?

由图象知点(10,-7)在函数的图象上,

?π ? 则-7=5sin? ×10+φ ?-7, ?8 ?
整理得 sin?

?5π +φ ?=0, ? ? 4 ?

π π 又|φ |< ,则 φ =- . 2 4 则这段曲线的函数解析式是 π? ?π y=5sin? x- ?-7(6≤x≤14).

?8

4?

5


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