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山东省济南市山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟数学(文)试题含答案解析

山东省济南市山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟数学(文)试题含答案解析

山东师大附中 2019 届高三第四次模拟数学(文)试题

一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)

1.已知集合



,则

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

化简集合 ,根据交集的定义写出 .

【详解】集合





本题正确选项:

【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.

2.命题



的否定是

A.



B.



C.



D.



【答案】C

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定为特称命题,即可得到答案

【详解】全称命题的否定为特称命题,命题



的否定是





故选:C.

【点睛】本题考查了命题的否定,属于基础题.

3.在

中,O 为 AC 的中点,若

,则

A. 1

B.

【答案】A 【解析】 【分析】

根据 为 的中点,即可得出

【详解】如图:

C.

D.

,根据平面向量基本定理即可得出 , 的值,从而求出 .

1

为 的中点 又 则:

本题正确选项:

【点睛】考查向量减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算,以及平面向量基本定理.

4.在等差数列 中,

,则数列 的前 11 项和

A. 8

B. 16

C. 22

D. 44

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意,由等差数列的性质可得

,进而结合等差数列的前 项和公式计算可得答案.

【详解】根据题意,在等差数列 中,



则有

本题正确选项:

【点睛】本题考查等差数列的前 项和公式的应用,涉及等差数列的性质,属于基础题.

5.若向量 , 满足

,,

,则 与 的夹角为

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由向量垂直的充分必要条件有:





,据此可得:



设 与 的夹角 ,则:

,

2

故 ,即 与 的夹角为 . 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件,向量夹角的计算公式等知识,意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 6. 如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积为( )

A. 1

B. 2

【答案】B

【解析】

由三视图可知高为

7.函数
A. 【答案】D 【解析】 【分析】 推导出 【详解】 函数

,则 B. 2
,从而

C. 3

D. 4

,应选 B

C. e

D.

,由此能求出结果.

本题正确选项: 【点睛】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是 基础题.

8.若变量 x,y 满足约束条件

,且

的最大值为

3

A. 5

B. 6

C. 7

【答案】A

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求最大值.

【详解】作出约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示:

D. 8





平移直线

由图象可知当直线

此时 最大

经过点 时,直线

的截距最大



,解得 ,

,即

代入目标函数



即目标函数

的最大值为

本题正确选项:

【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问

题的基本方法.

9.函数

的图象大致是

A.

B.

C.

D.

【答案】A
4

【解析】

【分析】

先根据函数的奇偶性,可排除 B,C,根据函数值的符号即可排除 D.

【详解】



函数 为奇函数,

函数 的图象关于原点对称,故排除 B,C,



时,





单调性是增减交替出现的,故排除,D,

故选:A.

【点睛】本题考查了函数图象的识别,根据根据函数值的符号即可判断,属于基础题.

10.已知抛物线

上一点 到焦点 的距离与其到对称轴的距离之比为 5:4,且

的距离为( )

A. 3

B.

C. 4

D.

【答案】B

【解析】

,则 点到原点

试题分析:设

,则

,所以

,到原点的距离为 ,

选 B. 考点:抛物线定义 【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.本题中充分运用 抛物线定义实施转化,其关键在于求点 的坐标.

2.若 P(x0,y0)为抛物线 y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+ ;若过焦点的弦 AB 的端点坐标 为 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2 可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他 标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.

11.过双曲线

的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于 A,B 两点,

的面积

为 ,则双曲线的离心率为

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】

5

【分析】 令 ,代入双曲线方程可得 值. 【详解】右焦点设为 ,其坐标为

,由三角形的面积公式,可得 的关系,由离心率公式计算可得所求

令 ,代入双曲线方程可得

的面积为

可得

本题正确选项:

【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程,属于中档题.

12.已知三棱锥

中,







,则该三棱锥的外接球的体积为

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】 利用所给条件容易得到 , 为直角三角形,故 中点为外接球球心,从而可求解出结果.

【详解】

如图:





的中点 为外接球球心 故外接球半径为 体积 本题正确选项: 【点睛】此题考查了三棱锥外接球问题,关键在于能够确定外接球球心的位置,要知道直角三角形外接圆圆 心在斜边中点上.
二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
6

13.设 是等比数列 的前 n 项和,若

,则 ______.

【答案】 【解析】 【分析】 根据题意,设等比数列 的公比为 q,由等比数列前 n 项和的性质可得

,解可得 ,

进而可得

,相比即可得答案.

【详解】根据题意,设等比数列 的公比为 q,

若 ,则

,解可得 ,









故答案为: .

【点睛】本题考查等比数列的性质以及应用,涉及等比数列的前 n 项和公式,属于基础题.

14.若



,则

__________.

【答案】 【解析】 将已知条件两边平方得



,两式相加化简得

.

15.已知圆 【答案】

与直线

相交所得弦 的长为 ,则 ____________.

【解析】

【分析】



化为标准式:

,圆心为(1,2)半径为 2,由弦 的长为 ,可知直线过

圆心即可得出 a 值.

【详解】圆

化为标准式:

,圆心为(1,2)半径为 2,由弦 的长为 ,可

知直线过圆心,所以

解得

.

故答案为-1.

【点睛】本题考查了直线与圆的相交弦问题,由圆的方程得知圆心与半径,结合弦长可知直线正好过圆心,

7

这是本题特色所在.

16.定义在 R 上的奇函数 的导函数满足

,且

的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意知,

,再令

,从而求导

不等式的解集. 【详解】

的周期为

,若 ,从而可判断

,则不等式 单调递减,从而可得到

定义在 上的奇函数



时,令



,则 ,即 单调递减

不等式

的解集为

② 时,

时,不等式成立

综上所述:

本题正确结果:

【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用,构造函数的思想,阅读分析问题的能力,属于中

档题.易错点在于忽略 的情况,导致解集不完整.
三、解答题(本大题共 7 小题,共 82.0 分)

17.已知



求 的解析式及单调递增区间;



中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 ,



,求

的面积.

【答案】(1)答案见解析;(2) .

【解析】 试题分析:(1)利用数量积的坐标运算可以得到

正弦得到

,最后令

,再逆用二倍角公式和两角和的 解出 的范围即为 的单调递增区间.

8

(2)根据

可以得到 ,再用余弦定理求出

,故面积为 .

解析:(1)因为

,令

,解得

,所以 的单调递增区间为

.

(2)由

可得

,又

,所以



,解得

.由余弦定理可知

,所以

,故

,所



.

18.数列 的前 项和为 ,已知 (1)求数列 的通项公式;



成等比数列.

(2)若数列 满足

, 求数列 的前 项和 .

【答案】(1) 2n?1;(2)Tn=6+(2n?3)× .

【解析】

试题分析:(1)因为

,变形后为

差数列且公差为 2,再利用

成等比数列可以得到

也即是 ,所以 的通项为

,所以 是一个等 .(2)计算可得

,它是等差数列和等比数列的乘积,用错位相减法求其前 项和.

解析:(1)因为

,所以

,故数列 是公差为 的等差数列;又

成等比数列,所以

,解得

,故

.

(2)由(1)可得: 又

,故 , ,

由错位相减法得:

整理得: 19.在四棱锥
9



. 中,底面 ABCD 是矩形,

平面 ABCD,

是等腰三角形,

,E 是 AB

上一点,且三棱锥

与四棱锥

1 求证:平面

平面 PAD;

的体积之比为 1:2,CE 与 DA 的延长线交于点 F,连接 PF.

2 若三棱锥

的体积为 ,求线段 AD 的长.

【答案】(1)见解析;(2)3

【解析】

【分析】

(1)先证 平面 ,再得面面垂直;(2)把体积比转化为线段比,求得 ,进而得 ,再利用所给体

积求解即可.

【详解】(1)证明:

平面

底面 是矩形

平面

平面

平面

(2) 三棱锥

与四棱锥

的体积之比为





,则







得 ,即 【点睛】此题考查了立体几何中面面垂直的证明,棱锥体积求解问题,难度适中.

20.已知函数



1 求 的单调递增区间;

10

2若

,求实数 x 的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】 【分析】

(1)求导,根据导函数正负即可得到单调性;(2)将 写成 ,再根据(1),利用函数的单调性求得实

数 的取值范围. 【详解】(1)由已知得

的定义域为

函数

当 时, 即 在区间

, 上单调递增

(2) 函数

由(1)知 在区间

上单调递增,又



可得

解得:



故实数 的取值范围为

【点睛】本题考查利用求导的方法判断函数的单调性、利用单调性求解不等式问题,易错点在于求解不等式 时,忽略了定义域的要求,导致求解的解集不准确.

21.已知椭圆

的左、右两个焦点 , ,离心率

,短轴长为 2.

1 求椭圆的方程;

2 如图,点 A 为椭圆上一动点 非长轴端点 ,



面积的最大值.

的延长线与椭圆交于 B 点,AO 的延长线与椭圆交于 C 点,

【答案】(1)椭圆的标准方程为
11

(2) 面积的最大值为

【解析】 试题分析:(1) 由题意得

,再由

当 的斜率不存在时,不妨取



标准方程为

; ②当 的斜率存在时,设 的方程为

,联立方程组

;(2)①

,又直线

的距离

试题解析:(1) 由题意得

,解得 ,



,∴

,,

故椭圆的标准方程为 (2)①当直线 的斜率不存在时,不妨取






②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为



联立方程组



化简得





点 到直线 的距离为 面积的最大值为 .

点 到直线

的距离

12

因为 是线段 的中点,所以点 到直线 的距离为





综上, 面积的最大值为 . 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识,涉 及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想,并考查运算求解能力和逻辑推理能力,

属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为

;(2)利用分类与整合思想

分当 的斜率不存在与存在两种情况求解,在斜率存在时,由舍而不求法求得

,再求得点 到直线 的距离为

面积的最大值为 .

22.已知曲线 C 的极坐标方程是 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 L 的

参数方程为

为参数

写出直线 L 的普通方程与 Q 曲线 C 的直角坐标方程;

设曲线 C 经过伸缩变换

得到曲线 ,设

为 上任意一点,求

的最小值,并求

相应的点 M 的坐标.

【答案】(1)



;(2)当 M 为



时原式取得最小值 1.

【解析】

试题分析:(1)由直线 的参数方程为

,消去参数 即可求得直线 的方程;由 即可求得圆

的方程为



(2)先跟据伸缩变换得到曲线 的方程,然后设点 为

带入

,再根据三角函数的

性质即可求得结果. 试题解析:(1)

,故圆 的方程为

直线 的参数方程为

, 直线 方程为

13

(2)由





设点 为



所以当



时,原式的最小值为 .

考点:极坐标方程;参数方程的应用.

23.已知实数 , 求 的值;
2 设函数

,函数 ,若对于

【答案】(1)3;(2)

的最大值为 3.

均有

,求 a 的取值范围.

【解析】

【分析】

(1)根据绝对值的性质求出 的最大值是 ,从而求出 的值即可;(2)根据 的范围,问题转化





恒成立,结合函数的单调性求出 的范围即可.

【详解】(1)



(2)由(1)得,







此时:

若对于

均有





恒成立





恒成立

对称轴

,故只需

即可

解得: ,故 【点睛】本题考查了绝对值的性质,考查绝对值不等式的解法以及函数恒成立问题,考查二次函数的性质, 是一道中档题.

14


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