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新版广东省十校高三上学期第一次联考数学(理)试题(含答案)

新版广东省十校高三上学期第一次联考数学(理)试题(含答案)

1

1

“十校”20xx—20xx 学年度高三第一次联考

理科数学试题

本试卷共 6 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选填其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的, 答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 (选择题 共 4 0 分)

一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.设集合 P ? ?3,log2 a?, Q ? ?a,b?,若 P Q ? ?0?,则 P Q ? ( )

A. ?3, 0?

B.?3,0, 2? C. ?3 , 0 ,?1 D.?3,0,1, 2?

2.如图,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA , OB ,则复数 z1 对应的点位于( ) z2

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.已知等差数列?an ?中, a2 ? 5 , a4 ? 11,则前 10 项和 S10 ? ( )

A . 55

B . 155

C . 350

D . 400

4.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了 n

个同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50)
(单 位:元),其中支出在?30,50? (单位:元)的同学

有 67 人,其频率分布直方图如右图所示,则 n 的值为( )

A.100

B.120

C.130 D.390

5.平面四边形 ABCD中 AB ? CD ? 0 ,

( AB ? AD )? AC ? 0 ,则四边形 ABCD 是 ( )

A.矩形

B.梯形

C.正方形

D.菱形

6. 一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰

直角三角形,则这个几何体的体积是

A. 1 2

B.1

C. 3 2

D. 2

7.下列命题:①函数 f (x) ? sin2 x ? cos2 x 的最小正周期是? ;

②函数 f (x) ? (1? x) 1? x 是偶函数; 1? x

? ③若 a 1 dx ? 1(a ? 1) ,则 a ? e ; ④椭圆 2x 2 ? 3y 2 ? m(m ? 0) 的离心率不确定。 1x

其中所有的真命题是( )

A.①②

B.③④

C.②④

D.①③

8.设三位数 n ? abc ,若以 a, b, c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三

位数 n 有( )

A.45 个

B.81 个

C.165 个

D.216 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

(一)必做题(9~13 题)

9. 已知 sin(? ? ?) ? 3 , ?0 ? ? ? ? ? ,则 tan? =________ .

2

2

10.若 (1? 2x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3x3 ? a4 x4 ? a5x5 ,

则 a3=



11. 右图是一个算法的程序框图,最后输出的 W=________.

12.在区间[?5,5]内随机地取出一个数 a ,使得1?{x | 2x2 ? ax ? a2 ? 0}

的概率为



13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点

或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图4中的实心点个数1,5,

12,22,…, 被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1,第2个五角形数记作 a2 ? 5 ,

第3个五角形数记作 a3 ? 12 ,第4个五角形数记作 a4 ? 22 ,……,若按此规律继续下去,若

an ? 145 ,则 n ?



1

5

12

22

(二)选做题:第 14、1 5 题为选做题图,4考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一 题的得分.
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中圆 C 的参数方程为:

?? x ? ?? y

? ?

1

3 ?

? 3cos? 3 sin ?

,(?

为参数),以

OX

为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为:

? cos(? ? ? ) ? 0, 6

则圆 C 截直线所得弦长为

.

15.(几何证明选讲选做题)如图,△ABC 是

PA 是

的切线,PB 交 AC 于点 E,交

的内接三角形, 于点 D,

60 PA=PE, ?ABC ? ? ,PD=1,PB=9,则 EC=

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? 3 sin πx ? 1 cos πx , x ?R .

2

2

(1)求函数 f (x) 的最大值和最小值; (2)设函数 f (x) 在[?1,1]上的图象与 x 轴的交点从左到右分别为 M、N,图象的最高点为 P ,
求 PM 与 PN 的夹角的余弦.

17.(本小题满分 12 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可 入肺颗粒物。我国 PM2.5 标准
采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克
/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.
某试点城市环保局从该市市区 20xx 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作 为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)
(I)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求 恰有一天空气质量达到一级的概率;
(II)从这 15 天的数据中任取三天数据,记? 表示抽到 PM2.5
监测数据超标的天数,求? 的分布列;
(III)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况, 则一年(按 360 天计算)中平均有多少天的空气质量达到 一级或二级.

19.(本小题满分 14 分)

设 Sn 为数列?an? 的前 n 项和,对任意的 n ? N? ,都有 Sn ? (m ?1) ? man ( m 为正常数).

(1)求证:数列?an? 是等比数列;

(2)数列?bn? 满足 b1

?

2a1, bn

?

bn?1 1? bn?1

, (n

?

2, n ?

N? )

,求数列?bn? 的通项公式;

(3)在满足(2)的条件下,求数列

2 n?1 {

bn

cos(n

? 1)? } 的前

n

项和 Tn



20.(本大题满分

14

分)如图,已知椭圆 C



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

3 ,以椭圆 C 2

的左顶点T 为圆心作圆T : (x ? 2)2 ? y2 ? r2 (r ? 0) ,设圆T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N .

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)求TM ?TN 的最小值,并求此时圆T 的方程;

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,

y

且直线 MP, NP 分别与 x 轴交于点 R, S , O 为坐标原点,

P

求证: OR ? OS 为定值.

M

21.(本大题满分 14 分) 已知函数

R

T

SO

x

f (x) ? ln(2ax ?1) ? x2 ? x2 ? 2ax(a ? R).

N

3

(1)若 x=2 为 f (x) 的极值点,求实数 a 的值;
(2)若 y ? f (x) 在?3, ??? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

(3)当 a ? ? 1 时,方程 f (1? x) ? (1? x)3 ? b 有实根,求实数 b 的最大值。

2

3x

“十校”20xx—20xx 学年度高三第一次联考

理科数学答案
一、选择题 C B B A D A D C
1. 【答案】C 【解析】由 P Q ? ?0?,得 log2 a ? 0 ,∴ a ?1,从而 b=0, P

Q ? ?3,0,1?,

2.【答案】B

【解析】复数

z1

?

?2 ? i ,

z2

?

i,

z1 z2

?

?2 ? i i

?

?(2 ? i)i i2

?

?1 ?

2i ,

3.【答案】B

【解析】由 ???aa24

? ?

a1 a1

?d ?5 ?
? 3d ? 11

???ad1

?2 ?3

?

S10

? 10a1

?

10(10?1) 2

d

? 155 。

4.【答案】A 【解析】支出在?30,50? 的同学的频率为1? (0.01? 0.023) ?10 ? 0.67 ,
n ? 67 ? 100。 0.67
5.【答案】D 【解析】 AB ? CD ? 0 ? AB ? ?CD ? DC ? ABCD是平行四行边形 ,
( AB ? AD )? AC ? DB ? AC ? 0 ? DB ? AC ,?平行四行边形ABCD是菱形 。

6.【答案】A 【解析】四棱锥如图,V ? 1 ? 1 (1? 2) ? 2 ? 2 ? 1

32

22

7.【答案】D 【解析】① f (x) ? ?(cos2 x ? sin2 x) ? ? cos 2x,T ? 2? ? ? 2
② 1? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1, f (x) 定义域不关于原点对称, f (x) 不是偶函数。 1? x

? ③若 a 1 dx ? ln x a ? ln a ? ln1 ? ln a ?1?a ? e ,则 a ? e ;

1x

1

④ 2x2

? 3y2

? m(m ? 0) ?

x2 m

?

y2 m

? 1,

a2

?

m ,b2 2

?

m ,e2 3

?

c2 a2

?

a2 ?b2 a2

? 1?e ? 3

3 (确定) 3

23

8.【答案】C 【解析】 a,b, c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a,b, c ?{1,2,3,? ? ?,9}

(1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1 ,由于三位数中三个数码都相同,所以,。

n1 ? C91 ? 9 (2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2 ,由于三位数中只有

2

个不同数码。设为

a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有

2C

2 9

组。

但当大数为底时,设 a>b,必须满足 b ? a ? 2b 。此时,不能构成三角形的数码是

a

9

8

7

6

5

4

321

4,3 4,3 3,2 3,2

b

1,2 1,2 1 1

2,1 2,1 1

1

共 20 种情况。 同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 C32 种情况。 故 n2 ? C32 (2C92 ? 20) ? 156 ,。 综上, n ? n1 ? n2 ? 165 。

二、填空题:9. 3 ;10. 80 ; 11. 22 ; 13. 10 ;14. 4 2 ;15. 4 。 3

9.【答案】 3 3
10.【答案】80

【解析】 sin(? ? ?) ? cos? ? 3 , ?0 ? ? ? ? ?所以? ? 30 0 , tan? = 3

2

2

3

【解析】 T3?1 ? C53 (2x)3 ? 80 x3 , a3 ? 80

11.【答案】22 【解析】第 1 次运算得:S=1,T=3 ;第 2 次运算得:S=8 ,T= 5 ;第 3 次运算

得:S=25-8 =17>10, 这时输出的 W=17+5=22

? ? 12.【答案】 3 【解析】由1? x | 2x2 ? ax ? a2 ? 0 ,得 a2 ? a ? 2 ? 0 ? ?1? a ? 2 ,

10 所以所求概率为

3



10

13.【答案】10 【解析】由于 a2 ? a1 ? 4, a3 ? a2 ? 7, a4 ? a3 ? 10,??? ,

类比得 an ? an?1 ? 4 ? 3[(n ?1) ?1] ? 3n ? 2

所以 an ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an?1) ? 1? 4 ? 7 ? ??? ? (3n ? 2)

?

1? 3n ? 2 2

n

?

3n ? 2

1

n

,由

an

?

3n ?1 n 2

? 145 ,得 n

? 10

或n

?

?

29 3

(舍)

14.【答案】 4

2

【解析】圆

C

的参数方程为

?? x ? ?? y

? 3 ? 3cos? ? 1? 3sin?

的圆心为 (

3,1) ,半径为 3,

直线普通方程为 ?(cos? cos ? ? sin? sin ? ) ? 3 x ? 1 y ? 0 ,即 3x ? y ? 0 ,

6

62 2

2
圆心 C ( 3,1) 到直线 3x ? y ? 0 的距离为 d ? | 3 ?1| ? 1, 3?1
所以圆 C 截直线所得弦长| AB |? 2 r2 ? d 2 ? 2 32 ?12 ? 4 2 15.【答案】4 【解析】弦切角 ?PAE ? ?ABC ? 600 ,又 PA=PE, 所以 ?PAE为等边三角形,由切割线定理有 PA2 ? PD ? PB ? 9 ,所以 AE=EP=PA=3, ED=EP ? PD=2,EB=PB ? PE=9 ? 3=6,由相交弦定理有: EC ? EA ? EB? ED ? 12 EC ? 12 ? 3 ? 4
三、解答题:

16.解:(1) f (x) ? 3 sin πx ? 1 cos πx ? sin(πx ? π ) , ………3 分

2

2

6

∵ x ?R ,∴ ?1 ? sin(πx ? π) ? 1 , 6

∴函数 f (x) 的最大值和最小值分别为 1,-1.

………5 分

(2)解法 1:令 f (x) ? sin(πx ? π) ? 0 得 πx ? π ? kπ, k ? Z .………6 分

6

6

∵ x ?[?1,1] ,∴ x ? ? 1 或 x ? 5 ,∴ M (? 1 , 0), N(5 , 0). ………8 分

6

6

6

6

由 sin(πx ? π) ? 1 ,且 x ?[?1,1] 得 x ? 1 ,∴ P(1 ,1), ………9 分

6

3

3

∴ PM ? (? 1 , ?1), PN ? (1 , ?1), ………10 分

2

2

∴ cos PM , PN ? PM ? PN ? 3 . ………12 分 | PM | ? | PN | 5

解法 2:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则| PA |?1, ………6 分

由三角函数的性质知| MN |? 1 T ? 1, | PM |?| PN |? 12 ? ( 1)2 ? 5 , ………8 分

2

22

由余弦定理得 cos

PM , PN

?

|

PM

|2

?|

PN

|2

?|

MN

|2

=

5 ?2?1 4

?

3 .………12



2 | PM | ? | PN |

2? 5 5

4

解法 3:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则| PA |?1, ………6 分

由三角函数的性质知| MN |? 1 T ? 1,| PM |?| PN |?
2

12 ? ( 1)2 ? 2

5 .………8 分 2

在 Rt?PAM 中, cos ?MPA ? | PA | ? 1 ? 2 5 .………10 分 | PM | 5 5 2

∵PA 平分 ?MPN ,∴ cos ?MPN ? cos 2?MPA ? 2cos2 ?MPA ?1 ? 2? ( 2 5 )2 ?1 ? 3 …12 分

5

5

17.解:(Ⅰ)记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一

级”为事件 A ,

P( A) ? C51 ?C120 ? 45 .

C135

91

………4 分

(Ⅱ)依据条件,? 服从超几何分布:其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 ,? 的可能值为 0,1, 2,3

………5 分

其分布列为:

P ??

?

k?

?

C5kC130?k C135

?k

?

0,1,2,3? .

………8 分

?0123 24 45 20 2
P

(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级

91 91 91 91

的概率为 P ? 10 ? 2 ,…9 分 15 3
一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B(360, 2) 3
? E? ? 360? 2 ? 240 , 3
?一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级

………10 分 ……11 分 …… 12 分

18.证明:记 PD中点为 F 。连结 EF 、FA ,则 AB

1 CD, FE

1 CD, 所以 AB FE…1 分

2

2

所以 FABE为平行四边形。?BE// AF

………2 分

又 AF ? 面PAD, EF ? 面PAD ? BE // 面PAD

………4 分

(2)连结 BD 在直角梯形 ABCD中。 ?ADC ? ?DAB ? 900 , BC2 ? AD2 ? (DC ? AB)2 ? 2 ,

BD2 ? AD2 ? AB2 ? 2 ,所以 BD2 ? BC2 ? 4 ? CD2 , BC ? BD …… 5 分

面PCD ? 面ABCD ?

面PCD ? 面ABCD ? CD PD ? CD

?? ?

?

PD

?

面ABCD

?

PD

?

BC

,…

?

6分

PD ? 面PCD

??

又 BC ? BD , BD? PD ? D? BC ? 面PDB,… 7 分 而 BC ? 面PBC ?面 PBD ? 面 PBC …… 8 分

19.(本小题满分 14 分)
(1)证明:当 n ?1 时, a1 ? S1 ? (m ?1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1.……………1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man .即 (1? m)an ? man?1.…………2 分

又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴ an ? m (n ? 2) . an?1 1? m

∴数列 {an }

是首项为

1,公比为

1

m ?m

的等比数列.

……………………3 分

(2)解: b1 ? 2a1 ? 2 . ………………………4 分

∵ bn

?

bn?1 1 ? bn?1

,∴

1 ? 1 ?1 ,即 1 ? 1 ? 1(n ? 2) .…………5 分

bn bn?1

bn bn?1



?1

? ?

bn

? ?

是首项为

?

1 2

,公差为

1

的等差数列.………………………6



∴1 bn

?

1 ? (n ?1) ?1 ? 2

2n ? 2

1

,即

bn

?

2 2n ?1

(n ? N ?) .…………7 分

(3)解:由(2)知 bn

?

2 ,则 2n ?1

2 n?1 bn

cos(n ?1)?

?

(?1)n?1(2n ?1) ? 2n

所以Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1)n?1 (2n ?1) ? 2n

当 n 为偶数时,

……8 分

Tn ? 1? 2 ? 5 ? 23 ? ?9 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? [3 ? 22 ? 7 ? 24 ? ? ? ? ? ? ? (2n ?1) ? 2n ]

令 S ? 1? 2 ? 5? 23 ? ?9 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1

………①

则 4S ? 1? 23 ? 5 ? 25 ? ?9 ? 27 ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 7) ? 2n ? (2n ? 3) ? 2n?1 ………②

①-②得 ? 3S ? 1? 2 ? 4 ? 23 ? 4 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n?1

=1?

2

?

4?

23

(1 ?

n ?1
42 )

?

(2n

?

3)

?

2 n?1

1? 4

? 6 ? 32 ? 2n?3 ? 3(2n ? 3) ? 2n?1 26 ? (6n ? 13) ? 2n?1

=

=

?3

?3

? S ? 26 ? (6n ?13) ? 2n?1 9

……10 分

令 S / ? 3? 22 ? 7 ? 24 ? ????? ? (2n ?1) ? 2n

………③

4S / ? 3? 24 ? 7 ? 26 ? ????? ? (2n ? 5) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?2 ………④

③-④得 ? 3S / ? 3? 22 ? 4 ? 24 ? 4 ? 26 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?2

=12

?

4

?

24

(1

?

4

n ?1 2

)

?

(2n

? 1)

?

2n?2

1? 4

? 36 ? 64 ? 2n?4
=

? 3(2n ?1) ? 2n?2

= 28 ? (6n ? 7) ? 2n?2

?3

?3

? S / ? 28 ? (6n ? 7) ? 2n?2 9

……11 分

?Tn

? S ?S/

?

26 ? (6n ?13) ? 2n?1 9

? 28 ? (6n ? 7) ? 2n?2 9

? ? (6n ?1) ? 2n?1 ? 2 9

当 n 为奇数时,n-1 为偶数,

……12 分

?Tn

? Tn?1

? (?1)n?1 (2n ?1) ? 2n

?

[6(n ?1) ?1] ? 2n ?
9

?2

? (2n ?1) ? 2n

(?6n ? 7) ? 2n ? 2 ? (18n ? 9) ? 2n (12n ? 2) ? 2n ? 2 (6n ?1) ? 2n?1 ? 2

=

?

?

9

9

9

?Tn

?

? ???

(6n

? 1)

? 2n?1 9

?

2

(n为偶数)

? ?(6n ??

? 1)

? 9

2 n ?1

?

2

(n为奇数)

………………14 分

法二: Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1)n?1 (2n ?1) ? 2n

……①

? 2Tn ? ?1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? 7 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1)n?1 (2n ? 3) ? 2n ? (?1)n?1 (2n ? 1) ? 2n?1 …②

…………9 分

①-②得:

3Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ? 2 ? 25 ? ? ? ? ? ? ? ?(?1)n?1 ? 2 ? 2n ? (?1)n?1 (2n ? 1) ? 2n?1
…………10 分

= 2 ? ? 23[1 ? (?2)n?1 ] ? (?1)n?1 (2n ? 1) ? 2n?1 1 ? (?2)

…………12 分

6 ? 8 ? (?1)n?1 2n?2 ? 3(?1)n?1 (2n ? 1) ? 2n?1
=
3

? ? 2 ? (2 ? 6n ? 3) ? 2n?1 (?1)n?1 ? (6n ?1) ? 2n?1 (?1)n?1 ? 2

3

3

… … … 13 分

?Tn

?

(?1)n?1 (6n ? 1) ? 2n?1 9

?2

…………14 分

20.本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考 查函数与方程思想、数形结合思想

解:(1)依题意,得 a ? 2 , e ? c ? 3 ,?c ? 3, b ? a2 ? c2 ? 1; a2

故椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 . …………………3 分 4

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M (x1, y1) , N (x1,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 .

由于点 M

在椭圆 C

上,所以

y12

?1?

x12 4



(*)

……………4 分

由已知T (?2, 0) ,则TM ? (x1 ? 2, y1) ,TN ? (x1 ? 2, ? y1) , ?TM ?TN ? (x1 ? 2, y1) ? (x1 ? 2, ? y1) ? (x1 ? 2)2 ? y12

?

( x1

?

2) 2

?

(1 ?

x12 4

)

?

5 4

x12

?

4 x1

?

3

?

5 4

( x1

?

8)2 5

?

1 5

.………6



由于 ?

2

?

x1

?

2 ,故当

x1

?

?8 5

时, TM

?TN

取得最小值为 ?

1 5



由(*)式,

y1

?

3 5

,故 M

(?

8, 5

3) 5

,又点

M

在圆 T

上,代入圆的方程得到 r2

?

13 25



故圆T 的方程为: (x ? 2)2 ? y2 ? 13 . 25

…………………8 分

方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M (2cos?,sin? ), N(2cos?, ?sin?) ,

不妨设 sin? ? 0 ,由已知T (?2, 0) ,则

TM ?TN ? (2cos? ? 2, sin?) ? (2cos? ? 2, ? sin?)

? (2 c o ?s ? 2)2 ? s i n2 ? ? 5c o s2 ? ? 8c o ?s ? 3 ? 5( c o?s? 4)2 ? 1 .……6 分

故当 cos? ? ? 4 时,TM ?TN 取得最小值为 ? 1 ,此时 M (? 8 , 3) , 5 5

5

5

55

又点 M 在圆T 上,代入圆的方程得到 r2 ? 13 . 25

故圆T 的方程为: (x ? 2)2 ? y2 ? 13 . 25

………8 分

(3)

方法一:设 P(x0 ,

y0 ) ,则直线 MP 的方程为: y ?

y0

?

y0 x0

? y1 ? x1

(x ? x0 ) ,

令 y ? 0,得 xR

?

x1 y0 ? x0 y1 y0 ? y1



同理: xS

?

x1 y0 ? x0 y1 y0 ? y1



…………10 分

故 xR

? xS

?

x12 y0 2 ? x0 2 y12 y0 2 ? y12

(**)

………………11 分

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x02 ? 4(1? y02 ) , x12 ? 4(1 ? y12 ) ,……………………12 分

代入(**)式,得:

xR

? xS

?

4(1 ? y12 ) y02 y02

? 4(1? ? y12

y0 2 ) y12

? 4( y02 ? y12 ) ? 4 . y0 2 ? y12

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值.……………………14 分

方 法 二 : 设 M ( 2 cos? , si?n N) , ( 2 c?o?s , ?sin, 不) 妨 设 sin? ? 0, P(2cos?, sin? ) , 其 中

sin? ? ?sin? .则直线 MP 的方程为: y ? sin? ? sin? ? sin? (x ? 2cos? ) , 2cos? ? 2cos?



y

?

0 ,得 xR

?

2(sin? cos? ? cos? sin? ) sin? ? sin?



同理: xS

?

2(sin? cos? ? cos? sin? ) sin? ? sin?

,………………12 分

故 xR

? xS

?

4(sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ) sin 2 ? ? sin 2 ?

?

4(sin 2 ? ? sin 2 ? ) sin 2 ? ? sin 2 ?

? 4.

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值.…………14 分

21.(1)解: f ?(x) ? 2a ? x2 ? 2x ? 2a ? x[2ax2 ? (1 ? 4a)x ? (4a2 ? 2)]

2ax ? 1

2ax ? 1

因为 x = 2 为 f (x)的极值点,所以 f ?(2) ? 0

……1 分 ……2 分

即 2a ? 2a ? 0 ,解得:a = 0 4a ? 1
又当 a = 0 时, f ?(x) ? x(x ? 2) ,从而 x = 2 为 f (x)的极值点成立.

……3 分 ……4 分

(2)解:∵f (x)在区间[3,+∞)上为增函数,

∴ f ?(x) ? x[2ax2 ? (1 ? 4a)x ? (4a2 ? 2)] ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立. 2ax ? 1

……5 分

①当 a = 0 时, f ?(x) ? x(x ? 2) ≥0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f (x)在[3,+∞)上为增函数,

故 a = 0 符合题意.

……6 分

②当 a≠0 时,由函数 f (x)的定义域可知,必须有 2ax + 1 > 0 对 x≥3 恒成立,故只能 a > 0,

所以 2ax2 ? (1 ? 4a)x ? (4a2 ? 2) ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立.

……7 分

令 g(x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a)x ? (4a2 ? 2) ,其对称轴为1 ? 1 4a

……8 分

∵a > 0,∴1 ? 1 ? 1 ,从而 g (x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g (3)≥0 即可, 4a

由 g(3) ? ?4a2 ? 6a ? 1≥ 0 ,解得: 3 ? 13 ≤ a ≤ 3 ? 13

4

4

……9 分

∵a > 0,∴ 0 ? a ≤ 3 ? 13 .综上所述,a 的取值范围为[0, 3 ? 13 ]

4

4

……10 分

(3)解: a ? ? 1 时,方程 f (1 ? x) ? (1 ? x)3 ? b 可化为, ln x ? (1? x)2 ? (1? x) ? b .

2

3

x

x

问题转化为 b ? x[ln x ? x ? x2 ]在(0,+∞)上有解

……11 分

令 h(x) ? ln x ? x ? x2 ,则 h?(x) ? 1 ? 1 ? 2x ? (2x ? 1)(1 ? x)

x

x

当 0 < x < 1 时, h?(x) ? 0 ,∴h (x)在(0,1)上为增函数

…12 分

当 x > 1 时, h?(x) ? 0 ,∴h (x)在(1,+∞)上为减函数

故 h (x)≤h (1) = 0,而 x > 0,故 b ? xh(x) ≤0

即实数 b 的最大值是 0. ……14 分


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