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【北师大版】2012高三数学理《金版新学案》一轮复习课件第4章第1课时平面向量的概念及其线性运算_图文

【北师大版】2012高三数学理《金版新学案》一轮复习课件第4章第1课时平面向量的概念及其线性运算_图文

知识点

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1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的概念和向量相等的含义.

平面向量的概念 及其线性运算

3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共

线的含义.

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

1.了解平面向量的基本定理及其意义. 平面向量的基本 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 定理及坐标运算 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.会用坐标表示平面向量共线的条件.

知识点

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1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

平面向量的数量 积及平面向量应
用举例

3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的 坐标运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量方法解决某些简单的力学问题和其他一些实

际问题.

1.理解复数的基本概念.

数系的扩充与复 数的引入

2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算.

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

?第1课时 平面向量的概念及其线性 运算

? 1.向量的有关概念

? (1)向量:既大有小 方向又有

的量叫做向

量,长度向量的模大小叫做向量的

(或



). 长度为0

任意

? (2)零向量:

的向量叫做零向量,

其方向0是

的,零向量记作 .

? (3)单位向量:与向量a同方单向位1,且长度为

的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0.

? (4)平行向量:方向相相反 同或非零



共向线 量 ; 平 行平行 向 量 又 叫

向量.规定:0与任一向



.相等

相同

? (5)相等向量:相长等度 相反 且方向



向量.

? (6)相反向量:长度

且方向



向量.

? 【思考探究】 两向量平行与两直线(或线 段)平行有何不同?
? 提示: 平行向量也叫共线向量,这里的 “平行”与两直线(或线段)平行的意义不同, 两向量平行时,两向量可以在同一条直线 上,甚至起点都可以相同.

? 2.向量的线性运算

向量运 算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和 的运算

三角形法则

(1)交换律: a+b= b+a .
(2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c).

平行四边形法则

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

减法

求a与b的相反向 量-b的和的运算
叫做a与b的差

三角形法则

a-b=a+(-b)

数乘

求实数λ与向量a 的积的运算

(1)|λa|= |λ||a| . (方2)向当λ>0相时同,;λa当与λa<的0 时相,反λa与;a的当方λ=向0时, λa=0.

λ(μa)= λμa ; λ(aλ++μμa)a= ; λλa(+a+λbb)= .

1.下列说法正确的是( )

→→ →



A.AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线

B.长度相等的向量叫相等向量

C.零向量长度等于 0

D.共线向量是在同一条直线上的向量

→→ →



解析: AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两

种情况,故 A 错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故 B

错;按定义零向量长度等于 0,故 C 正确;共线向量可以是在一条直线

上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故 D 错.

答案: C

→→

→→→

2.在△ABC 中,AB=c,AC=b.若点 D 满足BD=2DC,则AD=( )

A.23b+13c

B.53c-23b

C.23b-13c

D.13b+23c

解析: 如图所示,可知A→D=A→B+23(A→C-A→B)=c+23(b-c)=23b+13

c.

答案: A

? 3.λ∈R,则下列命题正确的是( )

? A.|λa|=λ|a|

B . |λa| =

|λ|a

? C.|λa|=|λ||a|

D.|λa|>0

? 解析: A中λ<0时不成立.B中|λa|是实 数,而|λ|a是向量,故B错.D中,若λ=0 或a=0时,|λa|=0,故D错.

? 答案: C

? 4.已知a与b是两个不共线向量,且向量a +λb与-(b-3a)共线,则λ=________.

解析: 由已知得 a+λb=-k(b-3a),

? λ=-k

??λ=-31

∴??3k=1 ,解得???k=13

.

答案: -13

→→→ 5.已知平面上不共线的四点 O、A、B、C.若OA-3OB+2OC=0, → 则|A→B|等于________. |BC|
→→ →→ 解析: 由已知得,OA-OB=2(OB-OC), ∴A→B=2B→C,∴|A→ →B|=2.
|BC|
答案: 2

1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. 2.共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. 3.向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不 要把它与函数图象移动混为一谈. 4.非零向量 a 与|aa|的关系是|aa|是 a 方向上的单位向量.

? 给出下列命题:

? (1)两个具有公共终点的向量,一定是共线 向量.

? (2)两个向量不能比较大小,但它们的模能 比较大小.

? (3)λa=0(λ为实数),则λ必为零.

? (4)λ、μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.

? 其中错误的命题的个数为( )

?A



1

B.2

? C.3

D.4

? 解析: (1)错.两向量共线要看其方向而 不是起点与终点.
? (2)对.因为向量既有大小,又有方向,故 它们不能比较大小,但它们的模均为实数, 故可以比较大小.
? (3)错.当a=0时,不论λ为何值,λa=0. ? (4)错.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b
可以是任意向量.
? 答案: C

【变式训练】 1.给出下列命题:

①有向线段就是向量,向量就是有向线段;

②若A→B=D→C,则 ABCD 为平行四边形;

③若 a=b,b=c,则 a=c;

④若 a∥b,b∥c,则 a∥c.

其中正确命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析: ①错,向量可用有向线段表示,但并不是有向线段.②错, 因为A→B=D→C,则可能 A、B、D、C 四点在一条直线上.③正确.④错, 若 b=0,则对不共线的向量 a 与 c,也有 a∥0,0∥c,但 a 与 c 不平行.
答案: B

? 向量的线性运算要满足三角形法则和平行 四边形法则,做题时,要注意三角形法则 与平行四边形法则的要素.向量加法的三 角形法则要素是“首尾相接,指向终点”, 即第二个向量的起点与第一个向量的终点 重合,和向量由第一个向量的起点指向第 二个向量的终点;向量减法的三角形法则 要素是“起点重合,指向被减向量”,即 两个向量的起点重合,差向量由减向量的 终点指向被减向量的终点;平行四边形法 则的要素是“起点重合”,即两个向量的 起点相同,和向量的起点也相同.

如图所示,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分

→→

→→

别是 DC、AB 的中点,已知AB=a,AD=b,试用 a、b 分别表示DC、BC、

→ MN.

解析: 连接 AC. D→C=12A→B=12a, A→C=A→D+D→C=b+12a,

B→C=A→C-A→B=b+12a-a=b-12a, → → → →→ → NM=ND+DM=NA+AD+DM =-12a+b+14a=b-14a, M→N=-N→M=14a-b.

【变式训练】 2.如图,已知△OAB 中,点 C 是以 A 为中心的点 B

→ 的对称点,D 是将OB分成 2∶1 的一个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设





OA=a,OB=b.

→→ (1)用 a 和 b 表示向量OC、DC;

→→ (2)若OE=λOA,求实数 λ 的值.

解析: (1)由题意,A 是 BC 的中点,且O→D=23O→B, →→ →
由平行四边形法则,OB+OC=2OA. → →→
∴OC=2OA-OB=2a-b, D→C=O→C-O→D=(2a-b)-23b=2a-53b.

→→ (2)如题图,EC∥DC.
→→→ 又∵EC=OC-OE=(2a-b)-λa =(2-λ)a-b, D→C=2a-53b, ∴2-2 λ=- -153,∴λ=45.

? 1.向量共线的充要条件中要注意当两向量 共线时,通常只有非零向量才能表示与之 共线的其他向量,要注意待定系数法的运 用和方程思想.
? 2.证明三点共线问题,可用向量共线来解 决,但应注意向量共线与三点共线的区别 与联系,当两向量共线且有公共点时,才 能得到三点共线.





设 e1,e2 是两个不共线向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,

→ CD=2e1-e2.

(1)求证:A、B、D 三点共线.

→ (2)若BF=3e1-ke2,且 B、D、F 三点共线,求 k 的值.

→→→ 解析: (1)证明:由已知得BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1

-4e2,



→→

∵AB=2e1-8e2,∴AB=2BD,

∴A、B、D 三点共线.

→ (2)由(1)可知BD=e1-4e2,



→→

且BF=3e1-ke2,得BF=λBD,

即 3e1-ke2=λe1-4λe2

? λ=3 得??-k=-4λ ,

解得 k=12,∴k=12.

→→ → 【变式训练】 3.已知OB=λOA+μOC(λ,μ 为实数),若 A、B、C 三点共线. 求证:λ+μ=1. 证明: 如图,∵A、B、C 三点共线,
→→ 可设AB=mAC,
→→→→ → 则OB=OA+AB=OA+mAC
→ →→ =OA+m(OC-OA)
→→ =(1-m)OA+mOC,
→→ → 又OB=λOA+μOC, ∴λ=1-m,μ=m,∴λ+μ=1.

1.共线向量有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模 不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线 向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一 定是共线向量.
2.两个向量的和仍是向量.特别注意的是:在向量加法的表达式 →→→
中零向量一定要写成 0,而不应写成 0;在△ABC 中,AB+BC+CA=0.

3.两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得:用平行

四边形法则时,两个向量共起点,和向量是起点与它们的起点重合的那





条对角线(AC),而差向量是另一条对角线(DB),方向是从减向量指向被

减向量;用三角形法则时,把减向量与被减向量的起点相重合,则差向

量是从减向量的终点指向被减向量的终点.

? 4.共线定理的作用:用向量共线定理可以 证明几何中的三点共线和直线平行问 题.但是向量平行与直线平行是有区别的, 直线平行不包括重合的情况.要证明三点 共线或直线平行都是先探索有关的向量满 足向量等式b=λa,再结合条件或图形有无 公共点证明几何位置.

? 从近两年的高考试题来看,向量的线性运 算、共线问题是高考的热点.尤其向量的 线性运算出现的频率较高,多以选择题、 填空题的形式出现,属中低档题目,主要 考查向量的线性运算及对向量有关概念的 理解,常与向量共线和平面向量基本定理 交汇命题.

→ (2010·全国卷Ⅱ)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB.若CB





=a,C A =b,|a|=1,|b|=2,则CD=( )

A.13a+23b

B.23a+13b

C.35a+45b

D.45a+35b

【全解全析】 如图所示,∠1=∠2,
∴||CCBA||=||DBDA||=12, ∴B→D=13B→A =13(C→A-C→B)=13(b-a), ∴C→D=C→B+B→D=a+13(b-a)=23a+13b.
答案: B
? 【阅后报告】 解答本题的难点是不知角 平分线定理,只要把BD和DA的关系用BC和 CA表示,问题便可解决.

→→→
1.(2010·湖南卷)已知△ABC 和点 M 满足 M A +M B +M C =0.若存

→→ →
在实数 m 使得 A B +A C =mAM成立,则 m=( )

A.2

B.3

C.4

D.5

→→→ 解析: ∵MA+MB+MC=0,∴点 M 是△ABC 的重心.
→→ → ∴AB+AC=3AM.∴m=3.
答案: B

→→ → 2.(2009·山东卷)设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,

则( )

→→ A.PA+PB=0

→→ B.PC+PA=0

→→ C.PB+PC=0

→→ → D.PA+PB+PC=0

→→ → 解析: ∵BC+BA=2BP,由向量加法的平行四边形法则知 P 为

AC 中点.

→→ 如图.∴PC+PA=0.

答案: B

? 3.(2009·北京卷)已知向量a、b不共线,c

=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么

()

解析: 由 c∥d,则存在 λ 使 c=λd,即 ka+b=λa-λb,

? A∴.(k-k=λ)a+1且(λ+c1与)b=d0.同向

B.k=1且c与

又 a 与 b 不共线,
d∴反k-向λ=0,且 λ+1=0.

? C∴ 故.kc=k与-=d1.反-此向时1,c且=选-cD与a. +db=同-向(a-b)=-d. D.k=-1且c

与答d案反: 向D

练规范、练技能、练速度


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