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《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:10-6 几何概型(共47张PPT)

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高考调研

新课标版 · 高三数学(理)

第 6 课时

几 何 概 型

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2014?考纲下载

1.了解几何概型的意义. 2.了解日常生活中的几何概型.

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请注意!

纵 观 近 几 年 高 考 所 涉 及 几 何 概 型 的 考 查 内 容 特 点 是 与 实 际 生 活 密 切 相 关 , 这 就 要 求 抓 好 破 势 训 练 , 从 不 同 角 度 , 不 同 侧 面 对 题 目 进 行 分 析 , 查 找 思 维 的 缺 陷 .

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1.几 何 概 型 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 或 体积 )成 比 例 , 那 么 称 这 样 的 概 率 模 型 为 几 何 概 率 模 型 , 简 称 为 几何概型 . 2.几 何 概 型 中 事 件 A的 概 率 计 算 公 式 构 成 事 件 A的 区 域 长 度 ?面 积 或 体 积 ? P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?. ?

长度(面积

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3.要 切 实 理 解 掌 握 几 何 概 型 试 验 的 两 个 基 本 特 点 1 ( ) 无 限 性 : 在 一 次 试 验 中 , 可 能 出 现 的 结 果 有 2 ( ) 等 可 能 性 : 每 个 结 果 的 发 生 具 有 4.几 何 概 型 的 试 验 中 事 件 A的 概 率 体 积 )成 正 比 , 而 与 P(A)只 与 子 区 域 A的 位 置 和 形 状 无 关 . A的 几 何 度 量 (长 度 、 面 积 和
无限多个 ;
等可能性 .

5.求 试 验 中 几 何 概 型 的 概 率 关 键 是 求 得 事 件 所 占 区 域 和 整 个 区 域 代 入 公 式 即 可 求 解 .
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Ω 的 几 何 度 量 , 然 后

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1. 在 区 间 立 的 概 率 为 _ _ _ _ _

3 0 [ ] ,

上 任 取 一 个 数 .

x, 使 得 不 等 式

x2-3x+2 > 0



2 答案 3

解析 x2-3x+2 > 0 ?x>2 或 x<1, 由 几 何 概 型 概 率 公 式 可 得 2 P= . 3

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2. 在 区 间 在区间1 0 [ ,]

1 0 [ ,]

内 随 机 取 出 两 个 数 , 则 这 两 个 数 的 平 方 和 也 .

内 的 概 率 是 _ _ _ _ _ π 答案 40 解 析 将 取 出 的 两 个 数 分 别 用

x,y

表 示 , 则

0≤x≤1 0 ,

≤y≤1 0 . 如 图 所 示 ,

当 点 (x,y)落 在 图 中 的 阴 影 区 域 时 , 取 出 的 两 个 数 的 平 方 和 也 在 区 间 1 π×10 4 π = . 102 40
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1 0 [ ,]

内 , 故

所 求 概 率 为

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3. 在 区 间 的 离 心 率 大 于

2 0 ) ( ,

内 任 取 两 数

m,n(m≠n), 则 椭 圆 .

x2 y2 + =1 m2 n2

3 的概率为_ _ _ _ _ 2

1 答案 2

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解析 如图,m,n 的 取 值 在 边 长 为 2的 正 方 形 中 . m2-n2 n 2 当 m>n 时 , 椭 圆 离 心 率 e= = 1-? ? , m m 3 由 e> ,得 m>2n.同 理 , 当 m<n 时,n>2m. 2 故 满 足 条 件 的 m,n 为 图 中 阴 影 部 分 . 1 2× ×2×1 2 1 所 求 概 率 P= = . 22 2

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4. 某 路 公 共 汽 车 每 刻 是 随 机 的 , 则 他 候 车 时 间 不 超 过
3 答案 5

5分 钟 发 车 一 次 , 某 乘 客 到 乘 车 点 的 时 3分 钟 的 概 率 是 _ _ _ _ _ _ .

解析 此题可以看成向区间5 0 [ ] , 客 候 车 时 间 不 超 过

内均匀投点,设 A={某乘

区间[2,5]的长度 3 3 分钟},则 P(A)= = . 区间[0,5]的长度 5

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5. 如 图 所 示 , 图 展 开 图 , 其 中 四 边 形

2中 实 线 围 成 的 部 分 是 长 方 体 A B C D 是 边 长 为

(图 1)的 平 面

1的 正 方 形 . 若 向 虚 线 围 成

的 矩 形 内 任 意 抛 掷 一 质 点 , 它 落 在 长 方 体 的 平 面 展 开 图 内 的 概 率 1 是 , 则 此 长 方 体 的 体 积 是 4 _ _ _ _ _ .

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答案 3
解析 设 长 方 体 的 高 为 质 点 落 在 长 方 体 的 平 面 展 开 图 内 的 概 率 解得 h=3, 故 长 方 体 的 体 积 为 h, 由 几 何 概 型 的 概 率 计 算 公 式 可 知 , 2+4h 1 P= = , ?2h+2??2h+1? 4 1×1×3=3.

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例1 1 ( ) 2 ( 0 1 3 ·

湖北)在 区 间 [-2,4]上 随 机 地 取 一 个 数

x,若

5 x 满足|x|≤m 的概率为 ,则 m=_ _ _ _ _ . 6

【解析】 由 几 何 概 型 , 得

5 m-?-2? = ?m=3. 6 6

【答案】 3

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2 ( ) 2 ( 0 1 2 ·

辽宁)在 长 为 1 c m 2

的 线 段 AB 上 任 取 一 点

C. 现 作 一

矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的 长 , 则 该 矩 形 面 积 大 于 3 c 2 m
2

的 概 率 为

_ _ _ _ _
2


x< 1 2 ) ,∴ . ∴所

【解析】 设|AC|=xc m ,则|BC|=1 ( 2 -xc m )0 ( < 矩 形 面 积 为 x1 ( 2 -x c m )

由 x1 ( 2 -x)> 3 2 ,解得 x>8 或 x<4,∴0<x<4 或 8<x< 1 2 . 4+4 2 求概率为 = . 12 3 2 【答案】 3
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探究 1 一 维 变 量 的 几 何 概 率 可 转 化 为 长 度 概 型 .
思 考 题 匀 随 机 数 1 1 ( ) 2 ( 0 1 3 · 福建)利 用 计 算 机 产 生 0-1 之 间 的 均 _ _ _ _ _ .

a, 则 事 件

“3a-1 > 0 ”发 生 的 概 率 为

1 2 【解析】 事件“3a-1 > 0 ”,即“a> ”,故概率 P= . 3 3 2 【答案】 3

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2 ( ) 若 在 区 间 -a2> 0 } 的 概 率 为

[-5 ] , _ _ _ _ _ _

内 随 机 取 出 一 个 数 .

a,则 1∈{x|2x2+ax

【解析】 ∵1∈{x|2x2+ax-a2> 0 } , ∴1 2 · 2+a· 1-a2>0,即 a2-a-2 < 0 ,∴-1<a< 2 . 又∵a∈[-5 ] ,
3 【答案】 10

,∴所 求 概 率 为

3 . 10

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例 2 1 ( ) 2 ( 0 1 2 · 域 为 D.在 区 域 于2的 概 率 是 π A. 4 π C. 6 (

北 京 )设 不 等 式 组

? ?0≤x≤2, ? ? ?0≤y≤2

表 示 的 平 面 区

D内 随 机 取 一 个 点 , 则 此 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 大 ) π-2 B. 2 4-π D. 4

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【解析】 画 草 图 易 知 区 域 点 的 距 离 大 于 2的 点 在 以 原 点 为 圆 心 , 以

D 是边长为 2 的 正 方 形 , 到 原 2为 半 径 的 圆 的 外 部 ,
2

所 以 所 求 事 件 的 概 率 为

1 2×2- 2 π · 4 P= 2×2

4-π = .选 D. 4

【答案】 D

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2 ( ) 两 人 约 定 在

20:00 到 21:00 之 间 相 见 , 并 且 先 到 者 必

须等迟到者 40 分 钟 方 可 离 去 , 如 果 两 人 出 发 是 各 自 独 立 的 , 在 20:00 至 21:00 各 时 刻 相 见 的 可 能 性 是 相 等 的 , 求 两 人 在 约 定 时 间 内 相 见 的 概 率 .
【思路】 两 人 不 论 谁 先 到 都 要 等 迟 到 者 时 . 设 两 人 分 别 于 时 间 范 围 内 相 见 , 当 且 仅 当 - 利 用 几 何 概 型 求 解 .
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2 40 分钟,即 小 3

x 时和 y 时 到 达 约 见 地 点 , 要 使 两 人 在 约 定 的 2 2 ≤x-y≤ , 因 此 转 化 成 面 积 问 题 , 3 3

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【解 析 】

设 两 人 分 别 于

x 时和 y 时 到 达 约 见 地 点 , 要 使 两

人 能 在 约 定 时 间 范 围 内 相 见 , 当 且 仅 当 - 2 2 ≤x-y≤ . 3 3

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两 人 到 达 约 见 地 点 所 有 时 刻 的 单 位 正 方 形 内 围 内 相 见 的 所 有 时 刻 (包 括 边 界 )来 表 示 . (包 括 边 界

(x,y)的 各 种 可 能 结 果 可 用 图 中 )的 点 来 表 示 , 两 人 能 在 约 定 的 时 间 范

(x,y)的 各 种 可 能 结 果 可 用 图 中 的 阴 影 部 分

因 此 阴 影 部 分 与 单 位 正 方 形 的 面 积 比 就 反 映 了 两 人 在 约 定 时 间 范 围 内 相 遇 的 可 能 性 的 大 小 , 也 就 是 所 求 的 概 率 为 S阴影 S单 位 正 方 形 12 1-? ? 3 8 = = . 12 9

P=

8 【答案】 9
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探究 2 1 ( ) “面积比”是 几 何 概 率 的 一 种 重 要 概 型 , 既 有 实 际 面 积 比 也 有 可 转 化 为 面 积 比 的 问 题 . 2 ( ) 会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型, 难 点 是 把 两 个 时 间 分 别 用 x、y 表 示 , 构 成 平 面 内 的 点 (x,y),从

而 把 时 间 是 一 段 长 度 问 题 转 化 为 平 面 图 形 的 二 维 面 积 问 题 , 转 化 成 几 何 概 型 的 面 积 问 题 . 3 ( ) 对 二 元 变 量 问 题 , 一 般 都 可 转 化 为 面 积 的 问 题 .

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思 考 题 2 ( 0 1 2 ·

2 1 ( ) 湖 北 )如 图 , 在 圆 心 角 为 直 角 的 扇 形 O A B ) 1 B. π 2 D. π O A B 中 , 分 别 以

OA,OB 为 直 径 作 两 个 半 圆 . 在 扇 形 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 是 1 1 A. - 2 π 2 C.1- π (

内 随 机 取 一 点 , 则 此

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【 解 析 】 算 公 式 求 解 . 设 分 面 积 为

求 出 阴 影 部 分 的 面 积 , 再 利 用 几 何 概 型 的 概 率 计 OA=OB=r, 则 两 个 以 r 为 半 径 的 半 圆 的 公 共 部 2

2 1 r 2 1 r 2 ?π-2?r 2[ ( π · ) - ×( ) ]= , 两 个 半 圆 外 部 的 阴 影 部 4 2 2 2 8 2 2

?π-2?r ?π-2?r 1 2 1 r 2 分面积为 πr -[ π( ) ×2- ]= ,所以所求概率 4 2 2 8 8 ?π-2?r2 2× 8 2 为 =1- . 1 2 π πr 4 【答案】 C
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2 ( ) 已 知 平 面 区 域 域

Ω={(x,y (|) x-1)2+(y-1)2≤1}, 平 面 区 }, 若 向 区 域 Ω内 随 机 抛 掷 一 点
Ω 是以1 ) ( , 2的正方

? ?1≤x+y≤3, M={(x, y)? ? ?-1≤x-y≤1

P,

则点 P 落 在 区 域 M内 的 概 率 为 【解析】 如 图 , 画 出 区 域
为 圆 心 , 1为 半 径 的 圆 , 其 面 积 为

_ _ _ _ _ _ . Ω与 区 域 M, 则 区 域
π, 区 域 M是 边 长 为 2 . π

形 , 其 面 积 为

2× 2=2, 故 所 求 的 概 率 为

2 【答案】 π

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例3 已 知 正 三 棱 锥 三 棱 锥 内 任 取 一 点 【 解 析 】

S-ABC 的 底 面 边 长 为

4, 高 为 _ _ _ _ _

3, 在 正 .

P, 使 得

1 VP-ABC< VS-ABC 的 概 率 是 2

当P在 三 棱 锥 的 中 截 面 及 下 底 面 构 成 的 正 三 棱 台 1 7 P=1- = . 8 8

内 时 符 合 要 求 , 由 几 何 概 型 知 ,
7 【答案】 8

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探究 3 几 何 概 型 的 概 率 公 式 中 的 的 长 度 、 面 积 , 也 可 以 是 体 积 , 而 且 只 与 体 积 大 小 有 关 .
思考题 3 1 ( ) 在 棱 长 为 取一点 P, 则 点 a的 正 方 体

“几何度量”, 除 了 前 面

A B C D

-A1B1C1D1 内任 _ _ _ _ _ .

P 到点 A 的 距 离 不 大 于

a的 概 率 为

【解析】 满 足 条 件 的 点 在 以 1 4 3 × πa 8 3 π 所 以 所 求 概 率 为 P= = . a3 6 π 【答案】 6
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A为 球 心 , 半 径 为

1 a的 球 内 , 8

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(2)有 一 个 底 面 半 径 为 面 圆 的 圆 心 , 在 这 个 圆 柱 内 随 机 抽 取 一 点 距 离 大 于 1的 概 率 为 _ _ _ _ _ _

1, 高 为

2的 圆 柱 , 点

O为 这 个 圆 柱 底 P 到点 O 的

P, 则 点 .
V 柱=πR2h=2π,

【 解 析 】 半 球 的 体 积 ∴圆 柱 内 一 点 到 点 O的 距 离 大 于

圆 柱 的 体 积 V半 球

1 4 3 2 = × πR = π. 2 3 3 1的 概 率 为 1 .∴点 P 3

P 到点 O 的 距 离 小 于 等 于 1的 概 率 为 1 2 1- = . 3 3

2 【答案】 3
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例4

过 等 腰

Rt△A B C

的 直 角 顶 点

C 在∠A C B

内 部 随 机 作

一 条 射 线 , 设 射 线 与

AB 相 交 于 点

D,求 AD<AC 的 概 率 .

【解析】 在 AB 上 取 一 点 则当射线 CD 落在∠A C E

E,使 AE=AC, 连 接

CE(如图), ,

内部时,AD<AC.易知∠A C E =6 5 7 ° .

6 5 7 ° . ∴AD<AC 的概率 P= =7 0 5 . 90°

【答案】 7 0 5 .

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探 究 4 1 ( ) 解 决概 率 问 题 先 判 断 概 型 , 本 题 属 于 几 何 概 型 , 满 足 两 个 条 件 : ①每 次 试 验 的 结 果 有 无 限 多 个 , 且 全 体 结 果 可 用 ②每 次 试 验 的 各 种 结 果 是 等 可 能

一 个 有 度 量 的 几 何 区 域 表 示 ; 的 . 2 ( ) 对 于 两 个 区 域 如 果 点

A、B,且 A?B, 当 区 域

B为 平 面 图 形 时 ,

P在 整 个 平 面 图 形 上 或 线 段 长 度 上 分 布 不 是 等 可 能 的 , 注

意 观 察 角 度 是 否 等 可 能 , 若 与 角 度 有 关 , 则 可 以 选 择 角 度 作 为 区 域 的 测 度 . 当 考 查 对 象 为 线 时 , 一 般 用 角 度 比 计 算 .

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思考题 4 1 ( ) 在 直 角 坐 标 系 内 , 射 线 任 作 一 条 射 线 OA, 求 射 线 OA 落在∠x O T

OT 落在 60° 的 终 边 上 , 内 的 概 率 .

【 解 析 】

以O为 起 点 作 射 线

OA 是 随 机 的 , 因 而 射 线 OA 是 否 落 在 ∠x O T

OA 内 只 与 ∠

落 在 任 何 位 置 都 是 等 可 能 的 . 射 线 x O T 的 大 小 有 关 , 符 合 几 何 概 型 的 条 件 . 于 是 , 记

B={射 线 OA 落 在 ∠x O T

内},

60° 1 ∵ ∠x O T =6 0 ° ,∴P(B)= = . 3 6 0 ° 6 1 【答案】 6
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2 ( ) 如图,M 是 半 径 为 可 能 地 任 取 一 点 是_ _ _ _ _
【 解 析 】

R的 圆 周 上 的 一 个 定 点 , 在 圆 周 上 等 MN, 则 弦 MN 的 长 度 超 过 2R 的概率

N, 连 接 .

当 弦 MN 的 长 度 恰 为 N落 在 半 圆 弧

2R 时 , N M N ′

π ∠M O N = , 如 图 . 当 点 2 上 时 , 弦 1 为 P= . 2 MN 的 长 度 不 超 过

2R, 故 所 求 概 率

1 【答案】 2
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例5 2 ( 0 1 2 ·

福建) 1的 正 方 形 ( 1 B. 5 1 D. 7 ) O A B C 中 , 任 取 一 点 , 则 点

如 图 所 示 , 在 边 长 为 P恰 好 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为 1 A. 4 1 C. 6

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【解析】
?1 ? ? ?

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题图中阴影部分面积为

(

0

?2 1 2? 1 2 1 1 x - x ?| 0= - = . x-x)dx=?3· 2 ? 3 2 6 ?

而正方形 OABC 的面积为 1, 1 6 1 ∴所求概率为1=6.故选 C.

【答案】 C

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探究 5 1 ( ) 以面积为测试的几何概型问题是几何概型的主 要 问 题 , 而 积 分 的 重 要 作 用 正 是 计 算 曲 边 梯 形 的 面 积 , 预 计 对 此 类 问 题 的 考 查 会 加 大 强 度 . 2 ( ) 本题考查了几何概型及定积分的计算,同时也考查了数 形 结 合 思 想 .

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思考题 5 2 ( 0 1 0 · 个点 M(x,y), 则 点

陕西)从 如 图 所 示 的 长 方 形 区 域 内 任 取 一 M取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为 _ _ _ _ _ .

【解析】 由图示可得点 M 取自阴影部分 x3| 1 1 0 的概率为 P= = = . 1×3 1×3 3
?1 ? ? ?0

3x2dx

1 【答案】 3

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1.几 何 概 型 也 是 一 种 概 率 模 型 , 它 与 古 典 概 型 的 区 别 是 试 验 的 可 能 结 果 不 是 有 限 个 . 它 的 特 点 是 试 验 结 果 在 一 个 区 域 内 的 分 布 , 所 以 随 机 事 件 的 概 率 大 小 与 随 机 事 件 所 在 区 域 的 形 状 位 置 无 关 , 只 与 该 区 域 的 大 小 有 关 . 2. 几 何 概 型 的 必 须 熟 练 掌 握 . “约 会 问 题 ”已 经 是 程 序 化 的 方 式 与 技 巧 ,

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1.如 图 所 示 , 墙 上 挂 有 边 长 为 的 空 白 部 分 都 是 以 正 方 形 的 顶 点 为 圆 心 , 半 径 为 向 此 板 投 镖 , 假 设 每 次 都 能 击 中 木 板 , 且 击 中 木 板 上 每 个 点 的 可 能 性 都 一 样 , 则 它 击 中 阴 影 部 分 的 概 率 是 π A. 4 π C.1- 8 答案 B π B.1- 4

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a的 正 方 形 木 板 , 它 的 四 个 角 a 的 圆 弧 . 某 人 2

(

)

D. 与 a的 取 值 有 关
2

a2 S阴影 a -π?2? π 解析 P= = =1- . 2 a 4 S正方形
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2. 在 棱 长 为 点 P,则 VP-C B A D
1 答案 2
解 析 平 面 A B C D VP-C B A D

1的 正 方 体A B C D 1 > 的概率为_ _ _ _ _ _ 6

-A1B1C1D1 的 内 部 随 机 取 一 .

1 1 = ? S △C A D 6 3 B

1 · h> (h 为 P 到 6

的 高 ).SC B A D

1 =1,∴h> .故 满 足 条 2

件 的 点 构 成 的 几 何 体 为 如 图 中 截 面 下 方 部 分 . 故 所 求 概 率 为 1 . 2
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3. 在 半 径 为 是_ _ _ _ _ . 1 答案 2

1的 圆 内 的 一 条 直 线 上 任 取 一 点 , 过 这 个 点 作

垂 直 于 该 直 径 的 弦 , 则 弦 长 超 过 圆 内 接 的 等 边 三 角 形 边 长 的 概 率

解 析 形 的 边 长 点B的 直 径

记 事 件

A 为“弦 长 超 过 圆 内 接 等 边 三 角 B C D 的 顶

”. 如 图 , 不 妨 在 过 等 边 三 角 形

BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦,

当弦为 CD 时,就是等边三角形的边长,弦长大于 1 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 , 由几何 2 1 ×2 2 1 概型公式,得 P(A)= = . 2 2
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4. 在 区 间

1 0 [ ] ,

上 任 意 取 两 个 实 数

a,b, 则 函 数 _ _ _ _ _

1 3 f(x)= x + 2 .

ax-b 的区间(-1 ) ,
7 答案 8

上 有 且 仅 有 一 个 零 点 的 概 率 为

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解 析

3 2 f′(x)= x +a,故 f(x)在(-1 ) , 2

上 单 调 递 增 . 又 因 为 f(-

1 3 函 数 f(x)= x +ax-b 在(-1 ) , 2 1 · ) f1 < ( ) 0 成 立 , 即

上 有 且 仅 有 一 个 零 点 , 即 有

1 1 1 1 (- -a-b)( +a-b< ) 0 ,则( +a+b)( +a- 2 2 2 2

b> ) 0 , 可 化 为

?0≤a≤1, ? ?0≤b≤1, ?1 ? +a-b>0, ?2 ?1 0 . ?2+a+b> ?
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由 线 性 规 划 知 识 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 式 组 所 表 示 的 可 行 域 , 如 图 , 再 由 几 何 概 型 可 以 知 道 , 函 数 1 3 = x +ax-b 在(-1 ) , 2 面 积 除 以 正 方

a O b

中 画 出 这 个 不 等 f(x)

上有且仅有一个零点的概率为可行域的 7 . 8

形 的 面 积 , 计 算 可 得 面 积 之 比 为

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