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2018年秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1第2课时正弦定理(2)课件新人教_图文

2018年秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1第2课时正弦定理(2)课件新人教_图文

第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时 正弦定理(2) 学习目标:1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式,解决三角形中的 问题(重点).2.能根据条件,判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒 等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点) [自 主 预 习· 探 新 知] 1.正弦定理及其变形 (1)定理内容: a b c = = =2R(R 为外接圆半径) sin A sin B sin C ____________________________________. (2)正弦定理的常见变形: ①sin A∶sin B∶sin C=; a∶b∶c ; a+b+c a b c ②sin A=sin B=sin C= =; 2R . sin A+sin B+sin C ③a= 2Rsin A,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C; a c b 2R ,sin B=_____ 2R . 2R ,sin C=_____ ④sin A=_____ 思考:在△ABC中,已知acos B=bcos A.你能把其中的边a,b化为用 角表示吗(打算怎么用上述条件)? 提示:可借助正弦定理把边化成角:2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A,移项 后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B-cos Asin B=0. 2.对三角形解的个数的判断 已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时有唯一解,三 角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能 出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定,现以已知a,b和A 解三角形为例说明 图形 关系式 解的个数 ①a=bsin A; ②a≥b 一解 _____ A为 锐角 bsin A<a<b 两解 _____ a<bsin A __________ 无解 思考:在△ABC中,a=9,b=10,A=60° ,判断三角形解的个数. b 10 3 5 3 [提示] sin B= sin A= × = , a 9 2 9 3 5 3 5 3 而 < <1,所以当B为锐角时,满足sin B= 的角有60° <B<90° , 2 9 9 故对应的钝角B有90° <B<120° , 也满足A+B<180° ,故三角形有两解. 3.三角形的面积公式 任意三角形的面积公式为: 1 1 1 absin C ,即任意三角形的面积等于任 acsin B =________ (1)S△ABC=2bcsin A=________ 2 2 意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半. 1 (2)S△ABC= ah,其中a为△ABC的一边长,而h为该边上的高的长. 2 1 1 (3)S△ABC= 2 r(a+b+c)= 2 rl,其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及 △ABC的周长. [基础自测] 1.思考辨析 (1)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立.( ) ) ) (2)在△ABC中,若∠A=30° ,a=2,b=2 3,则B=60° .( (3)在△ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解.( [答案] (1)√ (2)× (3)× a b 2 2 3 提示:(2)由正弦定理可知 = ,即 = ,所以sin B= sin A sin B sin 30° sin B 3 或120° ,又因为b>a,所以B>A,故B=60° 或120° . 2 ,则B=60° (3)当bsin A<a<b时,△ABC有两解. 2.在△ABC中,sin A=sin C,则△ABC是( ) 【导学号:91432015】 A.直角三角形 C.锐角三角形 B.等腰三角形 D.钝角三角形 a c B [由正弦定理可得sin A=sin C? = ,即a=c,所以△ABC为等 2R 2R 腰三角形.] sin A 3.在△ABC中,下列式子与 的值相等的是( a b A. c sin C C. c sin B B. sin A c D. sin C ) sin A sin B sin C C [由正弦定理可得 = = ,故选C.] a b c 4.在△ABC中,A=30° ,a=3,b=2,则这个三角形有( ) 【导学号:91432016】 A.一解 C.无解 B.两解 D.无法确定 A [由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解.] [合 作 探 究· 攻 重 难] 三角形解的个数的判断 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否 有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80° ; (2)a=2 3,b=6,A=30° . 【导学号:91432017】 [解] (1)a=10,b=20,a<b,A=80° <90° , 讨论如下: ∵bsin A=20sin 80° >20sin 60° =10 3, ∴a<bsin A,∴本题无解. (2)a=2 3,b=6,a<b,A=30° <90° , ∵bsin A=6sin 30° =3,a>bsin A, ∴bsin A<a<b,∴三角形有两解. 由正弦定理得 bsin A 6sin 30° 3 sin B= = = , a 2 2 3 又∵B∈(0° ,180° ),∴B1=60° ,B2=120° . asin C1 2 3sin 90° 当B1=60° 时,C1=90° ,c1= = =4 3; sin A sin 30° asin C2 2 3sin 30° 当B2=120° 时,C2=30° ,c2= = =2 3. sin A sin 30° ∴B1=60° 时,C1=90° ,c1=4 3;B2=120° 时,C2=30° ,c2=2 3. [规律方法] 已知两边和其中一边的对角解三角形时,首先求出另一边 的对角的正弦值,根据该正

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