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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第2章 第1节 函数及其表示

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第2章 第1节 函数及其表示


第二章

第一节

一、选择题 f?2x? 1.(文)若函数 f(x)的定义域是[0,4],则函数 g(x)= 的定义域是( x A.[0,2] C.(0,2] [答案] C
?0≤2x≤4, ? [解析] ∵? ∴0<x≤2,故选 C. ?x≠0. ?

)

B.(0,2) D.[0,2)

1 (理)(2013· 湖北荆门期末)函数 f(x)= ln( x2-3x+2+ -x2-3x+4)的定义域为( x A.(-∞,-4]∪(2,+∞) B.(-4,0)∪(0,1) C.[-4,0)∪(0,1] D.[-4,0)∪(0,1) [答案] D [解析] 要使函数 f(x)有意义, ≠0, ?x 必须且只需?x -3x+2≥0, ? x -3x+2+ -x -3x+4>0,
2 2 2

)

解得-4≤x<0 或 0<x<1.故选 D. x +1,x≤1, ? ? 2.(文)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=( ? ?x,x>1. 1 A. 5 2 C. 3 [答案] D 2 [解析] 由条件知 f(3)= , 3 2 2 13 f(f(3))=f( )=( )2+1= . 3 3 9
? ?2x+1,x≤0, (理)已知函数 f(x)=? 则 f(2016)等于( ?f?x-3?,x>0, ?
2

)

B.3 13 D. 9

)

-1-

A.-1 C.-3 [答案] B

B.1 D.3

[解析] f(2016)=f(2013)=f(2010)=??=f(0)=2×0+1=1.
?x2-4x+6,x≥0, ? 3.(2013· 银川模拟)设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ? ?x+6,x<0,

)

A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) [答案] A [解析] 由题意知 f(1)=3,故原不等式可化为
?x≥0, ?x<0, ? ? ? 2 或? 解之得-3<x<1 或 x>3, ?x -4x+6>3, ? ? ?x+6>3,

∴原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞),故选 A. 4.(文)(2014· 长春市调研)下列函数中,在(0,+∞)上单调递减,并且是偶函数的是( A.y=x2 C.y=-lg|x| [答案] C [解析] 四个函数中,是偶函数的有 A,C,又 y=x2 在(0,+∞)内单调递增,故选 C. (理)(2014· 吉林市质检)下列函数中,在定义域内既是奇函数又为增函数的是( 1 A.y=( )x 2 C.y=x3 [答案] C [解析] A、D 中的函数为非奇非偶函数,B 中函数在定义域内既有增区间又有减区间,y =x 在定义域(-∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数,故选 C. 2 5.(文)函数 f(x)= x 的值域是( 2 -2 A.(-∞,-1) C.(-1,+∞) [答案] D [解析] 1 - =2x 1-1>-1,结合反比例函数的图象可知 f(x)∈(-∞,-1)∪(0,+∞). f?x? ) B.(-1,0)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
3

)

B.y=-x3 D.y=2x

)

B.y=sinx D.y=log1 x 2

-2-

1 1 (理)若函数 y=f(x)的值域是[ ,3],则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( 2 f?x? 1 A.[ ,3] 2 5 10 C .[ , ] 2 3 [答案] B 10 B.[2, ] 3 10 D.[3, ] 3

)

1 1 1 [解析] 令 t=f(x),则 ≤t≤3,由函数 g(t)=t+ 在区间[ ,1]上是减函数,在[1,3]上是增 2 t 2 1 5 10 10 函数,且 g( )= ,g(1)=2,g(3)= ,可得值域为[2, ],选 B. 2 2 3 3 b 6.已知 a、b 为实数,集合 M={ ,1},N={a,0},f 是 M 到 N 的映射,f(x)=x,则 a+ a b 的值为( A.-1 C .1 [答案] C b b [解析] ∵f(x)=x,∴f(1)=1=a,若 f( )=1,则有 =1,与集合元素的互异性矛盾, a a b ∴f( )=0,∴b=0,∴a+b=1. a 二、填空题 7.(文)函数 y= [答案] (-3,2) [解析] 由 6-x-x2>0,得 x2+x-6<0, 即{x|-3<x<2}. ?x+1?2 (理)(2013· 福州模拟)函数 f(x)= - 1-x的定义域为________. x+1 [答案] (-∞,-1)∪(-1,1] ?x+1?2 [解析] ∵要使函数 f(x)= - 1-x有意义, x+1
?1-x≥0, ?x≤1, ? ? ∴? ∴? ? ? ?x+1≠0, ?x≠-1,

) B.0 D.± 1

1 的定义域是________. 6-x-x2

∴函数 f(x)的定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}. [失误与防范] 本题若将函数 f(x)的解析式化简为 f(x)=(x+1)- 1-x后求定义域,会误 认为其定义域为(-∞,1].事实上,上述化简过程扩大了自变量 x 的取值范围. 防范错误的有效方法是每一步变形时观察一下是否为等价变换,否则应附加限制条件保

-3-

持等价. 1-x2 1 1 1 8.(文)如果函数 f(x)= )的值为 2,那么 f(1)+f(2)+?f(2016)+f( )+f( )+?+f( 2 3 2016 1+x ________. [答案] 0 12 2 1- ? ? x 1-x2 x2-1 1 1-x [解析] 由于 f(x)+f( )= = + =0,f(1)=0,故该式值为 0. 2+ x 1+x 1 1+x2 x2+1 1+? ?2 x (理)规定记号“⊕”表示一种运算,且 a⊕b= ab+a+b+1,其中 a、b 是正实数,已知 1⊕k=4,则函数 f(x)=k⊕x 的值域是________. [答案] (2,+∞) [解析] 1⊕k= k+k+2=4,解之得 k=1, ∴f(x)= x+x+2,由于“⊕”的运算对象是正实数,故 x>0,∴f(x)>2.
2 ? ?1+x , 9.已知 f(x-2)=? -x ?2 , ?

x>2, x≤2,

则 f(1)=________.

[答案] 10 [解析] f(1)=f(3-2)=1+32=10. 三、解答题 1 10.(文)函数 f(x)=x2+x- . 4 (1)若定义域为[0,3],求 f(x)的值域; 1 1 (2)若 f(x)的值域为[- , ],且定义域为[a,b],求 b-a 的最大值. 2 16 1 1 [解析] ∵f(x)=(x+ )2- , 2 2 1 ∴对称轴为 x=- . 2 1 (1)∵3≥x≥0>- , 2 ∴f(x)的值域为[f(0),f(3)], 1 47 即[- , ]. 4 4 1 1 (2)∵x=- 时,f(x)=- 是 f(x)的最小值, 2 2 1 1 1 ∴x=- ∈[a,b],令 x2+x- = , 2 4 16 5 1 得 x1=- ,x2= , 4 4

-4-

5 1 1 5 3 根据 f(x)的图象知当 a=- ,b= 时,b-a 取最大值 -(- )= . 4 4 4 4 2

(理)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x2-2)的值域. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 又 f(0)=0,∴c=0,即 f(x)=ax2+bx. 又 f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,
? ?2a+b=b+1, ∴? 解得 ?a+b=1, ?

?a=2, ? 1 ?b=2.

1

1 1 ∴f(x)= x2+ x. 2 2

1 1 (2)由(1)知 y=f(x2-2)= (x2-2)2+ (x2-2) 2 2 1 1 3 1 = (x4-3x2+2)= (x2- )2- , 2 2 2 8 3 1 当 x2= 时,y 取最小值- . 2 8 1 ∴函数 y=f(x2-2)的值域为[- ,+∞). 8

一、选择题
?sin?πx2? ? 11.(文)函数 f(x)=? x-1 ?e ?

?-1<x<0?, ?x≥0?.

若 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能值为( 2 2

)

A.1 C.- 2 2

B.1,- D.1, 2 2

[答案] B [解析] f(1)=1, 当 a≥0 时,f(a)=ea 1,∴1+ea 1=2,
- -

-5-

∴a=1, 当-1<a<0 时,f(a)=sin(πa2), ∴1+sin(πa2)=2, π ∴πa2= +2kπ(k∈Z), 2 ∵-1<a<0,∴a=- 2 ,故选 B. 2

? ??3-a?x-4a ?x<1?, (理)已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上的增函数,那么 a 的取值范围是 ?logax ?x≥1? ?

(

) A.(1,+∞) 3 C.[ ,3) 5 [答案] D [解析] 解法 1:由 f(x)在 R 上是增函数, ∴f(x)在[1,+∞)上单增,由对数函数单调性知 a>1,① 又由 f(x)在(-∞,1)上单增,∴3-a>0,∴a<3,② 又由于 f(x)在 R 上是增函数,为了满足单调区间的定义,f(x)在(-∞,1]上的最大值 3- B.(-∞,3) D.(1,3)

5a 要小于等于 f(x)在[1,+∞)上的最小值 0,才能保证单调区间的要求, 3 ∴3-5a≤0,即 a≥ ,③ 5 由①②③可得 1<a<3. 3 解法 2:令 a 分别等于 、0、1,即可排除 A、B、C,故选 D. 5 [点评] f(x)在 R 上是增函数,a 的取值不仅要保证 f(x)在(-∞,1)上和[1,+∞)上都是 增函数,还要保证 x1<1,x2≥1 时,有 f(x1)<f(x2). ln2 ln3 ln5 12.(2014· 乌鲁木齐地区诊断)若 a= ,b= ,c= ,则( 2 3 5 A.a<b<c C.c<b<a [答案] B ln2 ln3 3ln2-2ln3 ln8-ln9 [解析] 解法 1: - = = <0, 2 3 6 6 ∴a<b ln5 ln2 2ln5-5ln2 ln25-ln32 - = = <0,∴c<a, 5 2 10 10 ∴c<a<b. B.c<a<b D.b<a<c )

-6-

1-lnx lnx 解法 2:设 f(x)= (x>1),则 f ′(x)= 2 ,当 x>e 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,∴ x x f(3)>f(4)>f(5), ∴ ln3 ln4 ln5 ln3 ln2 ln5 > > ,∴ > > ,∴b>a>c. 3 4 5 3 2 5 )

13.(2014· 辽宁省协作校联考)下图可能是下列哪个函数的图象(

A.y=2x-x2-1 C.y=(x2-2x)ex [答案] C

2xsinx B.y= x 4 +1 x D.y= lnx

[解析] 由图象可知,x<0 时,函数值恒大于 0,排除 A、B、D,故选 C. 14.(2014· 吉林省九校联合体摸底)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x -1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的 x,y∈R,f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0 恒成立,则当 x>3 时,x2+y2 的取值范围是( A.(3,7) C.(13,49) [答案] C [解析] ∵y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数 y =f(x)是奇函数,又∵y=f(x)是增函数, ∴不等式 f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0?f(x2-6x+21)<f(8y-y2)?x2-6x+21-8y+y2<0? (x-3)2+(y-4)2<4. 即点(x,y)是以(3,4)为圆心,以 2 为半径的圆内的点,如图 ) B.(9,25) D.(9,49)

当 x>3 时,点(x,y)是右半圆内部分,x2+y2 表示平面区域内的点到原点距离的平方,∵ A(3,2),C(3,4), ∴|OA|2=13,|OC|2=25,∴|OB|=7,∴13<x2+y2<49.

-7-

二、填空题 2 -1,x≤0, ? ?1 15.(文)函数 f(x)=? 若 f(x0)=1,则 x0 的值为________. ?x2,x>0, ? [答案] -1 或 1 [解析] 当 x0≤0 时,f(x0)=2-x0-1,∵f(x0)=1, ∴2-x0-1=1,∴2-x0=2,∴x0=-1;当 x0>0 时,f(x0)= ∴x0=1. 综上可得 x0 的值为-1 或 1. (理)(2013· 四川省内江市第一次模拟)设函数 f(x)=|x|x+bx+c, 则下列命题中正确命题的序 号有________. ①函数 f(x)在 R 上有最小值; ②当 b>0 时,函数在 R 上是单调增函数; ③函数 f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④当 b<0 时,方程 f(x)=0 有三个不同实数根的充要重要条件是 b2>4|c|; ⑤方程 f(x)=0 可能有四个不同实数根. [答案] ②③④ [解析]
2 ? ?x +bx+c ?x≥0? f(x)=? 2 ?-x +bx+c ?x<0? ?
-x

,∵f(x0)=1,∴

=1,

取 b=0 知,①⑤错; 容易判断②,③正确;b<0 时,方程 f(x)=0 有三个不同实数根, b2 b2 等价于 c- <0 且 c+ >0,∴b2>4c 且 b2>-4c,∴b2>4|c|,故填②、③、④. 4 4 三、解答题 16.(文)某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:元)与日产量 x(单位:t)满足函数关系 式 C = 10 000 + 20x , 每 日 的 销 售 额 R( 单 位 : 元 ) 与 日 产 量 x 的 函 数 关 系 式 为 R = 1 ? ?-30x3+ax2+290x,0<x<120, ? ? ?20 400,x≥120. 已知每日的利润 y=R-C,且当 x=30 时,y=-100. (1)求 a 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值. [解析] (1)∵当 x=30 时,y=-100, 1 ∴-100=- ×303+a×302+270×30-10 000, 30 ∴a=3.

-8-

1 (2)当 0<x<120 时,y=- x3+3x2+270x-10 000. 30 1 令 y′=- x2+6x+270=0, 10 可得:x1=90,x2=-30(舍去), 所以当 x∈(0,90)时,原函数是增函数,当 x∈(90,120)时,原函数是减函数. ∴当 x=90 时,y 取得极大值 14 300. 当 x≥120 时,y=10 400-20x≤8 000. 所以当日产量为 90t 时,每日的利润可以达到最大值 14 300 元. (理)某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系如图所示:

该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如表所示: 第t天 Q(件) 5 35 15 25 20 20 30 10

(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(t,Q)的对应点,并确定日销售 量 Q 与时间 t 的一个函数关系式; (3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天? (日销售金额=每件的销售价格×日销售量)
?t+20 ? [解析] (1)P=? ? ?-t+100

?0<t<25,t∈N*?, ?25≤t≤30,t∈N*?.

(2)图略,Q=40-t(t∈N*). (3)设日销售金额为 y(元),
2 ? ?-t +20t+800 则 y=? 2 ?t -140t+4000 ?

?0<t<25,t∈N*?, ?25≤t≤30,t∈N*?.

-9-

2 ? ?-?t-10? +900 即 y=? 2 ??t-70? -900 ?

?0<t<25,t∈N*?, ?25≤t≤30,t∈N*?.

若 0<t<25(t∈N*),则当 t=10 时,ymax=900; 若 25≤t≤30(t∈N*),则当 t=25 时,ymax=1125. 由 1125>900,知 ymax=1125, ∴这种商品日销售金额的最大值为 1125 元,30 天中的第 25 天的日销售金额最大. 17.(文)(2014· 湖北武汉联考)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈ D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论. [解析] (1)令 x1=x2=1,则 f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明:令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1), 又∵f(1)=0,∴2f(-1)=0,∴f(-1)=0. 令 x1=x,x2=-1,则 f(-x)=f(x)+f(-1), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)在定义域 D 上为偶函数. (理)(2014· 河北石家庄质检)已知 f(x)是定义在[-1, 1]上的奇函数, 且 f(1)=1, 若 a, b∈[- f?a?+f?b? 1,1],a+b≠0 时,有 >0 成立. a+b (1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明; 1 1 (2)解不等式 f(x+ )<f( ); 2 x-1 (3)若 f(x)≤m2-2am+1 对所有的 a∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)任取 x1,x2∈[-1,1]且 x1<x2, 则-x2∈[-1,1],∵f(x)为奇函数, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) = f?x1?+f?-x2? · (x1-x2), x1+?-x2?

f?x1?+f?-x2? 由已知得 >0,x1-x2<0, x1+?-x2? ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,

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? ? 1 ∴?-1≤x+2≤1, 1 ? ≤1, ?-1≤x- 1
∴在[-1,1]上,f(x)≤1.

1 1 x+ < , 2 x-1

3 解得- ≤x<-1. 2

(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增,

问题转化为 m2-2am+1≥1, 即 m2-2am≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. 下面来求 m 的取值范围. 设 g(a)=-2m· a+m2≥0. ①若 m=0,则 g(a)=0≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. ②若 m≠0,则 g(a)为 a 的一次函数,若 g(a)≥0,对 a∈[-1,1]恒成立,必须 g(-1)≥0, 且 g(1)≥0, ∴m≤-2 或 m≥2. ∴m 的取值范围是 m=0 或 m≥2 或 m≤-2.

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