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高一第一学期周练-函数的应用题与最值(第十三周)-001

高一第一学期周练-函数的应用题与最值(第十三周)-001

函数的最值与应用题

一、填空题(每题 5 分,共 50 分) 1、求函数 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 ( x ∈[ 0 ,3 ])的最大值_____. 年级 高一 知识点 二次函数定义域下的最值 学习水平 ★ 关键词 配方法

解析:9 ∵ y ? 2( x ? 1) ? 1 ,∴当 x = 3 时, y max
2

?9

点评:配方,画图,注意定义域的范围

2、用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 _______ m 年级 高一 知识点 二次函数条件最值
2

2

学习水平 ★

关键词 配方法

l 解析: . 16
建立目标函数:设长方形边长为 a, b

l? l2 l2 ? l ? 2a ? ? 则2a ? 2b ? l , S ? ab ? ? ? ?a ? ?? a ? ? ? 4 ? 16 16 ? 2 ? ?
点评:建立出目标函数是关键 3、函数 y=x +x +1 的最小值是_____. 年级 知识点 高一 二次函数的最值,单调性 解析:y= ( x ? ) ?
2 2
4 2

2

学习水平 ★★

关键词 配方法

1 2

3 2 2 ,∵x ≥0,∴x =0 时,ymin=1. 4

点评:注意

3 取不到 4

4、设 x>0,y>0 且 3x+2y=12.则 xy 的最大值是_____. 年级 知识点 学习水平 高一 基本不等式求最值 ★★ 解析:∵x>0,y>0 ∴3x·2y≤(

关键词 基本不等式

3x ? 2 y 2 2 ) =6 ? xy≤6 (当且仅当 3x=2y 时等号成立) . 2

5、函数 f(x)= 年级 高一

1 的最大值是___________ 1 ? x(1 ? x)
学习水平 ★★ 关键词 配方法

知识点 二次函数的最值,不等式的性质
2

解析∵1-x(1-x)=1-x+x =(x-

1 2 3 3 )+ ≥ 2 4 4

∴f(x)=

1 4 4 ? , f ( x) max ? 1 ? x(1 ? x) 3 3

6、函数 y ? 年级 高一 解析:4

2 1 在区间 [ ,2] 上的最大值是______ x ?1 2
学习水平 ★★ 关键词 幂函数的单调性

知识点 幂函数的性质,函数单调性

y?

1 2 ?1? 4 在区间 [ ,2] 上的单调递减,所以最大值 f ? ? ? x ?1 2 ?2? 3

点评:根据函数单调性求最值 7、函数 y=|x-1|+|x-3|的最小值是_____. 年级 知识点 高一 绝对值函数 解析:2 在数轴上,设 1、3、x 对应的点分别是 A、B、P. ∴y=|x-1|+|x-3|=|PA|+|PB|≥|AB|=2. 点评:也可分类讨论求解

学习水平 ★★★

关键词 最值

8、函数 y=x + 年级 高一

2

x 2 ? 1 的最小值为___________
学习水平 ★★ 关键词 换元

知识点 单调性求最值

解析:∵f(t)=t+

t ? 1 在[1,+∞)上是增函数,又 x2≥1,∴x2=1 时,ymin=1.

点评:换元,然后转化为单调函数

9、当 x ? 0 时,求 y ? 年级 高一

3x 的最大值为___________ x ?4
2

知识点 基本不等式最值

学习水平 ★★★

关键词 耐克函数

解析:? x ? 0 ,? y ?

4 3x 3 3 ? ? (当且仅当 x ? ,即 x ? 2 时取“=”号). x x ?4 x? 4 4 x 3 ?当 x ? 2 时, ymax ? . 4
2

点评:转化为耐克函数

10、k ? ? 0, ? ,方程 | 1 ? x | ? kx 的解的个数是 年级 高一 知识点 幂函数的图像 学习水平 ★★★

? ?

1? 2?

. 关键词 数形结合

解析:二个 转化为求两个函数 y1 ? | 1 ? x | , y 2 ? kx 图像交点的个数 点评:画出 y ? | 1 ? x | 的图像是关键 11、:求函数 f ( x) ? x ? 年级 高一

1 1 (0 ? x ? ] 的最值____________ x 2
学习水平 ★★★★ 关键词 基本不等式

知识点 耐克函数的性质,函数单调性

解析: f ( x) min ? 函数 f ( x) ? x ?

5 2

1 (0 ? x ? 1) 是单调减函数. x 1 5 1 ? f ( x) ? f ( ) ? ,即 x ? 时,,而 f ( x) 无最大值。 2 2 2
点评:利用单调性定义可以证明 12、函数 f(x)=kx+k(k≠0) x∈[-1,1]的最大值是_____. , 年级 高一 知识点 一次函数图象的性质 学习水平 ★★★★ 关键词 分类讨论

解析:k>0 时,ymax=2k;k<0 时 ymax=0. k>0 时,一次函数 f(x)单调递增,ymax=f(1)=k+k=2k;k<0 时, f(x)单调递减, ymax=f(-1)=-k+k=0. 点评:分类讨论是关键 13、求函数 y = 年级 高一

x2 ? x ?1 的最值_____. x 2 ? 2x ? 2
学习水平 ★★★★★ 关键词 判别式法

知识点 分式函数最值
3 2 1 , y min = 2 .

解析: y max =

∵分母 ( x ? 1) ? 1 ≠ 0 ,∴定义域为 R .原式化为 ( y ? 1) x ? (2 y ? 1) x ? (2 y ? 1) = 0 .当
2 2

y ≠ 1 时,此二次方程有实根.∴△= (2 y ? 1) 2 ? 4( y ? 1)(2 y ? 1) = (2 y ? 1)(?2 y ? 3 ) ≥
0,即 2 ≤ y ≤ 2 ;当 y = 1 时, x = 1 ,即 x = 1 时, y = 1 ∈[ 2 , 2 ].∴
1 3 1 3

点评:转化为关于 x 的一元(一次)二次方程(含参数 y )有解 14、将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积 之和最小,正方形的周长应为_____. 年级 知识点 学习水平 关键词 高一 一元二次函数最值 ★★★★★ 解析:

4 ? ?4 1? x 2?

设正方形周长为 x,则圆的周长为 1-x,半径 r=

x 2 x2 (1 ? x ) 2 (? ? 4) x 2 ? 8 x ? 4 ∴ S正 ? ( ) ? S 圆=π · ∴S 正+S 圆= (0<x<1) 4 16 4? 2 16?
∴当 x=

4 时有最小值. ? ?4

二、选择题(每题 5 分,共 15 分) 1、客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以 80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后 到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是( )

年级 高一

知识点 信息阅读理解

学习水平 ★

关键词 总量

解析:C 点评:本题虽小,但一定要细致观察图象,注意细微之处,获得解题灵感。

2、函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 (
x



(A)(-2,-1) (B) (-1,0) 年级 知识点 高一 零点

(C) (0,1)

(D) (1,2) 学习水平 ★★

关键词 二分法

解析:C 因为 f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选 C 点评:本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 3、奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且最小值是 1,则 f(x)在[-b,-a]上是( ) A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1 C.减函数且最小值是-1 D.减函数且最大值是-1 年级 知识点 学习水平 关键词 高一 奇偶性,单调性,最值 ★★★ 数形结合 解析:B f(a)=1,∴f(-a)=-1. 点评:根据奇偶性,单调性画图 4、幸福村村办工厂今年前五个月生产某种产品的总量 c(件)关于时间 t(月)的函数图象 如图 3 所示,则该厂对这种产品来说( ) 年级 知识点 学习水平 关键词 高一 信息阅读理解 ★★★★ 总量

(A)1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4、5 两月每月生产总量逐月减少; (B)1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4、5 两月每月生产总量与 3 月持平; (C)1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4、5 两月均停止生产; (D)1 月至 3 月每月生产总量不变,4、5 两月均停止生产. 解析: 由于前三个月对应的函数图象为上升趋势的正比例函数图象,表明 c 与 t 成正比例关系. 设 c=kt (k>0),t=1(月)时,c=k(件);t=2(月)时,c=2k(件);t=3(月)时,c=3k(件).可见 每月都增加了 k 件,因此前三个月每月的生产总量都是 k 件,没有变化.而 3 月以后的 4、5 两 月对应的图象是平行于横轴的线段,c 值未变,表明到 4、5 月的累计总量维持前三个月的总量 不变,可见 4、5 两月没有增加新的件数,由此判断 4、5 两月均停止生产.故选(D). 点评:审题时应认真理解题意,比如,“前五个月生产某种产品的总量 c(件) ”,说明 c 是指逐 月累计的产品总量,而非每个月的产量.

三、解答题(14 题 15 分,15 题 20 分) 1、某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 m (件)与每 件的销售价 x (元)满足一次函数 m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 . (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为 多少? 年级 知识点 学习水平 关键词 高一 不等式、函数条件最值 ★★ 基本不等式 解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元, 那么 m 件的销售利润为 y ? m( x ? 30) ,又 m ? 162 ? 3x .

? y ? ( x ? 30)(162 ? 3x) ? ?3x 2 ? 252 x ? 4860,30 ? x ? 54
(2) 由(1)知对称轴为 x ? 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下

?当 x ? 42 时, ymax ? ?3 ? 422 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432 ?当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.
2、 已知函数 y=-3x2+2ax-1, x∈[0, 1], f(a)为其最小值, f(a)的表达式, 记 求 并求 f(a) 的最大值. 年级 知识点 学习水平 关键词 高一 不等式、函数条件最值 ★★★ 基本不等式 解析:结合函数 y=-3x2+2ax-1,x∈[0,1]的图象,可得, 当 当
a 1 3 ? ,即 a ? 时,f(a)=2a-4, 3 2 2 a 1 3 ? ,即 a ? 时,f(a)=-1, 3 2 2

3 ? ?2a ? 4, a ? 2 , ? 所以, f ( a ) ? ? ?? 1, a ? 3 , ? 2 ?

因为当 a ?

3 3 3 时, f (a) ? f ( ) ,即 f(a)<-1,当 a ? 时,f(a)=-1,所以 f(a)的最大 2 2 2

值为-1. 点评:注意分类讨论 3、对于函数 f (x) ,若存在 x 0 ? R,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则 x 0 称为 f (x) 的不动点.已知 = x ? (b ? 1) x ? b ? 1 ( a ? 0 ) .
2

(1)当a=-1,b=-2时,求函数 f (x) 的不动点;

(2)若对任意实数b,函数恒有两个相异的不动点,求a的取值范围. 年级 高一 知识点 函数不动点,一元二次不等式恒成立
2

学习水平 ★★★★
2

关键词 不动点,恒成立

解析: (1) f (x) = x ? x ? 3 ,因为 x 0 为不动点,因此有 f ( x0 ) ? x0 ? x0 ? 3 = x 0 所以 x 0 =-1或 x 0 =3,所以-1和3为 f (x) 的不动点. (2)因为 f (x) 恒有两个不同的不动点,所以 f (x) = ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x ,即 有两个实根, 所以 b 2 ? 4a(b ? 1) >0恒成立, 即对于任意b? ax2 ? bx ? b ? 1 ? 0(*) R,b 2 ? 4ab ? 4a >0恒成立,所以 (4a) 2 ? 4(4a) <0 ? a ? a <0,所以0<a<
2

点评:不动点是方程的解,而不是点的坐标;b 2 ? 4a(b ? 1) >0恒成立理解成即对于任意b

? R, b 2 ? 4ab ? 4a >0恒成立,

4、如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分) ,这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度 为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?

年级 高一

知识点 不等式、函数条件最值

学习水平 ★★★★★

关键词 基本不等式

解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b



≥18500+2 25 a ? 40b =18500+ 1000 ab ? 24500 . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b= a ,代入①式得 a=120,从而 b=75.

5 8

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, x>20,y>25

y ? 25 , 其中 2

y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20 18000 18000 广告的面积 S=xy=x( ? 25 )= ? 25 x, x ? 20 x ? 20 360000 整理得 S= ? 25( x ? 20) ? 18500 . x ? 20
两栏面积之和为 2(x-20) 因为 x-20>0,所以 S≥2

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 ? 24500 . x ? 20

当且仅当

360000 ? 25( x ? 20) 时等号成立, x ? 20 18000 +25,得 y=175, x ? 20

此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500,

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.


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