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定积分 习题课

定积分 习题课


定积分 习题课

一、主要内容
问题1:
曲边梯形的面积

问题2:
变速直线运动的路程

存在定理
的定 性积 质分

定积分

广义积分
定 计积 算分 法的

牛顿-莱布尼茨公式

?

b

a

f ( x )dx ? F ( b ) ? F ( a )

二、内容提要
1 定积分的定义 定义的实质 几何意义 物理意义 2 可积和 可积的两个充分条件 3 定积分的性质 b b b 线性性 ?a [ f ( x ) ? g ( x )]dx ? ?a f ( x )dx ? ?a g( x )dx 可加性 b f ( x )dx ? c f ( x )dx ? b f ( x )dx

?a

?a

?c

非负性 若 f ( x ) ? 0 ,则? f ( x )dx ? 0 a

b

(a ? b)

比较定理 b b 若 f ( x ) ? g( x ) , 则? f ( x )dx ? ? g( x )dx a a 估值定理
上的最大值及最小值,

(a ? b)

若M 和 m 是 f ( x ) 在区间[a, b]
b

m(b ? a ) ? ?a f ( x )dx ? M (b ? a ) .

积分中值定理
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续, 则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点 ? ,
使? f ( x )dx ? f (? )(b ? a )
a b

(a ? ? ? b)
积分中值公式

变上限定积分及其导数
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续,则积分上限的函数

? ( x ) ? ?a f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数,且它的导数 d x f ( t ) dt ? f ( x ) ( a ? x ? b ) 是 ? ?( x ) ? ? dx a
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续,则积分上限的函数

x

?( x ) ? ?a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个原函
数.

x

微积分基本公式
b

如果F ( x ) 是连续函数

f ( x ) 在区间[a , b] 上的一个原函数,则

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a )
(1)换元法

?

b

a

f ( x )dx ? [ F ( x )] .
b a

定积分的计算法 牛顿—莱布尼茨公式

?a f ( x )dx ? ??

b

?

f [? ( t )]? ?( t )dt

换元积分公式

(2)分部积分法

?

b

a

udv ? [uv ] ? ? vdu
b a a

b

分部积分公式

利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算

广义积分
(1)无穷限的广义积分

?a

??

f ( x )dx ? lim

f ( x )dx ? a b ? ??
b

b

f ( x ) dx ? ?? ? f ( x )dx ? alim ? ?? a
(2)无界函数的广义积分

b

f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?lim a ? ? ? ?0 b b ?? f ( x )dx ?a f ( x )dx ? ?lim ? a ? ?0

b

b

f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c f ( x )dx c ?? b ? lim ?a f ( x )dx ? lim ?c ? ? ? f ( x )dx
? ? ?0 ? ?? ?0

?a

b

c

b

三、典型例题
例1 求 ?
? 2 0

sin x dx . sin x ? cos x
? 2 0

sin x cos x 解 由I ? 2 ? sin x ? cos x dx , 设 J ? ?0 sin x ? cos x dx , ? ? 2 则 I ? J ? ? dx ? , 0 2 ? ? sin x ? cos x I ? J ? ?2 dx ? ? 2 d (cos x ? sin x ) ? 0 . 0 sin x ? cos x ?0 sin x ? cos x ? ? 即I ? . 故得 2 I ? , 4 2

?

例2 广义积分中值定理
设f(x) 在 [a ,b]上连续, g(x) 在 [a ,b]上可积,且 不变号,则 b b 证

?? ? [a , b], 使 ? f ( x ) g ( x )dx ? f (? ) ? g ( x )dx
a a

因f(x) 在 [a ,b]上连续,故f(x) 在 [a ,b]上必取得 最大值M和最小值m, m ? f ( x ) ? M 又g(x) 在 [a ,b]上不变号 故不妨设 g( x ) ? 0
b

? ? g ( x )dx ? 0
a

mg ( x ) ? f ( x ) g( x ) ? Mg ( x )
b b

? m ? g ( x )dx ? ? f ( x ) g ( x )dx ? M ? g ( x )dx
a a a

b


b

则由上式知 g ( x ) dx ? 0 ?
a

b

? ? f ( x ) g ( x )dx ? f (? )? g ( x )dx

b

f ( x ) g ( x )dx ? 0 ? a

b

?

可取[a ,b]内任一点

若 g( x )dx ? 0, 则 g ( x )dx ? 0 ? ?
a a

a

b

b

a

由介值定理
?? ? [a , b ] 使
b

f (? ) ?

? a

b

?m?

f ( x ) g( x )dx ? a g( x )dx ? a
b

b

?M

f ( x ) g( x )dx g( x )dx ? a
b a
b

? ? f ( x ) g ( x )dx ? f (? )? g ( x )dx
a

n x 例3 证明 lim dx ? 0 ? n? ? 1 ? x 0 n 1 1 n 证一 x 1 x n n ?0 ? ? x ?0 ? ? dx ? ? x dx ? n?1 1? x 1? x 0 0 1 n x 令n ? ?,由夹逼定理得 lim ? dx ? 0 n? ? 1 ? x 0

1

证二
1

由广义积分中值定理
n 1

x 1 1 1 n dx ? x dx ? ? ? ? 1? x 1?? 0 1?? n?1 0

1 1 ?| |? 1, 有界 lim ?0 n? ? n ? 1 1??

x ? lim ? dx ? 0 n? ? 1 ? x 0

1

n

x 证三 记I n ? ? dx 1? x 0
1 n

1

n

则 I n?1 ? ?
0

1

x n?1 1? x

dx

1 ? I n ? I n?1 ? ? x dx ? n?1 0

I n ?1 ? I n

2 I n ?1 ? I n ? I n ?1

令n ? ?,由夹逼定理得

x lim ? dx ? 0 n? ? 1 ? x 0

1 ? In ? 2n 1 n

例4 求极限 1 1 1 (1) lim[ ? ? ?? ] n? ? n ? 1 n? 2 n? n

n! ( 2) lim ln n? ? n

n

[ 解 ① I ? lim n? ?

1

1 2 n 1? 1? 1? n n n n 1 1 ? lim ? ? n? ? i n i ?1 1 ? 1 n 1 ?? dx ? ln(1 ? x ) 1 0 ? ln 2 1? x 0 1 1 2 n ? ln( ? ? ? ) ② I ? lim n? ? n n n n

?

1

? ??

1

]

i 1 ? lim( ? ln ) ? n? ? n n i ?1

n

? ? ln xdx ? ?1
0

1

由以上两例可见,连续函数 f ( x ) 的定积分 与数列的极限有着密切联系 n n 1 i 1 i ?1 如果能把数列的通项写成 f ( )或 ? f ( ) ? n i ?1 n n i ?1 n 的形式 就可以利用
1 n i lim ? f ( ) n? ? n n i ?1 1 n i ?1 lim ? f ( ) n? ? n n i ?1



把数列极限问题转化为定积分 ? f ( x )dx 的计算问题
0

1

例 5 解
? 4 0

求 ? ln sin 2 xdx .
令 2x ? t,

? 4 0

?

? 4 0

I ? ? ln sin 2 xdx?
? 4 0
?

1 2 ln sin 2 xdx ? ? ln sin tdt . 0 2 ?

?

?

4 0

ln( 2 sin x cos x )dx

? ? (ln 2 ? ln sin x ? ln cos x )dx
? ? ln 2 ? ? 4 ln sin xdx ? ??2ln sin xdx 0 4 4 ? ? ? 2 ? ln 2 ? ? ln sin xdx ? ln 2 ? 2 I 0 4 4 ? ? I ? ? ln 2. 4
?

例 6


1 2 求 ? min{ , x }dx . ?2 x
2

? x2 , x ? 1 1 2 ? ? min{ , x } ? ? 1 是偶函数, , x ? 1 x ? ?x 2 1 2 原式 ? 2 ? min{ , x }dx 0 x 1 21 2 ? 2 ? x dx ? 2 ? dx 0 1 x 2 ? ? 2 ln 2. 3

例7 证明Cauchy-Schwarz不等式
b ? ? b 2 2 ? ? f ( x ) g ( x )dx ? ? ? f ( x )dx ? ? g ( x )dx ?a ? a a b b 2

证 ?t ? R,[tf ( x ) ? g( x )]2 ? 0 ? [tf ( x ) ? g ( x )]2 dx ? 0 ?

t 2 ? f 2 ( x )dx ? 2t ? f ( x ) g ( x )dx ? ? g 2 ( x )dx ? 0
a a

b

b

a

b

b b ? ? ? ? 4? ? f ( x ) g( x )dx ? ? 4? f 2 ( x )dx ? ? g 2 ( x )dx ? 0 ?a ? a a b

2

a

b ? ? b 2 2 ? ? ? f ( x ) g( x )dx ? ? ? f ( x )dx ? ? g ( x )dx ?a ? a a b

2

x ? ? x 2 另证 记 F ( x ) ? ? ? f ( t ) g ( t )dt ? ? ? f ( t )dt ? ? g 2 ( t )dt ?a ? a a x
2 2 2 2 ? F ( x ) ? 2 f ( x ) g ( x ) f ( t ) g ( t ) dt ? f ( x ) g ( t ) dt ? g ( x ) f 则 ? ? ? (t )dt x x x

2

? ? 2 f ( x ) g( x ) f ( t ) g( t ) ? f 2 ( x ) g 2 ( t ) ? f 2 ( t ) g 2 ( x ) dt ? 0
a

x

?

a

a

a

?

? F ( x )单调减
? F (b) ? F ( x ) ? F (a ) ? 0
b ? ? b 2 即? ? f ( x ) g( x )dx ? ? ? f ( x )dx ? ? g 2 ( x )dx ?a ? a a b 2

定积分不等式的证明方法——辅助函数法 ①将一个积分限换成变量,移项使一端为 0 另一端即为所求作的辅助函数 F ( x ) ② 求 F ?( x ) 判定单调性,与端点的值进行 比较即得证

例8

设 f ?( x2)连 续 , f ( 0 ) ? 0 , f ?( 0 ) ? 0
x



lim x ?0
解 I ? lim
x ?0 x

f ( t )dt ? 0
x 0

x 2 ? f ( t )dt
2 xf ( x )
2

? lim
x ?0

2 f (x ) 2? f ( t )dt ? xf ( x )
0 x

2

2 x ? f ( t )dt ? x 2 f ( x )
0

4 f ?( x 2 ) ? lim x ?0 f ( x ) ? f ( 0) 3 ? f ?( x ) x?0

4 xf ?( x ) ? lim x ? 0 3 f ( x ) ? xf ?( x )
2

4 f ?( 0 ) ? ?1 3 f ? ( 0 ) ? f ?( 0 )

例9 试确定 a , b 的值使

0 解 这是 型未定式的极限 0 x2 I ? lim ?1 x ?0 ( b ? cos x ) a ? x
? lim(b ? cos x ) a ? x ? 0
x ?0

t2 dt ? a?t 0 lim ?1 x ? 0 bx ? sin x 由L’Hospital法则
? lim x 2 ? 0
x ?0

x

? (b ? 1) a ? 0

a = 0 或 b =1
故b =1

将 a = 0 代入知不合题意

x2 2 ? lim ? ? 1, ? a ? 4 x ?0 (1 ? cos x ) a ? x a

例10 设 f ( x )在[ 0 ,1]上连续 , f ( x ) ? ? ? 0
证明

证一 由定积分的定义 1 n 1 i ln f ( x )dx ? lim ? ln f ( ) ? n? ? n i ?1 n 0

ln f ( x )dx ? ln ? f ( x )dx ? 0 0
?1 n i ? ? lim ln ? ? f ( )? n? ? ? n i ?1 n ?

1

1

( 因 f ( x ) 是凸函数) 1 ? 1 n i ? ? ln ? lim ? f ( )? ? ln ? f ( x )dx ? n ? ? n i ?1 n ? 证二 记

f ( x )dx ? a ? 0

1

0

则a > 0

又曲线 y ? ln x 上凸
故其上任一点的切线都在曲线的上方 1 在 x = a 处的切线方程为 y ? ln a ? ( x ? a ) a 1

1 ? ln a ? ? f ( t )dt ? 1 ? ln a a0 证三 易证明当 t > 0 时有 ln t ? t ? 1


? 令x ? f ( t ), 有 ln f ( t ) ? ln a ? [ f ( t ) ? a ] a 1 1 1 1 ? ? ln f ( t )dt ? ? ln adt ? ? [ f ( t ) ? a ]dt a0 10 0

e ? e?t
t

令t ?

f ( x) f ( x )dx ? 0
1

? ln f ( x ) ? ln ? f ( x )dx ?
0

1

f ( x)
1

?1

? ? ln f ( x )dx ? ln ? f ( x )dx ?
0 0

1

1

f ( x )dx ? 1 0 ? f ( x )dx

ln f ( x )dx ? ln ? f ( x )dx ? 0 0
?
b

1

1

f ( x )dx ? 0

0 1

?1? 0

例11 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续且 f ( x ) > 0 证明

? ? ? [a , b ] 使

f ( x )dx ? ? ? a ?

1 f ( x )dx ? ? f ( x )dx 2a

b



令 F ( x ) ? ? f ( t )dt
a

x

则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续,在( a , b ) 内可导 即 F( x ) 单调增 b 设 m ? F (a ), M ? F (b) 则 m ? 0, M ? ? f ( x )dx

F ?( x ) ? f ( x ) ? 0
b

1 ? 0 ? m ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ?M 2a b a 1 由介值定理得 ?? ? [a , b], 使F (? ) ? ? f ( x )dx 2a ? b


b

a

? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ?
?
a a

b

? a

1 f ( x )dx ? ? f ( x )dx 2a ? b

1 f ( x )dx ? ? f ( x )dx 2a

b

例12 设 f ( x )在[0,1]上连续 , ? f ( x )dx ? A

1

计算 ? dx ? f ( x ) f ( y )dy
1

1

1

0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f ( t )dt ? f ( x )dx ? ? ? ? f ( t )dt ?d ? ? f ( t )dt ? ? ? ?0 ? 0 ?0 0 ?0 2 1 ? 1? A2 ? ? ? f ( t )dt ? ? 2?0 2 ?

?1 ? ?x ? 解 I ? ? f ( x )[ ? f ( y )dy]dx ? ? ? ? f ( y )dy?d ? ? f ( t )dt ? 0 x ? ?0 ? 0 ?x 1 x ?1 ? 1 ?x ? ? ? ? f ( y )dy ? ? f ( t )dt ? ? ? ? ? f ( t )dt ?[? f ( x )]dx ?x ? 01 x0 ? 0 ?x 0 1 1
1

0

1x

例13 证明

设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续,且单调不增 对任何 ? ? [ 0 ,1] 有

?0
证一

?

f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx

1

?? ? [0,1]
?

?0 f ( x )dx ? ?0

1

0

?

f ( x )dx ? ? f ( x )dx
?

1

由积分中值定理

?0
1

f ( x )dx ? f (?1 )?

0 ? ?1 ? ?

?? f ( x )dx ? f (? 2 )(1 ? ? )
再由f ( x )单调不增

? ? ?2 ? 1


及 ?1 ? ? 2

f (?1 ) ? f (? 2 )

? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
0 0

1

?

1

?

? f (?1 )? ? f (? 2 )(1 ? ? )
? f (?1 )? ? f (?1 )(1 ? ? ) ? f (?1 )

? ? ? f ( x )dx ? f (?1 )? ? ? f ( x )dx
0

1

?

证二

记 F (? ) ?

? ?0

1

?

f ( x )dx ? ? f ( x )dx
0

0 1

则F(1)=0

F ?(? ) ?

f (? )? ? ? f ( x )dx

?

?

0 2

再由f ( x )单调不增

f ( x )dx ? ? f (? )dx ? f (? )? 0 ? F ?(? ) ? 0 得 F (? ) 单调减 ? F (? ) ? F (1) ? 0 即 ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
0 0 1

?0

?

?

?

证三

??0 f ( x )dx ? ? ??0 f ( x )dx 1 ? ? f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx 0 0 ? ? 1 ? (1 ? ? )? f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx 0 ?
? (1 ? ? ) f (? ) ? ? (1 ? ? ) f (? ) ? 0

?

1

证四



x ? ?t

?0

?

f ( x )dx ? ? ? f (?t )dt
0

1

? ? ? f ( t )dt
0

1

(? f (?t ) ? f ( t ))

证五

由f ( x )单调不增

1 1 f (? ) ? f ( x )dx ? 1? ? ?
? ? f ( x )dx ? ?f (? ) ?
0

?? f ( x )dx ? f (? )(1 ? ? )
f ( x )dx ? 1? ? ?
1

1

?

?

1

(1 ? ? )? f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx
0

?

?

? ? f ( x )dx ? ? [ ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx]
0

?

?

1

? ? ? f ( x )dx
0

0 1

?

m J ? x sin xdx 例14 计算 m ? 0

?

解一

J m ? ? x sin

?

m ?1

? ? ? [ x sin
0

?

0

x ? sin xdx

m ?1

x ]d (cos x )
? ? cos x[ x sin
0

? ?[ x sin
?

m ?1

? x ? cos x ] 0

?

m ?1

x ]?dx

=0

? ? cos x[sin
0

m ?1

x ? ( m ? 1) x sin

m?2

x ? cos x ]dx

? 1 m ? ? sin x 0 ? ( m ? 1)? x sinm ? 2 x(1 ? sin2 x )dx 0 m =0

? ( m ? 1)? x sin
0

?

m?2

xdx ? ( m ? 1)? x sin xdx
m 0

?

m ?1 ? Jm ? J m?2 m

J 0 ? ? xdx ?
0

?

?

2

2

J1 ? ? x sin xdx ? ?
0

?

?1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( m ? 1) ? 2 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? m ? 2 m ? 偶数 ? Jm ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( m ? 1 ) ? ? ? m ? 奇数 ? 1 ? 3 ? 5 ? ?? m

解二 由定积分换元法知

?0

?

? ? xf (sin x )dx ? ? f (sin x )dx 2 0
?
2 Im
I0 ? ?

? Jm ?

m ?1 Im ? I m?2 m
I1 ? 2

?1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( m ? 1) ? 2 ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? m 2 ? Jm ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( m ? 1 ) ? ?? ? 1 ? 3 ? 5 ? ?? m

m ? 偶数 m ? 奇数

例15 设 a 0 , a1 ? a n 为 满 足 a1 an a0 ? ? ? ? ? 0 的实常数 2 n?1 证明 方程 a 0 ? a1 x ? ? ? a n x n ? 0 在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根 证

记 F ( x ) ? ? (a0 ? a1t ? ? ? an t n )dt
0

x

则 F(x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导 F ( 0) ? 0

F (1) ? ? (a0 ? a1t ? ? ? ant )dt
n 0

1

a1 an ? a0 ? ? ? ? ?0 2 n?1

由 Rolle 定理

?? ? (0,1) 使 F ?(? ) ? 0

n ? 而 F ( x ) ? a0 ? a1 x ? ? ? an x

故方程 a0 ? a1 x ? ? ? an x ? 0
n

在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根

例16

L L 已知周期为L的函数在 [ ? , ] 2 2 上是连续的奇函数,证明
x

?a
证一

f ( t )dt
x

也是以L为周期的函数
x? L

记 F ( x ) ? ? f ( t )dt F ( x ? L) ? ?
a

a

f ( t )dt ? G ( x )

F ?( x ) ? f ( x )

G?( x ) ? f ( x ? L) ? f ( x )

? G( x ) ? F ( x ) ? C ? F ( x ? L) ? F ( x ) ? C

L 令 x?? 得 2 L L ? L L C ? F ( ) ? F ( ? ) ? ? 2 f ( t )dt ? ? 2 f ( t )dt a a 2 2

? ? f ( t )dt ? 0
对称区间上奇函数的积分

L 2 L ? 2

? F ( x ? L) ? F ( x )

证二 F ( x ? L) ? F ( x ) ?

?x
2

x? L

f ( t )dt

??

?

L 2

x

??

L 2 L ? 2

? ?L

x? L

?L 2

x? L

f ( t )dt (令t ? u ? L)? L f ( u)du
L 2 2 L ? 2
?

x

? F ( x ? L) ? F ( x ) ? ? f ( t )dt ? 0

即 F ( x ? L) ? F ( x )

例18 设 f ( x ) , g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续,证明

?? ? (a , b ) 使


f (? ) ? g ( x )dx ? g (? ) ? f ( x )dx
?
a

b

?

关键在于作出辅助函数 F(x) 将 ? 换成 x

f ( x )? g( t )dt ? g( x )? f ( t )dt
x a

b

x

如令 F ( x ) ? f ( x )? g( t )dt ? g( x )? f ( t )dt
x a

b

x

则 F(a)

F(b) 的符号不易判别,得不出结论
b x x a

故 令 F ?( x ) ? f ( x )? g( t )dt ? g( x )? f ( t )dt

两边积分得

F ( x ) ? ? f ( u)[ ? g( t )dt ]du ? ? g( u)[ ? f ( t )dt ]du ? ? f ( t )dt ? ? g( t )dt
a x a x u a a b

x

b

x

u

故 令 F ( x ) ? ? f ( t )dt ? ? g( t )dt
a x

x

b

则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续,在 ( a , b ) 内可导 且F ( a ) = F ( b ) = 0

由 Rolle 定理知

?? ? (a, b) 使 F ?(? ) ? 0

而 F ?( x ) ? f ( x )? g( t )dt ? g( x )? f ( t )dt
x a

b

x

? f (? )? g( x )dx ? g(? )? f ( x )dx
?
a

b

?

注: 辅助函数法证明定积分等式——主要 适用于证明在积分限中至少存在一点? 或 x0 或 c 使等式成立的命题 ① 将? 或 x0 或 c 换成 x 移项使一端为 0

另一端即为


F ( x ) 或 F ?( x )
满足介值定理或 Rolle 定理

验证 F ( x )


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