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高中数学2.2.1 综合法和分析法

高中数学2.2.1  综合法和分析法


2.2

直接证明与间接证明

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2.2.1

综合法和分析法

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课前预习导学

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学习目标 1.知道直接证明的两种基本方 法:综合法和分析法; 2.能说出综合法和分析法的思考过 程、特点,知道它们的区别与联系; 3.学会利用综合法和分析法证明命 题. 重点:综合法与分析法的逻 辑思维过程与逻辑思维方法; 难点:综合法与分析法的应用. 重点难点

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预习导引
1.直接证明 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解 决数学问题时常用的思维方式. 2.综合法(顺推证法或由因导果法) (1)综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一 系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法. (2)综合法的思维过程 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要 证明的结论,则综合法可表示如下:
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3.分析法(逆推证法或执果索因法) (1)分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直 至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做分析法. (2)分析法的思维过程 用 Q 表示要证明的结论,则分析法可表示如下:

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预习交流
思考:(1)综合法和分析法的推理过程是合情推理还是演绎推 理? (2)分析法中每一步寻找的是充分条件还是必要条件?为什么? 提示:(1)综合法和分析法的推理过程属于演绎推理,这是因为, 在综合法和分析法的推理过程中,每一步推理都是严密的逻辑推理, 它的每一步推理得出的结论都是正确的,不同于合情推理. (2)分析法每一步寻找的都是充分条件而不是必要条件,分析法 的证明过程常采用“欲证 Q 只需证 P”的形式表示,亦即只要 P 成立, 就一定有 Q 成立,因此 P 是 Q 的充分条件,当然 P 是 Q 的充分必要 条件时也可以.

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课堂合作探究

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问题导学
一、综合法 活动与探究 1
(1)已知 x∈R,求证:cos8x-sin8x+4sin 2xsin 4x=cos 2x.
1

(2)如图,S 为△ABC 所在平面外的一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证:AB⊥BC.
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思路分析:(1)对左边进行降幂变形,利用同角三角函数的基本关 系式和二倍角公式进行证明. (2)从条件出发,根据线面垂直、面面垂直的判定定理与性质进 行证明.

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证明:(1)左边=cos8x-sin8x+4sin 2xsin 4x =(cos4x+sin4x)(cos4x-sin4x)+ sin 2x·2·sin 2xcos 2x =(cos x+sin x)(cos x-sin
1
4 4 2 2

1

1 4

1 2 x)+2sin 2xcos

2x

=cos 2x(cos4x+sin4x)+2sin22xcos 2x =cos 2x co 4 + si4 + 2 ·4si2 co 2 =cos 2x(sin4x+cos4x+2sin2xcos2x) =cos 2x(sin2x+cos2x)2=cos 2x=右边. ∴ 原等式成立.
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1

(2)作 AE⊥SB 于点 E.

∵ 平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=SB, ∴ AE⊥平面 SBC,∴ AE⊥BC. ∵ SA⊥平面 ABC,BC 在平面 ABC 内, ∴ SA⊥BC. 又∵ SA∩AE=A,∴ BC⊥平面 SAB. ∵ 在平面 SAB 内,∴ AB AB⊥BC.
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迁移与应用 1.已知 tan(α+β)=2tan α,求证:3sin β=sin(2α+β). 证明:∵ tan(α+β)=2tan
sin(+) α,∴ cos(+)

=

2sin , cos

即 2sin αcos(α+β)=cos αsin(α+β). 又 3sin β=3sin[(α+β)-α]=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α =3sin αcos(α+β), sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α =3sin αcos(α+β), ∴ 3sin β=sin(2α+β).

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2.

如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点, 平面 CDE 是等边三角形,棱 EF∥BC (1)证明 FO∥平面 CDE; (2)设 BC= 3CD,证明 EO⊥平面 CDF.
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1 且 EF=2BC.

证明:(1)取 CD 的中点 G,连结 OG,EG,如图所示,显然 EF∥OG
1

且 EF=OG=2BC, ∴ 四边形 FOGE 是平行四边形. ∴ FO∥EG.而 EG? 平面 CDE,OF? 平面 CDE, ∴ FO∥平面 CDE.
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1 3 (2)由题意知 EF=OG= BC= CD, 2 2

而△ECD 是正三角形,∴ EG= 2 CD.∴ EG=EF. ∴ 平行四边形 FOGE 是菱形,EO⊥FG(连结 FG). 又∵ CD⊥OG,CD⊥EG, ∴ CD⊥平面 OGE.而 EO? 平面 OGE,∴ CD⊥EO. 而 FG 与 CD 相交,且 EO⊥FG,故 EO⊥平面 CDF.

3

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(1)综合法是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知 到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法(与分析法恰恰相反),即从题 设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间 推理,最后导出所要求证的命题结论的真实性.简言之,综合法是一种 由因索果的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法. (2)应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可 争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题),再依次由它得出 一系列的命题(或判断),其中每一个都是真实的(但它们不一定都是 所需求的),且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论,命题得 证.同分析法一样,并非一上来就能找到通往命题结论的思路,只有在 证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到.
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二、分析法 活动与探究 2

(1)如图,在四面体 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且 PH⊥底面 ABC 于点 H.求证:H 是△ABC 的垂心. (2)已知函数 f(x)=x2+3,若 a>b>0,求证:
()+() + >f 2 2

.

思路分析:(1)要证 H 是△ABC 的垂心,即证 AH 与 BC 垂直且 BH 与 AC 垂直,但是这两种垂直关系不易证明,故可用分析法处理. (2)由于条件和结论之间的联系不明确,可用分析法证明.
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证明:(1)要证 H 是△ABC 的垂心, 只需证 BC⊥AH 且 AC⊥HB, 只需证 BC⊥平面 PHA 且 AC⊥平面 PHB, 只需证 BC⊥PH 且 BC⊥PA,AC⊥PH 且 AC⊥PB. 因为 PH⊥底面 ABC, 所以 PH⊥BC,PH⊥AC 成立, 故只需证 BC⊥PA 且 AC⊥PB 即可, 只需证 PA⊥平面 PBC,PB⊥平面 PAC, 只需证 PA⊥PB 且 PA⊥PC,PB⊥PA 且 PB⊥PC. 因为 PA,PB,PC 两两垂直,上式显然成立, 所以原结论成立,即 H 是△ABC 的垂心.

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()+() + (2)要证明 2 >f 2

,

1 2 + 2 2 即证2[(a +3)+(b +3)]> 2 +3,

只需证 a +b 只需证 a +b
2

2

2

(+)2 +6> +6, 2 (+)2 > 2 ,

2

因此只需证 2a2+2b2>a2+2ab+b2, 即证 a2+b2>2ab,只需证(a-b)2>0, 由于 a>b>0,所以(a-b)2>0 显然成立, 故原不等式成立.
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迁移与应用 1.已知 a>6,求证: -3 ? -4 < 证明:要证 -3 ? -4 < 只需证 -3 + -6 < -5 ? -6.

-5 ? -6,

-5 + -4,

只需证( -3 + -6)2<( -5 + -4)2, 只需证 2a-9+2 (-3)(-6)<2a-9+2 (-5)(-4),

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只需证 (-3)(-6) <

(-5)(-4),

只需证(a-3)(a-6)<(a-5)(a-4), 只需证 18<20. 因为 18<20 显然成立, 所以原不等式 -3 ? -4 < -5 ? -6成立.

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2.

如图所示,已知四边形 ABCD 是正方形,SA⊥平面 ABCD,过 A 且 垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于点 E,F,G.求证:AE⊥SE.

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证明:要证 AE⊥SE, 只需证 AE⊥平面 SBC, 只需证 AE⊥SC 且 AE⊥BC, 只需证 SC⊥平面 AEFG(已知),且 BC⊥平面 SAB. 要证 BC⊥平面 SAB, 只需证 BC⊥SA 且 BC⊥AB, 由 SA⊥平面 ABCD 且 ABCD 是正方形可知 BC⊥SA 且 BC⊥AB. 所以 AE⊥SE.

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(1)分析法是数学中常用到的一种直接证明的方法.就证明程度 来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体 说,即先假设所要证明命题的结论是正确的,由此逐步推出保证此结 论成立的必要的判断.而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公 理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时,命题得证(应该 强调的一点是它不是由命题的结论去证明前提).因此,分析法是一 种执果索因的证明方法.这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演 绎推理方法.

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(2)应用分析法时,并非一开始就确信由结论出发所产生的那些 推断(或命题)都正确,各推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等 都合适.这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系,因 而需要从这些关系中逐个考查,逐个思索,逐个分析,逐个判断,在得 到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知的条件),才知道 前面各步推理适当与否,从而找出证明的路子. (3)当不知从何入手时,有时可以运用分析法去获得解析,特别是 对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效,另外对于恒等 式的证明,也同样可以运用.

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(4)用分析法证“若 P,则 Q”这个命题的模式是: 为了证明命题 Q 为真, 这只需证明命题 P1 为真,从而有…… 这只需证明命题 P2 为真,从而有…… …… 这只需证明命题 P 为真. 而已知 P 为真,故 Q 必为真. 可见分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,它 与综合法是对立统一的两种方法.

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三、分析综合法 活动与探究 3 在某两个正数 x,y 之间插入一个数 a,使 x,a,y 成等差数列,插入两 数 b,c,使 x,b,c,y 成等比数列,求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1). 思路分析:前半部分从已知出发采用综合法得到 a,b,c 之间的关 系式,后半部分用分析法反推,然后再与该关系式结合,找到使结论成 立的充分条件即可.

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2 = + , 2 2 2 证明:由已知得 = cx, ∴ x= ,y= , 2 = by, 即
x+y=
2

2 + ,从而

2a=

2

2 + .

要证(a+1)2≥(b+1)(c+1), 只需证 a+1≥ ( + 1)( + 1)成立.

要证 a+1≥ ( + 1)( + 1)成立,

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只需证 a+1≥

(+1)+(+1) 即可. 2

也就是证 2a≥b+c.而

2a=

2

2 + ,

则只需证

2

2 + ≥b+c

成立即可,

即 b3+c3=(b+c)(b2-bc+c2)≥(b+c)·bc, 即证 b2+c2-bc≥bc,即证(b-c)2≥0 成立, 上式显然成立,∴ (a+1)2≥(b+1)(c+1).
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迁移与应用 1.若
1 1 2 0<x<,求证:y-y <+1. 1 1 +1

证明:∵ 0<x< ,∴

>1

1

+1

=

. +1

1 2 要证+1>y-y 成立,只需证+1>y-y2 成立. 1

∵ y>0,∴ 只需证+1>1-y, 即证 1-y2<1,即证 y2>0. ∵ 2>0 成立,∴ y 原不等式成立.
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+ + + +logx +logx <logxa+logxb+logxc. 2 2 2 + + + 证明:要证明 logx 2 +logx 2 +logx 2 <logxa+logxb+logxc, + + + 只需要证明 logx 2 · 2 · 2 <logx(abc). + + + 由已知 0<x<1,只需证明 2 · 2 · 2 >abc. + + + 由公式 ≥ >0, ≥ >0, ≥ >0. 2 2 2 + + + 又∵ a,b,c 是不全相等的正数,∴ 2 · 2 · 2 > 2 2 2

2.已知 a,b,c 是不全相等的正数,且 0<x<1.

求证:logx

=abc.即 2 · 2 · 2 >abc 成立. ∴ x log
+ + + +logx +logx <logxa+logxb+logxc 成立. 2 2 2
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+

+

+

在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据 条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的结构特点 去转化条件,得到中间结论 P.若由 P 可以推出 Q 成立,就可以证明结 论成立.命题“若 P,则 Q”的推导过程可用框图表示为:

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用分析法与综合法来叙述证明,语气之间也应当有所区别.在综 合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断 的必然结果,因此所用语气必须是肯定的;而在分析法中,就应当用假 定的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要 A 成立,就需先有 B 成立; 如果有 B 成立,又只需 C 成立,…,这样从结论一直推到它们都是同所 要证明的命题是等效的,而并不是确信它们是真实的,直至达到最后 已知条件或明显成立的事实后,我们才能确信它是真的,从而可以推 知前面所有与之等效的命题也都是真的,于是命题就被证明了.

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当堂检测
1.欲证 2 ? 3 < 6 ? 7成立,只需证( A.( 2 ? 3)2<( 6 ? 7)2 B.( 2 ? 6)2<( 3 ? 7)2 C.( 2 + 7)2<( 3 + 6)2 D.( 2 ? 3 ? 6)2<(- 7)2 解析:要证 2 ? 3 < 6 ? 7成立,只需证 2 + 7 < 3 + 6,因 此只需证( 2 + 7)2<( 3 + 6)2 成立. 答案:C )

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2.命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明过 程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”应用 了( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法与分析法结合使用 D.间接证法 解析:这是从已知的公式出发证得结论的,用了综合法. 答案:B

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3.已知不等式(x+y) 的最小值为
1

1 +

≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a

.


解析:(x+y) + =1+a+ + ≥1+a+2 ≥9,即 a+2 -8≥0,解得 a≥4. 答案:4 4.已知函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象关于 解析:依题意知 f
π (k∈Z). 4 π 8 π ,0 对称,则 φ= 8 π =0.故 +φ=kπ,所以 4

. φ=kπ-

=0,即 sin

π +φ 4

答案:kπ- (k∈Z)
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π 4

5.已知 a>b>c 且 a+b+c=0,求证:

-ac

2

< 3.
-ac
2

证明:由于 a>b>c 且 a+b+c=0,则 a>0,c<0.要证不等式 立, 只要证 2 -ac < 3a,即证 b2-ac<3a2, 也就是证(a+c)2-ac<3a2 成立, 只需证(a-c)(2a+c)>0 即可. ∵ a-c>0,2a+c=(a+c)+a=a-b>0, ∴ (a-c)(2a+c)>0 成立,从而原不等式得证.

< 3成

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