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镇江市润州区2015届中考数学二模试卷含答案解析

镇江市润州区2015届中考数学二模试卷含答案解析


2015 年江苏省镇江市润州区中考数学二模试卷
一、填空题(本大题共有 12 小题,每小题 2 分,共计 24 分.) 1.计算:|﹣2|= . . .

2.用科学记数法表示:0.0125= 3.函数: 自变量 x 的取值范围是 .

4.因式分解:x﹣xy2=

5.如图,已知:a∥b,三角板的直角顶点在直线 b 上,∠1=40°,则∠2=



6.一组数据:1,3,4,x,6,6 的平均数为 4,则众数为 7.比较大小 8.函数 y=x﹣2 和 (填:>或=或<) 的图象经过点(a,b),则 =



. cm.

9.已知:圆锥的母线长为 5cm,侧面积为 30πcm2,则圆锥的底面半径为 10.如图,PA、PB 是⊙O 的切线,Q 为 则△ PMN 周长= .

上一点,过点 Q 的直线 MN 与⊙O 相切,已知 PA=4,

11.如图,直线 l∥x 轴,分别与函数 于点 C,若 AC=2BC,则 k=

(x>0)和 .

(x<0)的图象相交于点 A、B,交 y 轴

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12.如图 1,正方形 ABCD 中,点 P 从点 A 出发,以每秒 2 厘米的速度,沿 A→D→C 方向运动, 点 Q 从点 B 出发,以每秒 1 厘米的速度,沿 BA 向点 A 运动,P、Q 同时出发,当点 P 运动到点 C 时,两动点停止运动,若△ PAQ 的面积 y(cm2)与运动时间 x(s)之间的函数图象为图 2,若线段 PQ 将正方形分成面积相等的两部分,则 x 的值为 .

二、选择题(本大题共有 5 小题,每小题 3 分,共计 15 分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一 项符合题目要求.) 13.下列几何体中,左视图与主视图不相同的只可能是( )

A.

B.

C.

D.

14.下列结论中正确的是(

) D.(a3)2=a5 )

A.a3+a2=a5 B.a3?a2=a6 C.a3÷a2=a

15.如图,△ ABC 内接于⊙O,BC=8,⊙O 半径为 5,则 sinA 的值为(

A.

B.

C.

D.

16.如图,在 2×2 的正方形网格中有 9 个格点,已经取定点 A 和 B,在余下的 7 个点中任取一点 C, 使△ ABC 为直角三角形的概率是( )

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A.

B.

C.

D.

17.如图,正方形 PQMN 的边 PQ 在 x 轴上,点 M 坐标为(2,1),将正方形 PQMN 沿 x 轴连续 翻转,则经过点(2015, )的顶点是( )

A.点 P B.点 Q C.点 M D.点 N

三、解答题(本大题共有 11 小题,共计 81 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.) 18.计算: (1)计算|﹣3|+( (2)化简 19.解方程或解不等式组 (1)解方程 )0+sin30° .

(2)解不等式组

并将解集在数轴上表示出来.

20.如图,△ ABC 中,BD 是△ ABC 的角平分线, (1)尺规作:作 BD 的垂直平分线分别交 AB、BC 于 M、N(保留作图痕迹,不写作法) (2)连结 MD、ND,判断四边形 BMDN 的形状,并说明理由.

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21.某校九(1)班同学积极参加社团活动,每人均参加篮球、书法、舞蹈和象棋其中的一项,小明 同学调查后,整理相关数据并制作了两个不完整的统计图:

根据以上信息解答下列问题: (1)请补全条形统计图,并直接写出扇形统计图中的 m= (2)学校对该班社团活动进行测评,各社团的平均得分如表: 社团 平均分 篮球 4 书法 4.5 舞动 3 象棋 4

求九(1)班社团测评的平均分. 22.如图,AB、CD 为两个建筑物,建筑物 AB 的高度为 60 米,从建筑物 AB 的顶点 A 处测得建筑 物 CD 的顶点 C 的俯角∠EAC=30°,测得底部 D 点的俯角∠EAD=45°. (1)求两建筑物之间水平距离 BD 的长度; (2)求建筑物 CD 的高度(结果保留根号).

23.如图,直线 y=x+b 和双曲线 (1)b= ,k=

相交于点 A、B,且点 A 坐标为(2,1) , .

P 为 x 轴上一点, B、 P 为顶点的三角形是直角三角形, (2) 若以 A、 则点 P 的坐标为
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24.一不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球,这些球除颜色不同外其余都相同,搅匀后, (1)从中一次性摸出两只球,用树状图或列表表示其中一个是红球另一个是白球的所有结果并求其 概率. (2)向袋子中放入若干个红球(与原红球相同),搅匀后,从中任取一个球是红球的概率为 ,求 放入红球的个数. 25.如图,AB 是⊙O 直径,∠DAC=∠BAC,CD⊥AD,交 AB 延长线于点 P, (1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)若 tan∠BAC= ,PB=2,求⊙O 半径.

26.国家为支持大学生创业,提供小额无息贷款,学生王芳享受政策无息贷款 36000 元用来代理品 牌服装的销售.已知该品牌服装进价每件 40 元,日销售 y(件)与销售价 x (元/件)之间的关系 如图所示(实线),每天付员工的工资每人每天 82 元,每天应支付其它费用 106 元. (1)求日销售 y(件)与销售价 x (元/件)之间的函数关系式; (2)若暂不考虑还贷,当某天的销售价为 48 元/件时,收支恰好平衡(收入=支出),求该店员工 人数; (3)若该店只有 2 名员工,则该店至少需要多少天才能还清贷款,此时,每件服装的价格应定为多 少元?

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27.如图,抛物线 y=x2﹣2mx﹣3m2(m 为常数,m>0),与 x 轴相交于点 A、B,与 y 轴相交于点 C, (1)用 m 的代数式表示:点 C 坐标为 ,AB 的长度为 ;

(2)过点 C 作 CD∥x 轴,交抛物线于点 D,将△ ACD 沿 x 轴翻折得到△ AEM,延长 AM 交抛物 线于点 N, ①求 的值;

NQ, ②若 AB=4, 直线 x=t 交线段 AN 于点 P, 交抛物线于点 Q, 连接 AQ、 是否存在实数 t, 使△ AQN 的面积最大?如果存在,求 t 的值;如果不存在,请说明理由.

28. AB=AC, CF 为 AB 边上的高, P 为 BC 边上的一个动点, PD⊥AB, △ ABC 中, 阅读: 已知如图 (1) PE⊥AC,探究 PD、PE 和 CF 之间的关系.聪明的小强连接 AP 通过 S△ APB+S△ APC=S△ ABC,从而 发现 PD+PE=CF. 理解:小强对上述问题进一步进行探究,当点 P 在 BC 延长线上时,如图 2,其它条件不变,发现 PD﹣PE=CF,请你证明小强的这一发现. 运用(一):如图 3,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 D 落在点 B 上,点 C 落在点 C′处,P 为折痕 EF 上的任意一点,PG⊥BE,PH⊥BC,若 AD=8,CF=3,求 PG+PH 的值. E 为 AD 边上的点, CE⊥CD, 运用 (二) : 如图 4, 四边形 ABCD 中, 且 EB⊥AB, 且 AB?CE=CD?BE, M、N 分别为 AE、DE 的中点,若 AD=10,sinA= ,求△ BEM 与△ CEN 的周长之和.
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2015 年江苏省镇江市润州区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共有 12 小题,每小题 2 分,共计 24 分.) 1.计算:|﹣2|= 2 .

【考点】绝对值. 【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号. 【解答】解:∵﹣2<0, ∴|﹣2|=2. 故答案为:2. 【点评】解题关键是掌握绝对值的规律.一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相 反数;0 的绝对值是 0.

2.用科学记数法表示:0.0125=

1.25×10﹣2 .

【考点】科学记数法—表示较小的数. 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10﹣n,与较大数的科学记 数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决 定. 【解答】解:0.0125=1.25×10﹣2. 故答案为:1.25×10﹣2. 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a×10﹣n,其中 1≤|a|<10,n 为由原数左 边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定.

3.函数:

自变量 x 的取值范围是 x≤1 且 x≠0 .

【考点】函数自变量的取值范围. 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于 0,分母不等于 0,可以求出 x 的 范围. 【解答】解:由题意得
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1﹣x≥0,且 x≠0. 解得 x≤1 且 x≠0, 故答案为:x≤1 且 x≠0. 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:当函数表达 式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;当函数表 达式是二次根式时,被开方数非负.

4.因式分解:x﹣xy2=

x(1+y)(1﹣y)



【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【专题】计算题. 【分析】原式提取 x,再利用平方差公式分解即可. 【解答】解:原式=x(1﹣y2)=x(1+y)(1﹣y). 故答案为:x(1+y)(1﹣y). 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

5.如图,已知:a∥b,三角板的直角顶点在直线 b 上,∠1=40°,则∠2=

50° .

【考点】平行线的性质. 【分析】先根据三角板的直角顶点在直线 b 上求出∠3 的度数,进一步得到∠4 的度数,再由平行线 的性质即可得出结论. 【解答】解:∵三角板的直角顶点在直线 b 上,∠1=40°, ∵a∥b, ∴∠3=∠1=40°, ∴∠4=90°﹣∠3=50°, ∴∠2=∠4=50°. 故答案为:50°.

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【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,同位角相等.

6.一组数据:1,3,4,x,6,6 的平均数为 4,则众数为 4 和 6 . 【考点】众数;算术平均数. 【分析】本题需先求出 x 的值,再根据众数的定义找出出现次数最多的数即是众数. 【解答】解:∵1,3,4,x,6,6 的平均数为 4, ∴(1+3+4+x+6+6)÷6=4, x=4, ∴这组数据的众数是:4 和 6. 故答案为:4 和 6. 【点评】本题主要考查了众数的有关知识,在解题时要能根据众数的定义求出一组数据的众数是本 题的关键.

7.比较大小



(填:>或=或<)

【考点】实数大小比较. 【分析】根据无理数的估算方法比较 【解答】解:∵ ∴ ∴ ﹣1>1, > . >2, ﹣1 与 1 的大小,根据分数的性质比较即可.

故答案为:>. 【点评】本题考查的是实数的大小比较,掌握无理数的估算方法是解题的关键.

8.函数 y=x﹣2 和

的图象经过点(a,b),则

= ﹣2



【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】由函数 y=x﹣2 和 ﹣2,ab=1,即可得到结论.
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的图象经过点(a,b),代入解析式得到 b=a﹣2,b= ,求得 a﹣b=

【解答】解:∵函数 y=x﹣2 和 ∴b=a﹣2,b= , ∴a﹣b=﹣2,ab=1, ∴ =﹣2,

的图象经过点(a,b),

故答案为:﹣2. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,把点的坐标代入解析式得到方程是解题的 关键.

9.已知:圆锥的母线长为 5cm,侧面积为 30πcm2,则圆锥的底面半径为 6 cm. 【考点】圆锥的计算. 【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解. 【解答】解:设底面圆半径 rcm, 因为母线长为 5cm,侧面积=π×5×r=30π, 解得 r=6,. 故答案为:6. S= lr 是解题的关键. 【点评】 本题考查了圆锥的计算, 解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算公式:

10.如图,PA、PB 是⊙O 的切线,Q 为 则△ PMN 周长= 8 .

上一点,过点 Q 的直线 MN 与⊙O 相切,已知 PA=4,

【考点】切线长定理. 【分析】根据切线长定理得 MA=MQ,NQ=NB,然后根据三角形周长的定义进行计算. 【解答】解:∵直线 PA、PB、MN 分别与⊙O 相切于点 A、B、Q, ∴MA=MQ,NQ=NB, ∴△PMN 的周长=PM+PN+MQ+NQ=PM+MA+PN+NM=PA+PB=4+4=8.
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故答案为:8. 【点评】本题考查了切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点 的连线,平分两条切线的夹角.

11.如图,直线 l∥x 轴,分别与函数 于点 C,若 AC=2BC,则 k= ﹣1 .

(x>0)和

(x<0)的图象相交于点 A、B,交 y 轴

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据题意可以设 B 点坐标为(x,y),因为 BC∥x 轴,AC=2BC,故知 A 点坐标为(﹣2x, y),把两点代入函数方程,即可解得 k. 【解答】解:设 B 点坐标为(x,y), ∵BC∥x 轴,AC=2BC, ∴C 点坐标为(﹣2x,y), 故 = ,

解得 k=﹣1. 故答案是:﹣1. 【点评】本题主要考查反比例函数系数 k 的几何意义,数形结合是解答此题的关键,本题也比较基 础,同学们需要牢固掌握.

12.如图 1,正方形 ABCD 中,点 P 从点 A 出发,以每秒 2 厘米的速度,沿 A→D→C 方向运动, 点 Q 从点 B 出发,以每秒 1 厘米的速度,沿 BA 向点 A 运动,P、Q 同时出发,当点 P 运动到点 C 时,两动点停止运动,若△ PAQ 的面积 y(cm2)与运动时间 x(s)之间的函数图象为图 2,若线段 PQ 将正方形分成面积相等的两部分,则 x 的值为 3 .

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【考点】动点问题的函数图象. 【分析】由题意可知,当点 P 在 AD 上运动时 y 与 x 满足二次函数关系,当点 P 在 DC 上运动时 y 与 x 满足一次函数关系,设正方形的边长为 acm,列出当 0<x≤ 时 y 与 x 的函数关系式并配方,结 合函数图象可得 a 的值,进而求出此时 x 的值. 【解答】解:设正方形的边长为 acm,由题意知,点 P 的运动路程为 2xcm,BQ=xcm, 当 0<x≤ 时,y= ?AQ?AP= (a﹣x)?2x=﹣x2+ax=﹣(x﹣ )2+ 则当 x= 时,y 取得最大值,最大值为 由题意可知, , ,

=9,解得:a=6 或 a=﹣6(舍),

当 y=9 时,x= =3, 故答案为:3. 【点评】本题主要考查动点问题的函数图象,结合题意分析点的运动轨迹,并列出函数关系式是关 键,结合函数关系式及性质求某一时刻的值则是基本运算.

二、选择题(本大题共有 5 小题,每小题 3 分,共计 15 分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一 项符合题目要求.) 13.下列几何体中,左视图与主视图不相同的只可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单几何体的三视图. 【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看,所得到的图形.分析出四个几何体的左视图 与主视图,然后再确定答案.
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【解答】解:A、正方体的左视图和主视图都是正方形,故此选项错误; B、长方体的左视图是长方形,主视图也是长方形,但是长和宽不相同,故此选项正确; C、球的左视图和主视图都是圆形,故此选项错误; D、圆锥的左视图和主视图都是等腰三角形,故此选项错误; 故选:B. 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握左视图和主视图所看的位置.

14.下列结论中正确的是(

) D.(a3)2=a5

A.a3+a2=a5 B.a3?a2=a6 C.a3÷a2=a

【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加,同底数幂的除法底数不变指数相减,幂的乘方底 数不变指数相乘,可得答案. 【解答】解:A、不是同底数幂的乘法指数不能相加,故 A 错误; B、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故 B 错误; C、同底数幂的除法底数不变指数相减,故 C 正确; D、幂的乘方底数不变指数相乘,故 D 错误; 故选:C. 【点评】本题考查了同底数幂的除法,熟记法则并根据法则计算是解题关键.

15.如图,△ ABC 内接于⊙O,BC=8,⊙O 半径为 5,则 sinA 的值为(



A.

B.

C.

D.

【考点】圆周角定理;解直角三角形. 【分析】连接 BO 并延长交⊙O 于 D,连接 CD,根据圆周角定理得到∠BCD=90°,∠D=∠A,然后 根据三角函数的定义即可得到结论. 【解答】解:连接 BO 并延长交⊙O 于 D,连接 CD,
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则∠BCD=90°,∠D=∠A, ∵⊙O 半径为 5, ∴BD=10, ∴sinA=sinD= 故选 B. = = ,

【点评】本题考查了圆周角,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.

16.如图,在 2×2 的正方形网格中有 9 个格点,已经取定点 A 和 B,在余下的 7 个点中任取一点 C, 使△ ABC 为直角三角形的概率是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】概率公式. 【专题】网格型. 【分析】找到可以组成直角三角形的点,根据概率公式解答即可. 【解答】解:如图,C1,C2,C3,C4 均可与点 A 和 B 组成直角三角形. P= , 故选:D.

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【点评】本题考查了概率公式:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= .

17.如图,正方形 PQMN 的边 PQ 在 x 轴上,点 M 坐标为(2,1),将正方形 PQMN 沿 x 轴连续 翻转,则经过点(2015, )的顶点是( )

A.点 P B.点 Q C.点 M D.点 N 【考点】坐标与图形变化-旋转. 【专题】规律型. 【分析】先确定经过(2, 点为点 Q,经过点(5, )的点为 N 点,经过点(3, )的点为点 M,经过点(6, )的点为点 P,经过点(4, )的

)的点为点 N,于是得到每四次一循环, ). )的点为点 N,

由于 2015﹣2=503×4+1,由此可判断点 P 经过点(2015,

【解答】解:第 1 次将正方形 PQMN 沿 x 轴翻转时,经过点(2, 第 2 次将正方形 PQMN 沿 x 轴翻转时,经过点(3, 第 3 次将正方形 PQMN 沿 x 轴翻转时,经过点(4, 第 4 次将正方形 PQMN 沿 x 轴翻转时,经过点(5, 第 5 次将正方形 PQMN 沿 x 轴翻转时,经过点(6, 而 2015﹣2=503×4+1, 所以经过点(2015, 故选 A. )的顶点是点 P.

)的点为点 P, )的点为点 Q, )的点为点 M, )的点为点 N,

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性 质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.

三、解答题(本大题共有 11 小题,共计 81 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.) 18.计算:
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(1)计算|﹣3|+( (2)化简

)0+sin30° .

【考点】分式的混合运算;实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 【分析】(1)将 sin30°= 代入,然后运算绝对值及零指数幂,继而合并可得出答案; (2)首先把括号里的式子进行通分,然后因式分解,再约分化简即可求解. 【解答】解:(1)|﹣3|+( =3+1+ =4 . )0+sin30°

(2)

=

×

=

×

=



【点评】考查了分式的混合运算,通分、因式分解和约分是解答的关键.同时考查了实数的运算, 解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值等考点的运算.

19.解方程或解不等式组 (1)解方程

(2)解不等式组

并将解集在数轴上表示出来.

【考点】解一元一次不等式组;解分式方程;在数轴上表示不等式的解集. 【分析】(1)将方程两边都乘以最简公分母 x﹣2 去分母,然后依次去括号、移项、合并同类项、 系数化为 1,最后检验可得; (2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀确定不等式解集的公共部分,表示在数轴上.
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【解答】解:(1)去分母,得:3x﹣(x﹣2)=﹣2, 去括号,得:3x﹣x+2=﹣2, 移项,得:3x﹣x=﹣2﹣2, 合并同类项,得:2x=﹣4, 系数化为 1,得:x=﹣2, 经检验:x=﹣2 是原方程的解; (2)解不等式 2x+1>x﹣1,得:x>﹣2, 解不等式 x+4>4﹣x,得:x>0, 故不等式组的解集为:x>0, 将不等式解集表示在数轴上:

【点评】本题主要考查解分式方程和不等式组的能力,严格遵循解方程或解不等式得基本步骤是基 础,去分母时找到最简公分母和解不等式系数化为 1 时注意不等号方向是易错点.

20.如图,△ ABC 中,BD 是△ ABC 的角平分线, (1)尺规作:作 BD 的垂直平分线分别交 AB、BC 于 M、N(保留作图痕迹,不写作法) (2)连结 MD、ND,判断四边形 BMDN 的形状,并说明理由.

【考点】作图—基本作图;菱形的判定. 【专题】作图题. 【分析】(1)利用基本作图(作已知线段的垂直平分线)作 MN 垂直平分 BD; (2)先根据线段垂直平分线的性质得 MB=MD,NB=NC,再利用 BD 平分∠MBN,BD⊥MN 可判 断△ BMN 为等腰三角形,则 BM=BN,所以 BM=MD=DN=NB,于是可判断四边形 BMDN 为菱形. 【解答】解:(1)如图,MN 为所作;
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(2)四边形 BMDN 为菱形.理由如下: ∵MN 垂直平分 BD, ∴MB=MD,NB=NC, ∵BD 平分∠MBN,BD⊥MN, ∴△BMN 为等腰三角形, ∴BM=BN, ∴BM=MD=DN=NB, ∴四边形 BMDN 为菱形. 【点评】本题考查了基本作图:作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂 直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线.也考查了菱形的判定.

21.某校九(1)班同学积极参加社团活动,每人均参加篮球、书法、舞蹈和象棋其中的一项,小明 同学调查后,整理相关数据并制作了两个不完整的统计图:

根据以上信息解答下列问题: (1)请补全条形统计图,并直接写出扇形统计图中的 m= 35

(2)学校对该班社团活动进行测评,各社团的平均得分如表: 社团 平均分 篮球 4 书法 4.5 舞动 3 象棋 4

求九(1)班社团测评的平均分.
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【考点】条形统计图;扇形统计图;加权平均数. 【分析】(1)篮球社团的人数有 8 人,所占比例为 20%,求得社团总人数,再进一步得出象棋社团 人数,进一步求得舞蹈社团人数占总人数的百分比求得 m 即可; (2)求得每个社团总分,相加得出所有社团总分,再除以总人数即可. 【解答】解:(1)8÷20%=40(人), 40﹣8﹣12﹣14=6(人), 14÷40=35% 补全条形统计图如下:

(2)(8×4+4.5×12+14×3+4×6)÷(8+12+14+6) =3.8(分) 答:九(1)班社团测评的平均分式 3.8 分. 【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问 题的关键.

22.如图,AB、CD 为两个建筑物,建筑物 AB 的高度为 60 米,从建筑物 AB 的顶点 A 处测得建筑 物 CD 的顶点 C 的俯角∠EAC=30°,测得底部 D 点的俯角∠EAD=45°. (1)求两建筑物之间水平距离 BD 的长度; (2)求建筑物 CD 的高度(结果保留根号).

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
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【分析】(1)根据题意得:BD∥AE,从而得到∠BAD=∠ADB=45°,利用 BD=AB=60,求得两建 筑物底部之间水平距离 BD 的长度为 60 米; DC 交于点 F, (2) 延长 AE、 根据题意得四边形 ABDF 为正方形, 根据 AF=BD=DF=60, 在 Rt△ AFC 中利用∠FAC=30°求得 CF,然后即可求得 CD 的长. 【解答】解:(1)根据题意得:BD∥AE, ∴∠ADB=∠EAD=45°, ∵∠ABD=90°, ∴∠BAD=∠ADB=45°, ∴BD=AB=60 米, 答:两建筑物底部之间水平距离 BD 的长度为 60 米; (2)延长 AE、DC 交于点 F,根据题意得四边形 ABDF 为正方形, ∴AF=BD=DF=60 米, 在 Rt△ AFC 中,∠FAC=30°, ∴CF=AF?tan∠FAC=60× 又∵FD=60 米, ∴CD=60﹣20 (米). )米. =20 米,

答:建筑物 CD 的高度为(60﹣20

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角 函数的定义是解题的关键.

23.如图,直线 y=x+b 和双曲线 (1)b= ﹣1 ,k= 2 ,

相交于点 A、B,且点 A 坐标为(2,1)

(2)P 为 x 轴上一点,若以 A、B、P 为顶点的三角形是直角三角形,则点 P 的坐标为 (3,0)、 (﹣3,0)、( ,0)、( ,0) .

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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)直接把 A 点坐标分别代入 y=x+b 和 中,即可求出 b 和 k 的值;

(2)联立方程求得 B 的坐标,设 P 点坐标为(t,0),根据两点间的距离公式求得 PA2=12+(t﹣2)
2 2 PB2=22+ AB2=32+32=18, ①∠APB=90°时, ②∠PAB=90°时, ③∠PBA=90° , (t+1) , 然后分类讨论:

时,根据勾股定理得关于 t 的方程,再分别解方程求出 t 的值,最后写出 P 点坐标. 【解答】解:(1)把 A(2,1)代入 y=x+b 得 1=2+b,解得 b=﹣1; 把 A(2,1)代入 y= 得,k=2×1=2; 故答案为﹣1,2; (2)解 得 或 ,

∴A(2,1),B(﹣1,﹣2), 设 P 点坐标为(t,0), ∴PA2=12+(t﹣2)2,PB2=22+(t+1)2,AB2=32+32=18, 当∠APB=90°时,则 PA2+PB2=AB2,即 12+(t﹣2)2+22+(t+1)2=18,解得 t= 坐标为( ,0)或( ,0); ,此时 P 点

当∠PAB=90°时,则 PA2+AB2=PB2,即 12+(t﹣2)2+18=22+(t+1)2,解得 t=3,此时 P 点坐标为 (3,0); 当∠PBA=90°时,则 PB2+AB2=PA2,即 22+(t+1)2+18=12+(t﹣2)2,解得 t=﹣3,此时 P 点坐标 为(﹣3,0); 综上所述,P 点坐标为(3,0)、(﹣3,0)、( 故答案为(3,0)、(﹣3,0)、( ,0)、( ,0)、( ,0). ,0);

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【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两 函数解析式.也考查了勾股定理以及分类讨论的思想.

24.一不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球,这些球除颜色不同外其余都相同,搅匀后, (1)从中一次性摸出两只球,用树状图或列表表示其中一个是红球另一个是白球的所有结果并求其 概率. (2)向袋子中放入若干个红球(与原红球相同),搅匀后,从中任取一个球是红球的概率为 ,求 放入红球的个数. 【考点】列表法与树状图法;概率公式. 【专题】应用题. 【分析】(1)先画树状图为展示所有 6 种等可能的结果数,再找出一个是红球另一个是白球的所有 结果数,然后根据概率公式求解; (2)设放入红球的个数为 x 个,根据概率公式得到 【解答】解:(1)画树状图为: = ,然后解方程即可.

共有 6 种等可能的结果数,其中一个是红球另一个是白球的所有结果数为 4, 所以其中一个是红球另一个是白球的概率= = ; (2)设放入红球的个数为 x 个, 根据题意得 = ,解得 x=5,

即放入红球的个数为 5 个. 【点评】本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n,再 从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m,然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率.

25.如图,AB 是⊙O 直径,∠DAC=∠BAC,CD⊥AD,交 AB 延长线于点 P, (1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)若 tan∠BAC= ,PB=2,求⊙O 半径.

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【考点】切线的判定. 【分析】(1)根据等腰三角形的性质和∠DAC=∠BAC,得出∠DAC=∠OCA,判定 OC∥AD,得 出∠OCP=90°,即可证得结论; (2)连接 BC,证得△ PBC∽△CPA,根据相似三角形的性质得出 = = ,根据 tan∠BAC= 得

出 PC2=PB?PA,PA=2PC,进一步求得 PC=4,设⊙O 半径为 x,则 OP=x+2,根据勾股定理列出方 程,解方程即可求得. 【解答】(1)证明:∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA,又∠DAC=∠BAC, ∴∠DAC=∠OCA, ∴OC∥AD,又 CD⊥AD, ∴∠OCP=90°, ∴PC 是⊙O 的切线; (2)解:如图,连接 BC, ∵PC 是⊙O 的切线, ∴∠PCB=∠PAC, ∵∠BPC=∠CPA, ∴△PBC∽△CPA, ∴ = = , = ,

∵tan∠BAC=

∴PC2=PB?PA,PA=2PC, ∴PC2=2PB?PC,PC=2PB=4, 设⊙O 半径为 x,则 OP=x+2, 在 RT△ OPC 中,OP2=OC2+PC2,即(x+2)2=x2+42,
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解得 x=3, ∴⊙O 半径为 3.

【点评】本题考查了切线的判定和性质三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用,作出辅助线 构建相似三角形是解题的关键.

26.国家为支持大学生创业,提供小额无息贷款,学生王芳享受政策无息贷款 36000 元用来代理品 牌服装的销售.已知该品牌服装进价每件 40 元,日销售 y(件)与销售价 x (元/件)之间的关系 如图所示(实线),每天付员工的工资每人每天 82 元,每天应支付其它费用 106 元. (1)求日销售 y(件)与销售价 x (元/件)之间的函数关系式; (2)若暂不考虑还贷,当某天的销售价为 48 元/件时,收支恰好平衡(收入=支出),求该店员工 人数; (3)若该店只有 2 名员工,则该店至少需要多少天才能还清贷款,此时,每件服装的价格应定为多 少元?

【考点】二次函数的应用. 【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式; (2)根据收入等于支出,可得一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案; (3)分类讨论 40≤x≤58,或 58≤x≤71,找出两种情况下定价为多少时,每日收入最高,再由(收入 ﹣支出)×天数≥债务,即可得出结论. 【解答】解:(1)当 40≤x≤58 时,设 y 与 x 的函数解析式为 y=k1x+b1,由图象可得:
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,解得: ∴y=﹣2x+140;



等 58<x≤71 时,设 y 与 x 的函数解析式为 y=k2x+b2,由图象得: ,解得: ∴y=﹣x+82. 综上所述:y= . .

(2)设人数为 a,当 x=48 时,y=﹣2×48+140=44, 则(48﹣40)×44=106+82a, 解得:a=3. 答:该店员工人数为 3. (3)令每日的收入为 S 元,则有: 当 40≤x≤58 时,S=(x﹣40)(﹣2x+140)=﹣2(x﹣55)2+450, 故当 x=55 时,S 取得最大值 450; 当 58<x≤71 时,S=(x﹣40)(﹣x+82)=﹣(x﹣61)2+441, 故当 x=61 时,S 取得最大值 441. 综上可知,当 x=55 时,S 取得最大值 450. 设需要 b 天,该店还清所有债务,则: (450﹣106﹣82×2)b≥3600, 解得:b≥200. 故该店至少需要 200 天才能还清贷款,此时,每件服装的价格应定为 55 元. 【点评】此题考查了二次函数的应用,利用待定系数法求函数解析式,一次方程的应用,不等式的 应用,解题的关键是根据图象分类讨论.本题属于中档题,难度不大运算量不小,该题的难点在于 (3)中极值的求取,结合(1)的关系式得出每日收入的二次函数,转化为顶点式寻找极值.

27.如图,抛物线 y=x2﹣2mx﹣3m2(m 为常数,m>0),与 x 轴相交于点 A、B,与 y 轴相交于点 C, (1)用 m 的代数式表示:点 C 坐标为 (0,﹣3m2) ,AB 的长度为 4m ;

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(2)过点 C 作 CD∥x 轴,交抛物线于点 D,将△ ACD 沿 x 轴翻折得到△ AEM,延长 AM 交抛物 线于点 N, ①求 的值;

NQ, ②若 AB=4, 直线 x=t 交线段 AN 于点 P, 交抛物线于点 Q, 连接 AQ、 是否存在实数 t, 使△ AQN 的面积最大?如果存在,求 t 的值;如果不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)令横坐标为 0 即可求出 C 点的纵坐标,将抛物线的解析式进行因式分解,可得出 A、 B 两点的坐标,从而得出 AB 的长度; (2)①先求出 D 点坐标,再根据对称性得出 M 点坐标,进而求出直线 AM 的解析式,将 AM 的解 析式与抛物线的解析式联立,解出 N 点坐标,N 点与 M 点的纵坐标之比即为答案; ②将△ AQN 的面积表示成 t 的二次函数,通过配方求最大值. 【解答】解:(1)令 x=0,则 y=﹣3m2,即 C 点的坐标为(0,﹣3m2), ∵y=x2﹣2mx﹣3m2=(x﹣3m)(x+m), ∴A(﹣m,0),B(3m,0), ∴AB=3m﹣(﹣m)=4m, 故答案为:(0,﹣3m2),4m; (2)①令 y=x2﹣2mx﹣3m2=﹣3m2, 则 x=0(舍)或 x=2m, ∴D(2m,﹣3m2), ∵将△ ACD 沿 x 轴翻折得到△ AEM, ∴D、M 关于 x 轴对称, ∴M(2m,3m2), 设直线 AM 的解析式为 y=kx+b,
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将 A、M 两点的坐标代入 y=kx+b 得:



解得:



∴直线 AM 的解析式为:y=mx+m2, 联立方程组: ,

解得:

(舍)或



∴N(4m,5m2), ∴ ②如图: ;

∵AB=4, ∴m=1, ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3,直线 AM 的解析式为 y=x+1, ∴P(t,t+1),Q(t,t2﹣2t,﹣3),N(4,5),A(﹣1,0),B(3,0) 设△ AQN 的面积为 S,则:S= = ∴t= ,S 最大. 【点评】本题是二次函数的综合题型,主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法、横坐标之关 表示水平距离、对称变换的性质、待定系数法求一次函数解析式,一次函数与二次函数图象交点的 求法、坐标系中三角形面积表示方法、配方法求二次函数最大值等众多知识,难度适中.利用过竖
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=



直直线将三角形面积分割,从而用横坐标之差与纵坐标之差来表示三角形面积的方法是近几年中考 二次函数压轴题中出现的高频考点,务必深入理解其原理并熟练掌握.

28. AB=AC, CF 为 AB 边上的高, P 为 BC 边上的一个动点, PD⊥AB, △ ABC 中, 阅读: 已知如图 (1) PE⊥AC,探究 PD、PE 和 CF 之间的关系.聪明的小强连接 AP 通过 S△ APB+S△ APC=S△ ABC,从而 发现 PD+PE=CF. 理解:小强对上述问题进一步进行探究,当点 P 在 BC 延长线上时,如图 2,其它条件不变,发现 PD﹣PE=CF,请你证明小强的这一发现. 运用(一):如图 3,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 D 落在点 B 上,点 C 落在点 C′处,P 为折痕 EF 上的任意一点,PG⊥BE,PH⊥BC,若 AD=8,CF=3,求 PG+PH 的值. E 为 AD 边上的点, CE⊥CD, 运用 (二) : 如图 4, 四边形 ABCD 中, 且 EB⊥AB, 且 AB?CE=CD?BE, M、N 分别为 AE、DE 的中点,若 AD=10,sinA= ,求△ BEM 与△ CEN 的周长之和.

【考点】四边形综合题. 【分析】运用(一):先依据矩形的性质和翻折的性质证明∠BEF=∠BFE,从而得到△ EBF 为等腰 三角形,依据例题结论可知 PG+PH=BC′,然后再在 Rt△ BFC′中依据勾股定理求得 FC′的长即可; 运用(二):先证明△ ABE∽△DCE,从而可求得∠D=∠A,由锐角三角函数的定义以及相似三角 形的对应中线的比等于相似比可求得 MB+CN= AD,然后由直角三角形斜边上中线的性质可知 MA=BM,CN=ND,从而可求得△ BEM 与△ CEN 的周长之和. 【解答】解:运用(一):过点 F 作 FM⊥BE,垂足为 M.

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∵AD∥BC, ∴∠BFE=∠DEF. 由翻折的性质可知:∠DEF=∠BEF. ∴∠BEF=∠BFE. ∴BE=BF. 由例题结论可知 GP+HP=MF. ∵∠EBC′=∠EMF=90°, ∴MF∥BC′. ∵BE∥C′F,MF∥BC′, ∴BC′=MF. ∵FC′=FC=3,BC=AD=8, ∴BF=5. ∵在 Rt△ BFC′中,BC′= ∴GP+HP=4. 运用(二):∵EB⊥AB,CE⊥CD, ∴∠ABE=∠DCE. ∵AB?CE=CD?BE, ∴ . = =4.

∴△ABE∽△DCE. ∴∠D=∠A. ∴BE= AE,EC= DE. ∴BE+EC= AD= ×10=6. ∵在 Rt△ AEB 中,M 是 AE 的中点, ∴BM=AM=ME.
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∴ME+BM=AE. 同理:EN+NC=ED. ∴△BEM 与△ CEN 的周长之和=BE+BM+ME+NC+EN+EC=(BE+CE)+(AE+DE)=6+10=16. 【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质、勾 股定理、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线的性质,证 得三角形 BEF 为等腰三角形是解答应用(一)的关键,找出△ BEM 与△ CEN 的周长之和与 AD 的 长度的关系是解答应用(二)的关键.

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