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[推荐学习]2018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案:第2章 2.3 第一课时 利用数学

[推荐学习]2018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案:第2章 2.3 第一课时 利用数学

[k12]

2.3

数学归纳法

第一课时

利用数学归纳法证明等式、不等式问题

[对应学生用书 P48]

在学校,我们经常会看到这样的一种现象:排成一排的自行车,如果一个同学将第一 辆自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下. 问题 1:试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件? 提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆 倒下. 问题 2:利用这种思想方法能解决哪类数学问题? 提示:一些与正整数 n 有关的问题.

数学归纳法 一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:如果 (1)当 n 取第一个值 n0(例如 n0=1,2 等)时结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 那么,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.

数学归纳法的两个步骤之间的联系: 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可, 只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得不出正确的结论,因为单靠步骤(1),无法 递推下去,即 n 取 n0 以后的数时命题是否正确,我们无法判断.同样只有步骤(2)而缺少步 骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步 骤(2)也就没有意义了.

[对应学生用书P48]

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[k12] 用数学归纳法证明恒等式 [例 1] 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +…+ - = + +…+ . 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2 [思路点拨] 等式的左边有 2n 项,右边共有 n 项,f(k)与 f(k+1)相比左边增二项,右 边增一项,而且左右两边的首项不同.因此,从 n=k 到 n=k+1 时要注意项的合并. 1 1 [精解详析] (1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 1 右边= ,命题成立. 2 (2)假设当 n=k 时命题成立,即 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +…+ - = + +…+ , 2 3 4 2 k 2 k 2k-1 k+1 k+2 那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 左边=1- + - +…+ - + - = + +…+ + - 2 3 4 2k 2k+1 2k-1 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+2 1 2k+2 = 1 1 1 1 1 + +…+ + + . 2k 2k+1 2k+2 k+2 k+3 1 1 1 1 1 + +…+ + + , 2k 2k+1 2k+2 k+2 k+3

右边=

左边=右边, 上式表明当 n=k+1 时命题也成立. 由(1)和(2)知,命题对一切非零自然数均成立. [一点通] (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题,关键在于“先看项”, 弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关.由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项. (2)证明 n=k+1 时成立,必须用到假设 n=k 成立的结论.

1.用数列归纳法证明:当 n∈N*时, -1+3-5+ … +(-1)n(2n-1)=(-1)n· n. 证明:(1)当 n=1 时,左边=-1,右边=-1, 所以左边=右边,等式成立.

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[k12] (2)假设当 n=k(k>1,k∈N*)时等式成立, 即-1+3-5+ … +(-1)k(2k-1)=(-1)k· k. 那么当 n=k+1 时, -1+3-5+ … +(-1)k(2k-1)+(-1)k+1· (2k+1) =(-1)k· k+(-1)k+1(2k+1) =(-1)k+1(-k)+(-1)k+1(2k+1) =(-1)k+1(2k+1-k) =(-1)k+1(k+1) 这就是说 n=k+1 时等式也成立, 由(1)(2)可知,对任何 n∈N*等式都成立. 2.用数学归纳法证明: 12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1). 证明:(1)当 n=1 时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3, 所以左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k 时等式成立, 即 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立. 则当 n=k+1 时, 左边=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+[2(k+1)-1]2-[2(k+1)]2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2 =(2k+1)(k+1)-4(k+1)2 =(k+1) [2k+1-4(k+1)]=(k+1)(-2k-3) =-(k+1)[2(k+1)+1]=右边, 所以当 n=k+1 时,等式成立. 由(1)(2)可知对于任意正整数 n,等式都成立. 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 5 [例 2] 求证: + +…+ > (n≥2,n∈N*). 3n 6 n+1 n+2 最新 K12

[k12] [思路点拨] 运用数学归纳法证明,证明时仔细观察不等式的结构特征,在第二步证明 当 n=k+1 时,如何进行不等式的变换是关键.另外,要注意本题 n 的初始值为 2. [精解详析] (1)当 n=2 时, 1 1 1 1 57 5 左边= + + + = > ,不等式成立. 3 4 5 6 60 6 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立, 即 1 1 1 5 + +…+ > , 3k 6 k+1 k+2

则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 + +…+ + + + 3k 3k+1 3k+2 3k+3 ?k+1?+1 ?k+1?+2 = 1 1 1 1 1 1 + + … + + ?3k+1+3k+2+3k+3 3k ? k+1 k+2 - 1 ? 5 k+1? > 6 +

? 1 + 1 + 1 - 1 ?>5+?3× 1 - 1 ?=5, ?3k+1 3k+2 3k+3 k+1? 6 ? 3k+3 k+1? 6
所以当 n=k+1 时不等式也成立. 由(1)(2)可知原不等式对一切 n≥2,n∈N*都成立. [一点通] 利用数学归纳法证明与 n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一, 应用 过程中注意: (1)证明不等式的第二步即从 n=k 到 n=k+1 的推导过程中要应用归纳假设, 有时需要 对目标式进行适当的放缩来实现; (2)与 n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可,还经常用到不等式证 明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等.

3.用数学归纳法证明不等式

1 1 1 13 + + … + > 的过程中,由 n=k 推导 n n+1 n+2 n+n 24

=k+1 时,不等式的左边增加的式子是________. 1 1 1 解析:n=k,左边= + + … , k+1 k+2 k+k n=k+1 时, 左边= 1 1 1 1 + + … + k+2 k+3 k+1+k k+1+k+1

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[k12] = = 1 1 1 1 1 1 1 + + + …+ + + - k+1 k+2 k+3 k+k 2k+1 2?k+1? k+1 1 1 1 1 + + … + + . k+1 k+2 k+k ?2k+1??2k+2? 1 ?2k+1??2k+2?

答案:

n-2 1 1 1 1 4.求证 + + +…+ n > (n≥2 且 n∈N*). 2 3 4 2 2 -1 2-2 1 1 5 证明:当 n=2 时,左边= + = ,右边= =0,左边>右边,此时不等式成立. 2 3 6 2 假设当 n=k(k≥2 且 k∈N*)时,不等式成立, k-2 1 1 1 1 即 + + +…+ k > . 2 3 4 2 2 -1 k-2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时, + + +…+ k + k+ k +…+ k 1 > + k+ k +… 2 3 4 2 2 2 + 2 -1 2 +1 2 -1 2 +1 + k-2 k-2 2k k-2 1 1 1 1 1 > + + + … + = + k 1= + 2 2 2 2 2· 2k-1 2k+1 2k+1 2k+1 2+ = k-1 ?k+1?-2 = , 2 2

即当 n=k+1 时,不等式也成立. 综上所述,对任何 n≥2 且 n∈N*,不等式都成立. 5.证明不等式 1+ 1 1 1 + +…+ <2 n(n∈N*). n 2 3

证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=2 1=2. 显然命题成立. (2)假设 n=k 时命题成立, 即 1+ 1 1 1 + +…+ <2 k. k 2 3

则当 n=k+1 时, 1+ 1 1 1 + +…+ + k 2 3 <2 k+ k+1 1 1 k+1

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[k12] 2 k· k+1+1 k+?k+1?+1 < k+1 k+1 2?k+1? =2 k+1 k+1





这就是说,当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据(1)(2),可知不等式对任意正整数 n 都成立.

应用数学归纳法时应注意的问题 (1)第一步的验证,对于有些问题验证的并不是 n=1,有时需验证 n=2,n=3 甚至需 要验证 n=10,如证明:对足够大的正整数 n,有 2n>n3,就需要验证 n=10 时不等式成立. (2)n=k+1 时式子的项数,特别是寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时,项数发生什么变化 容易被弄错. 因此对 n=k 与 n=k+1 这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明 问题的保障. (3)“假设 n=k(k≥1)时命题成立,利用这一假设证明 n=k+1 时命题成立”,这是应 用数学归纳法证明问题的核心环节,因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否 则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整,注意证明过程 中的严谨性、规范性.

[对应课时跟踪训练(十八)]

一、填空题 1.用数学归纳法证明:“1+a+a +…+a 成立时,左边=________. 解析:因为左边式子中 a 的最高指数是 n+1,所以当 n=1 时,a 的最高指数为 2,根 据左边式子规律可得,当 n=1 时,左边=1+a+a2. 答案:1+a+a2 2.用数学归纳法证明关于 n 的恒等式,当 n=k 时,表达式为 1×4+2×7+…+k(3k +1)=k(k+1)2,则当 n=k+1 时,表达式为________. 答案:1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 1 1 1 127 3.用数学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n-1> (n∈N*)成立,其初始值至少应取 2 4 64 2 ________. 最新 K12
2 n+1

1-an 2 = (a≠1,n∈N*)”,在验证 n=1 1-a


[k12] 1?n 1-? ?2? 1 1 1 1 解析:左边=1+ + +…+ n 1= =2- n 1代入验证可知 n 的最小值为 8. 2 4 1 - 2 2- 1- 2 答案:8 4.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某学生证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立; (2)假设 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 ?k+1?2+?k+1?= k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2= (k+1)+1,所以当 n=k+1 时,命题成立. 上述证法的错误在于_______________________________________________________. 答案:没有用归纳假设 5. 用数学归纳法证明: “(n+1)(n+2)· …· (n+n)=2n· 1· 3· …· (2n-1)”. 从“k 到 k+1” 左端需增乘的代数式为________. 解析:当 n=k 时左端的第一项为(k+1),最后一项为(k+k),当 n=k+1 时,左端的第 一项为(k+2),最后一项为(2k+2), 所以左边乘以(2k+1)(2k+2),同时还要除以(k+1). 答案:2(2k+1) 二、解答题 6.用数学归纳法证明: 1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N*). 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,命题成立. (2)假设 n=k(k≥1,k∈N*)时,命题成立,即 1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k. 则当 n=k+1 时,1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1) =2k2-k+(4k+1) =2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1). 所以当 n=k+1 时,命题成立. 综上所述,原命题成立. 7.用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1)+(2n-3)+…+5+3+1=2n2 -2n+1(n∈N*). 最新 K12 k2+k<k+1(k∈N*),则当 n=k+1 时,

[k12] 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,等式成立; (2)假设 n=k(k∈N*)时等式成立,即 1+3+5+…+(2k-3)+(2k-1)+(2k-3)+…+5+3+1=2k2-2k+1. 则 n=k+1 时,左边=1+3+5+…+(2k-3)+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k-3) +…+5+3+1 =2k2-2k+1+(2k+1)+(2k-1) =2k2+2k+1 =2(k+1)2-2(k+1)+1, ∴n=k+1 时,等式成立, 由(1)(2)知,等式对任何 n∈N*都成立. 1 1+ ? 8.用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式? ? 3?

?1+1?…?1+ 1 ?> 2n+1均成立. ? 5? ? 2n-1? 2
1 4 5 证明:(1)当 n=2 时,左边=1+ = ;右边= . 3 3 2 ∵左边>右边,∴不等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N*)时,不等式成立,即 1 ? 2k+1 ?1+1??1+1?…? 1+ ?> 2 . ? 3?? 5? ? 2 k - 1 ? ? 则当 n=k+1 时, 1 ?? 1 ? ?1+1??1+1?…? 1+ 1+ ? ? ? ? 3?? 5? ? 2k-1?? 2?k+1?-1? ? > 2k+1 2k+2 · 2 2k+1 2k+2 2 = 2k+1 2 4k2+8k+4 2k+1 4k2+8k+3 2 2k+1



>



2k+3 2

2k+1 = 2k+1

2?k+1?+1 . 2

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[k12] 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立.

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