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黑龙江省大庆实验中学2019届高三数学上学期第一次月考试题文

黑龙江省大庆实验中学2019届高三数学上学期第一次月考试题文


黑龙江省大庆实验中学 2019 届高三数学上学期第一次月考试题 文
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在题目给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求.

? ? ? ? 1.已知全集 U=R,集合 A ? x y ? lg? x ?1? ,集合 B ? y y ? x2 ? 2x ? 5 ,则 A∩B=

()

A.?

B.(1,2]

C.[2,+∞)

2.若函数 f(x)=?????xl2g+x,1,x>x1≤,1, 则 f(f(10))= (

)

A.lg101

B.2

C.1

3.命题“ ?x ? R, x3 ? 3x ? 0 ”的否定为( )

D.(1,+∞) D.0

A. ?x ? R,x3 ? 3x ? 0

B. ?x ? R,x3 ? 3x ? 0

C. ?x0 ? R,x03 ? 3x0 ? 0

D. ?x0 ? R,x03 ? 3x0 ? 0

4.已知函数

f

?x?

?

cos

? ??

?

x

?

?? 6

? ??

(?

?

0)

的最小正周期为 ?

,则函数

f

? x? 的图象(



A.可由函数 g ? x? ? cos2x 的图象向左平移 ? 个单位而得
3

B.可由函数 g ? x? ? cos2x 的图象向右平移 ? 个单位而得
3
C.可由函数 g ? x? ? cos2x 的图象向左平移 ? 个单位而得
6

D.可由函数 g ? x? ? cos2x 的图象向右平移 ? 个单位而得
6

5.函数 y=2- -x2+4x的值域是 ( )

A.[-2,2]

B.[1,2]

C.[0,2]

D.[- 2, 2]

-1-

6.若 e1,e2 是夹角为 60? 的两个单位向量,则向量 a ? e1 ? e2, b ? ?e1 ? 2e2 的夹角为( )

A. 30?

B. 60?

C. 90?

D. 120?

7.已知 f ? x? ? ax3 ? bx ? 2?ab ? 0?, 若 f ?2018? ? k ,则 f ?-2018? ? ( )

A. k

B. ?k

C. 4-k

D. 2-k

8.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,在(-3,-2)上为减函数,对? x∈R 都有 f(2-x)=f(x), 若 A,B 是钝角三角形 ABC 的两个锐角,则( )

A.f(sinA)<f(cosB)

B.f(sinA)>f(cosB)

C.f(sinA)=f(cosB)

D.f(sinA)与 f(cosB)的大小关系不确定

9.已知 sin???α +π3 ???+sinα =-4 5 3,-π2 <α <0,则 cos???α +23π ??? = (

)

4 A.-5

4 B. 5

3 C. - 5

D.

3 5

10.△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 AB ? AC ? 2AO ,且 OA ? AC ,则向量 BA

在向量 BC 方向上的投影为( )

3

3

A. 2

B. 2

C.3

3 D.- 2

11.已知 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ????,0? 时,不等式 f ? x? ? xf ' ? x? ? 0 成立,

若 a ? ? f ?? ?, b ? ??2? f ??2?,c ? f ?1?,则 a,b, c 的大小关系是 ( )

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b

12.函数

f

?x?

?

x ex

,方程

??

f

? x???2

?

?m

?1?

f

?x?

?1?

m

?

0



4

个不相等实根,则

m

的取

值范围是( )

A.

? ? ?

e2 e2

? ?

e e

? ,1?
?

B.

? e2 ? e ?1 ?

? ?

e2 ? e

, ?? ? ?

C.

? e2 ? e ?1 ?

? ?

e2 ? e

,1? ?

D.

? ? ?

e2 e2

? ?

e e

,

??

? ? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

-2-

13.已知向量 a ? ?2, ?4?,b ? ??3, ?4? ,则向量 a 与 b 夹角的余弦值为_________.

14.已知函数 f ? x? ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ?a,b? R? 且函数 f ? x? 在 x ?1处有极值 10,则实数
b 的值为 _______.

15.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B, C 所对的边,若 csinA=-acosC,则 3sinA -cos???B+34π ???的取值范围是________.
16. 设 函 数 f ? x? 是 定 义 在 ( - ∞ , 0) 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f ' ? x? , 且 有 2 f ? x? ? xf ' ? x? ? x2 , 则 不 等 式 ? x ? 2 0 1 ?42 f ? x? 2 0?1 4? f?4 ?? 2? 的 0解 集 为
________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.(本小题 10 分)已知函数

f

? x? ? sin??x ??? ????

? 0, ?

?

? 2

? ??

的部分图象如图所示.

(1)求函数 f ? x? 的解析式;

(2)已知△ABC 的内角分别是 A、B、C,其中 A 为锐角,且

f

? ??

A 2

?

? 12

? ??

?

1 2

,cosB=45,

求 sinC 的值.

18.(本小题 12 分)在 ?ABC 中, B ? ? , BC ? 2 . 3

(1)若 AC ? 3,求 AB 的长;

(2)若点 D 在边 AB 上, AD ? DC , DE ? AC ,

E 为垂足, ED ? 6 ,求角 A 的值. 2

-3-

19. (本小题 12 分)已知函数 f ?x? ? sin 2 ?x ? cos2 ?x ? 2 3 sin ?x cos?x ? ? 的图像关于
直线 x ? ? 对称,其中?, ? 为常数且? ? ?? 1 ,1?? . ?2 ?
(1)求 f ?x? 的最小正周期.

(2)若函数

f

?x? 的图像经过点 ?? ?
?4

,0 ?? ?

,求

f

?x? 在

???0,

3? 5

? ??

上的值域.

20.(本小题

12

分)在△ABC

中,已知

sinB=

7 cosA cosC 4 4 ,sinA+sinC=

7

7 ,

(1)求证:sinAsinC=sin2B

(2)若内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,求证:0<B≤π3 ;

(3)若B→A·B→C=32,求|→BC+→BA|.

21.(本小题 12 分)设函数 f (x) ? ?x2 ? ax ? 2(x2 ? x) ln x .

(1)当 a ? 2时,讨论函数 f (x) 的单调性; (2)若 x ? (0,??) 时, f (x) ? 0 恒成立,求整数 a 的最小值.

22.(本小题 12 分)设 k ? R ,函数 f (x) ? ln x ? kx .

(1)若 k ? 2 ,求曲线 y ? f (x) 在 P(1, ?2) 处的切线方程;

(2)若 f (x) 无零点,求实数 k 的取值范围;

-4-

大庆实验中学高三月考试题答案(文科数学)

1----5 CBCDC 6----10 BCABA 11---12AC

5 13. 5

14. -11

15. ???1,

6+ 2

2???

16. (-∞,-2 016)

17.解:(1)由周期12T=23π -π6 =π2 ,得 T=π =2ωπ ,所以 ω =2…………….2

当 x=π6 时,f(x)=1,可得 sin???2·π6 +φ ???=1.

因为|φ |<π2 ,所以 φ =π6 .故 f(x)=sin???2x+π6 ???……………………………4

f(x)的单调递减区间为???kπ +π6 ,kπ +2π3 ??? ,k∈Z………………………6 (2)由(1)可知,sin???2???A2-π12???+π6 ???=1,即 sinA=12,又因为 A 为锐角

∴A=π6 ………………………………………………………………..8

∵0<B<π ,∴sinB= 1-cos2B=35…………………………………10

∴sinC=sin(π -A-B)=sin(A+B),

=sinAcosB+cosAsinB=12×45+

3 3 4+3 2 ×5= 10

3 …………………12

18. 解:设 AB ? x ,则由余弦定理有: AC2 ? AB2 ? AC2 ? 2AB ? AC cos B

即 32 ? 22 ? x2 ? 2x ? 2cos 60 解得: x ? 6 ?1 所以 AB ? 6 ?1. …….6 分

(2)因为 ED ? 6 ,所以 AD ? DC ? ED ? 6 .

2

sinA 2sinA

在 ?BCD 中,由正弦定理可得: BC ? CD , sin?BDC sinB

因为 ?BDC ? 2?A ,所以 2 ?

6.

sin2A 2sinAsin60?

所以 cosA ? 2 ,所以 A ? ? ………………………12 分

2

4

-5-

19. 解:(1) f ? x? ? sin2 ?x ? cos2 ?x ? 2 3 sin?x cos?x ? ?

? 3 sin 2?x ? cos 2?x ? ?

?

2

sin

? ??

2?

x

?

? 6

? ??

?

?

……………………………………2

由已知, f ? x? 的图像关于直线 x ? ? 对称

当 x ? ? 时, 2? ?? ? ? ? k? ? ? ?k ? Z ?

6

2

解得? ? k ? 1 ?k ? Z ?
23

又? ? ?? 1 ,1?? ?? ? 5

?2 ?

6 …………………………………………………………………………..4

?

f

?

x?

?

2 sin

? ??

5 3

x

?

? 6

? ??

?

?

?T ? 6? 5 …………………………………………………………………………………………….

6

?2?

由已知

f

? ??

? 4

? ??

?

2

sin

? ??

5 3

?

? 4

?

? 6

? ??

??

?

2?? ?0

?? ? ? 2

……………………………..8

x

?

???0,

3 5

?

? ??

?

5 3

x

?

? 6

?

????

? 6

,

5? 6

? ??

?

2 sin

? ??

5 3

x

?

? 6

? ??

?

2 ? ???1?

2, 2 ?

2 ??

?值域是 ???1? 2, 2 ? 2 ?? ……………………………………………………………………12

cosA cosC cosAsinC+cosCsinA

20.解:(1)因为sinA+sinC=

sinAsinC

A+C

sinB 4 7 1

= sinAsinC =sinAsinC= 7 =sinB,

所以 sinAsinC=sin2B………………………………………………………3

(2)由正弦定理可得,b2=ac.因为 b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB,

当且仅当 a=c 时等号成立.

-6-

所以 cosB≥12,即 0<B≤π3 ……………………………………………….6

(3)因为

sinB=

7 4 ,且

a,b,c

成等比数列,所以

B

不是最大角,

于是 cosB= 1-sin2B=

73 1-16=4.

所以32=→BA·→BC=cacosB=34ac,得 ac=2,…………………………….8

又 b2=ac,因而 b2=2.

由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB

=(a+c)2-2ac-2accosB,

所以(a+c)2=9,即 a+c=3………………………………………………………10

→→

→→

所以|BC+BA|2=a2+c2+2BC·BA=a2+c2+2accosB=(a+c)2-2ac+2accosB=9-4+

2×2×34=8,即|→BC+→BA|=2 2………………………………………………12

21.解:(1)由题意知 f (x) 的定义域为 (0,??) ,

f '(x) ? ?2x ? 2 ? (4x ? 2) ln x ? 2x ? 2 ? (4x ? 2) ln x .

∴当 0 ? x ? 1 时, f '(x) ? 0 ;当 1 ? x ? 1时, f '(x) ? 0 ;当 x ?1时, f '(x) ? 0 .

2

2

∴函数 f (x) 在 (0, 1 ) , (1,??) 上为增函数,在 ( 1 ,1) 上为减函数……………………4

2

2

(2) f (x) ? 0 恒成立,即 ? x2 ? ax ? 2(x2 ? x) ln x ? 0 恒成立.

∵ x ? 0 ,∴不等式可化为 ? x ? a ? 2(x ?1) ln x ? 0 ,

即 a ? x ? 2(x ?1) ln x ,令 g(x) ? x ? 2(x ?1) ln x ,则 a ? g(x)max ,………………6

g'(x) ? 1? 2(x ?1) ? 2 ln x ? ?1? 2 ln x ? 2 ,

x

x

∵ g'(x) 在 (0,??) 上为减函数,且 g'(1) ? 1 ? 0 , g'(2) ? ?2 ln 2 ? 0 ,

-7-

∴ g'(x) 在 (1,2) 上存在唯一的一个零点 x0 ,即 ?1 ? 2 ln

x0

?

2 x0

?

0 ,即

2 ln

x0

?

?1 ?

2 x0

…………………………………………………………………………8

g(x)max

?

g(x0 )

?

x0

?

2( x0

?1) ln

x0

?

x0

? (x0

?1)(?1 ?

2 x0

)

?

2 x0

?

2 x0

?3,

∴a

?

2x0

?

2 x0

? 3 …………………………………………………………………10

∵ x0

? (1,2) ,且

y

?

2x0

?

2 x0

? 3 在 (1,2) 上为增函数,则

y

?

2 x0

?

2 x0

? 3? (1,2) ,

又∵ a ? Z ,∴ amin ? 2 ……………………………………………………………12

22.解:(1)函数的定义域为 (0, ??) , f '(x) ? 1 ? k ? 1? kx ,

x

x

当 k ? 2 时, f '(1) ? 1? 2 ? ?1,则切线方程为 y ? (?2) ? ?(x ?1) ,

即 x ? y ?1 ? 0 .………………………………………………………………………4

(2)①若 k ? 0 时,则 f '(x) ? 0 , f (x) 是区间 (0, ??) 上的增函数,

∵ f (1) ? ?k ? 0, f (ek ) ? k ? kea ? k(1? ek ) ? 0 ,

∴ f (1) ? f (ek ) ? 0 ,函数 f (x) 在区间 (0, ??) 有唯一零点;

②若 k ? 0 , f (x) ? ln x 有唯一零点 x ?1 ;……………………………………8

③若 k ? 0 ,令 f '(x) ? 0 ,得 x ? 1 , k
在区间 (0, 1 ) 上, f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 是增函数; k
在区间 ( 1 , ??) 上, f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 是减函数; k

-8-

故在区间 (0, ??) 上, f (x) 的极大值为 f ( 1) ? ln 1 ?1 ? ? ln k ?1, kk

由于

f (x) 无零点,又

f (e k)

?k

?ke a ?k (1?e k) ? 0

,所以须使

f ( 1) ? ?ln k ?1 ? 0 ,解得 k

k ?1, e

故所求实数 k 的取值范围 (1 , ??) .………………………………………………12 e

-9-


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