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江西省吉安县第三中学北师大版高中数学选修2-1学案:2.3空间向量基本定理及正交分解 Word版缺答案

江西省吉安县第三中学北师大版高中数学选修2-1学案:2.3空间向量基本定理及正交分解 Word版缺答案

《§2.3.1 空间向量的标准正交分解及坐标表示

2.3.2 空间向量基本定理》导学提纲

设计人:汪洁 审核人:高二数学组

姓名_______ 小组________使用时间_____________

【学习目标】

重点:空间向量的正交分解与坐标表示.

难点:向量坐标的确定及空间向量基本定理.

一、预习导航,要点指津

复习引入

1(如图 1)如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那



对于这一平面内的任一向量 a,存在唯一一对实数 λ1,λ2,使 a=

(如图②),其中不共线的向量

e1 和 e2 叫作表示这个平面内所有向量的一组



2 平面向量基本定理的理解:

如果 e1,e2 是平面α 内所有向量的一组基底,λ 、μ 是实数,

(1)若λ ,μ 满足λ e1+μ e2=0,则λ =μ =0;

(2)对于平面α 内任意一个向量 a,使得 a=λ e1+μ e2 成立的实数λ ,μ 是唯一的;

(3)线性组合λ e1+μ e2 可以表示平面α 内的所有向量;

3 性质定理:A,B,C 三点共线 ? 任取点 O,___________________________

? 任取点 O,___________________________

4 在平面直角坐标系中,分别取与

方向相同的两个

i, j 作为基底,a 为坐标平面内的

任意向量,以坐标原点 O 为起点作 OP =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y 使得 OP



,因此 a=

,把实数对

叫作向量 a 的坐标,记作 a=



二、自主探索,独立思考(类比平面向量基本定理填空)

1.如果向量 e1、e2、e3 是空间三个

的向量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数 λ1、λ2、λ3,

使得 a=______________ ,空间中不共面的三个向量 e1、e2、e3 叫作这个空间的一个

,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3

表示向量 a 关于基底 e1、e2、e3 的

,e1、e2、e3 都叫作基向量.

2.空间向量的标准正交分解与坐标表示

在给定的空间直角坐标系中,i,j,k 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向上的单位向量,对于空间任意向量 a,

存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得 a=_____________.我们把 a=______________叫作 a 的标准正

交分解,把 i,j,k 叫作标准正交基.__________叫作空间向量 a 的坐标,记作 a=

,a=

______________叫作向量 a 的坐标表示.

3.在空间直角坐标系中,点 P 的坐标为(x,y,z), OP 向量的坐标也是

.

4.在空间直角坐标系中,已知 P (x1, y1, z1) ,Q (x2 , y2 , z2 ) ,则 PQ ? ____________________

5.一般地,若 b0 为 b 的单位向量,称 a·b0=|a|cos〈a,b〉为向量 a 在向量 b 上的 等于它在坐标轴方向上的

.向量的坐标

三、小组合作探究,议疑解惑 例 1 如图 2-3-5,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,AD=A1A=2, 求(1)向量 AC1 在 AD1 上的投影. (2)向量 AC1 在 CD 上的投影.

例 2 已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任一点 O, OM ? xOA ? 1 OB ? 1 OC 则 x=_____ 32

例 3.已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N,分别是对边 OA,BC 的中点,点 P,Q 是线段

MN

三等分点,用基向量

?
OA,

?
OB,

?
OC

,表示向量.

?
OP,

?
OQ

O

M

A

Q PC

N

B

四、展示你的收获

由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法、

知识技巧。(即学习成果)

五、重、难、疑点评析:由教师归纳总结点评

六、达标检测[

?

?

?

空间四边形 OABC 中,G,H 分别是△ABC、△OBC 的重心,设 OA ? a,OB ? b,OC ? c ,试

?

?

用向量 a,b, c 表示向量 OG 和 GH


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