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2019最新人教A版高中数学必修五课件1-2-1优质课件_图文

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成才之路·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
解三角形

第一章
1.2 应用举例

第一章
第 1 课时 距离问题

课前自主预习

正、余弦定理解应用题的步骤: 1.分析:读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求, 准确理解应用题中的有关术语、名称,如方向角、方位角、基线 等,理清量与量之间的关系; 2.建模:根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形 模型; 3.求解:合理选择正弦定理和余弦定理求解; 4.检验:将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的 单位、结果要求近似等.

碧波万顷的大海上,“蓝天号”渔轮在 A 处进行海上作业, “白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20n mile 的 B 处.现在“白云号”以 10n mile/h 的速度向正北方向行驶,而 “蓝天号”同时以 8 n mile/h 的速度由 A 处向南偏西 60°方向行驶, 经过多少小时后,“蓝天号”和“白云号”两船相距最近?本节 将用正、余弦定理解决此问题.

1.方位角
定义:从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫 __方__位__角____.

已知目标 A 的方位角为 135°,请画出其图示. [解析] 如图所示:

2.方向角
定义:从指定方向线到目标方向线所成的小于 90°的水平角叫 方__向__角____.

请分别画出北偏东 30°,南偏东 45°的方向角. [解析] 如图所示:

3.基线 在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做_基__线___.在 测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有 较高的准确度.一般来说,基线越__长___,测量的精确度越高.

课堂典例讲练

可到达的两点的距离问题
如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直 角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E,AB=2.

(1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE. [分析] 由三角形的性质可求出∠CBE 的度数,从而可解 出 cos∠CBE 的值;求 AE,可在△ABE 中利用正弦定理求得.

[解析] (1)∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,所

以∠CBE=15°,

∴cos∠CBE=cos(45°-30°)



6+ 4

2 .

(2)在△ABE 中,AB=2,故由正弦定理,得

sin?45A°E-15°?=sin?90°2+15°?,

∴AE=2csoisn1350°°=

2×12 6+

= 2

6-

2.

4

在△ABC 中,已知 A=45°,cosB=45. (1)求 cosC 的值; (2)若 BC=10,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

[解析]

(1)∵A=45°,∴cosA=

22,sinA=

2 2.

又∵cosB=45,∴sinB=35.

∴cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB

=-45×

22+

22×35=-

2 10 .

(2)由(1)知 cosC=-102,∴sinC=7102,

由正弦定理,得sAinBC=sBinCA,

10×7 2

∴AB=

10 2

=14.

2

∴BD=7.

在△BCD 中,由余弦定理,得 CD2=BC2+BD2-2BC·BDcosB =100+49-2×10×7×45 =37, ∴CD= 37.

正、余弦定理在生产、生活中不易到达点测距 中的应用 要测量河对岸两个建筑物 A、B 之间的距离,
选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ACB=75°,∠ BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距离.

[解析] 在△ACD 中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=

30°,

∴AC=CD= 3 km.

在△BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,

∴BC=

s3isni6n07°5°=

6+ 2

2 .

在△ABC 中,由余弦定理,得

AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB

=(

3)2+(

6+ 2

2)2-2

6+ 3· 2

2·cos75°=5.

∴AB= 5(km).

答:A、B 之间的距离为 5 km.

如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在 的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m,∠ACB=45°, ∠CAB=105°后,就可以计算 A、B 两点的距离为( )

A.50 2m C.25 2m [答案] A

B.50 3m 25 2
D. 2 m

[解析] 由题意知∠ABC=30°,

由正弦定理得,sin∠ACABC=sin∠ABACB,

∴AB=ACsi·nsi∠n∠ABACCB=50×1

2 2 =50

2(m).

2

正、余弦定理在航海距离测量上的应用
如图所示,海中小岛 A 周围 38n mile 内有暗礁, 一船正向南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30°,航行 30n mile 后,在 C 处测得小岛在船的南偏东 45°,如果此船不 改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?

[分析] 船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于 A 到 直线 BC 的距离与 38n mile 的大小,于是我们只要先求出 AC 或 AB 的大小,再计算出 A 到 BC 的距离,将它与 38n mile 比 较大小即可.

[解析] 在△ABC 中,BC=30,B=30°,∠ACB=135°, ∴∠BAC=15°, 由正弦定理,得sBinCA=sAinCB即:sin3105°=siAn3C0°, ∴AC=60cos15°=60cos(45°-30°) =60(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=15( 6+ 2) ∴A 到 BC 的距离为 d=ACsin45°=15( 3+1), ≈40.98n mile>38n mile,所以继续向南航行,没有触礁危 险.

如图所示,a 是海面上一条南北方向的海防警戒线,在 a 上点 A 处有一个水声监测点,另两个监测点 B、C 分别在 A 的 正东方 20 km 处和 54 km 处.某时刻,监测点 B 收到发自静止 目标 P 的一个声波,8 s 后监测点 A、20 s 后监测点 C 相继收 到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是 1.5 km/s.

(1)设 A 到 P 的距离为 x km,用 x 表示 B,C 到 P 的距离, 并求 x 的值;
(2)求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离.(结果精确到 0.01 km)
[分析] (1)PA,PB,PC 长度之间的关系可以通过收到信 号的先后时间建立起来;
(2)作 PD⊥a,垂足为 D,要求 PD 的长,只需要求出 PA 的长和 cos∠APD,即 cos∠PAB 的值.由题意,PA-PB,PC -PB 都是定值,因此,只需要分别在△PAB 和△PAC 中,求 出 cos∠PAB,cos∠PAC 的表达式,建立方程即可.

[解析] (1)依题意,PA-PB=1.5×8=12(km),PC-PB =1.5×20=30(km).因此
PB=(x-12)km,PC=(18+x)km. 在△PAB 中,AB=20 km, cos∠PAB=PA2+2PAAB·A2-B PB2
=x2+2022-x·2?0x-12?2 =3x+5x32.

同理,cos∠PAC=723-x x. 由于 cos∠PAB=cos∠PAC, 即3x+5x32=723-x x,解得 x=1372(km). (2)作 PD⊥a,垂足为 D.在 Rt△PDA 中, PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB =x·3x+5x32=3×13752+32≈17.71(km). 答:静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17.71 km.

名师辨误做答

某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向,由城 A 出发的一条公路,走向是南偏东 40°,在 C 处测得公路上 B 处有一人,距 C 为 31km,正沿公路向 A 城走去,走了 20km 后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21km,问:这人还要走多 少千米才能到达 A 城?

[错解] 本题为解斜三角形的应用问题,要求这人走多少 路才可到达 A 城,即求 AD 的长,
在△ACD 中,已知 CD=21km, ∠CAD=60°,只需再求出一个量即可. 如图,设∠ACD=α,∠CDB=β,

在△CBD 中,由余弦定理,得 cosβ=BD2+2BCDD·C2-D CB2=2022×+2201×2-23112=-17,

∴sinβ=4

7

3 .

∴在△ACD

中,sin?1A80C°-β?=sin2610°=

21 , 3

2

∴AC=21×3 2×473=24,

∴CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos60°,

即 212=242+AD2-2×24×12·AD, 整理,得 AD2-24AD+135=0, 解得 AD=15 或 AD=9, 答:这个人再走 15km 或 9km 就可到达 A 城. [辨析] 本题在解△ACD 时,利用余弦定理求 AD,产生 了增解,应用正弦定理来求解.

[正解] 如图,令∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD 中, 由余弦定理得

cosβ=BD2+2BCDD·C2-D CB2=2022×+2201×2-23112=-17,

∴sinβ=4

3 7.

又 sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ =473×12+ 23×17=5143, 在△ACD 中,sin2610°=sAinDα, ∴AD=21si×n6s0in°α=15(km). 答:这个人再走 15km 就可以到达 A 城.

课后强化作业(点此链接)


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