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2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案新人教B版必修2

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案新人教B版必修2

2.1.2 学习目标 平面直角坐标系中的基本公式 1.理解两点间的距离的概念,掌握两点间的距离公式,并会求两点间的距离.2. 理解坐标法的意义,并会用坐标法研究问题. 知识点一 两点的距离公式 已知平面上两点 A(x1,y1),B(x2,y2). 思考 1 当 x1≠x2,y1=y2 时,d(A,B)=? 思考 2 当 x1=x2,y1≠y2 时,d(A,B)=? 思考 3 当 x1≠x2,y1≠y2 时,d(A,B)=?请简单说明理由. 梳理 两点间的距离公式 A(x1,y1),B(x2,y2)两点之间的距离公式 d(A,B)=|AB|=________________; 当 AB 垂直于 y 轴时,d(A,B)=________; 当 AB 垂直于 x 轴时,d(A,B)=________; 当 B 为原点时,d(A,B)=________. 知识点二 中点坐标公式 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),点 M(x,y)是线段 AB 的中点,则 x= ________,y=________ 类型一 两点间的距离公式 例 1 (1)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(4,1),B(-3,2),C(0,5),则△ABC 的周长为 ( ) B.8 2 C.12 2 D.16 2 1 A.4 2 (2)若 A(-5,6),B(a,-2)两点的距离为 10,则 a=____________. 反思与感悟 两点间的距离公式应用的两种形式 (1)在求到某点的距离满足某些条件的点 P(x,y)的坐标时,需要根据已知条件列出关于 x,y 的方程或方程组,解之即可. (2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状, 从三边长入手, 根据边长相等判断是等腰 或等边三角形,根据勾股定理判断是直角三角形.还可以根据两个距离之和等于第三个距离 判断三点共线. 跟踪训练 1 已知点 A(-3,4),点 B(2, 3),试在 x 轴上找一点 P,使得 d(P,A)=d(P, B),并求出 d(P,A). 类型二 中点公式及应用 例 2 已知平行四边形 ABCD 的两个顶点坐标分别为 A(4,2), B(5,7), 对角线交点为 E(-3,4), 求另外两顶点 C、D 的坐标. 反思与感悟 中点公式应用的步骤 (1)认真审题,提炼题设中的条件. (2)将条件转化为与中点有关的问题. (3)利用中点公式求解. (4)转化为题目要求的结果. 特别提醒:利用中点坐标公式可求得以 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为顶点的△ABC 的重 心坐标为( x1+x2+x3 y1+y2+y3 3 , 3 ). 跟踪训练 2 (1)已知三点 A(x,5),B(-2,y),C(1,1),且点 C 是线段 AB 的中点,求 x,y 的值; (2)求点 M(4,3)关于点 N(5,-3)的对称点. 2 类型三 坐标法的应用 例 3 证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 反思与感悟 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何无素,将平面几何问 题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算的结果翻译成几何结论. 跟踪训练 3 证明:直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等. 1.已知 A(-3,5),B(2,15),则 d(A,B)等于( A.5 2 C.5 17 B.5 13 D.5 5 2 2 2 ) 2.已知两点 A(a,b),B(c,d),且 a +b - c +d =0,则( A.原点一定是线段 AB 的中点 2 ) 3 B.A、B 一定都与原点重合 C.原点一定在线段 AB 上但不是中点 D.以上结论都不正确 3.以 A(1,5),B(5,1),C(-9,-9)为顶点的三角形是( A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.无法确定 ) 4.已知 A(a,6),B(-2,b),点 P(2,3)平分线段 AB,则 a+b=________. 5.已知平面内平行四边形的三个顶点 A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4),求第四个顶点 D 的坐 标. 1.坐标平面内两点间的距离公式,是解析几何中的最基本最重要的公式之一,利用它可以求 平面上任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点 的坐标. 2.平面几何中与线段长有关的定理和重要结论,可以用坐标法来证明.用坐标法解题时,由 于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的,但不同的平面直角坐标 系会使计算有繁简之分,因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”. 4 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 d(A,B)=|x2-x1|. 思考 2 d(A,B)=|y2-y1|. 思考 3 如图,在 Rt△ABC 中,|AB| =|AC| +|BC| , 所以|AB|= 2 2 2 x2-x1 2 + y2-y1 2 . 即两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离为 |AB|= 梳理 |x2-x1| 知识点二 x2-x1 x2-x1 |y2-y1| 2 + + y2-y1 y2-y1 2 x2 1+y1 2 . 2 2 x1+x2 y1+y2 2 题型探究 例 1 (1)C (2)1 或-11 解析 (1)∵A(4,1),B(-3,2),C(0,5), ∴|AB|= -3- 2 2 + + - - - 2 2 = 50=5 2, = 18=3 2, |BC|= [0- - |AC|= -4 2 2 2 + = 32=4 2. ∴△ABC 的周长为|AB|+|BC|+|AC|=5 2+3 2+4 2=12 2. (2)∵|AB|= = -5-a 2 x1-x2 + + 2 + y

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