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18版高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项与递推公式学业分层测评新人教A版必修5

18版高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项与递推公式学业分层测评新人教A版必修5

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2.1 数列的概念与简单表示法 第 2 课时 数列的通项与递推公式

(建议用时:45 分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.已知数列{an}满足:a1=-14,an=1-an1-1(n>1),则 a4 等于(

)

A.45

B.14

C.-14

D.15

【解析】 a2=1-a11=5,a3=1-a12=45,a4=1-a13=-14.

【答案】 C

2.数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是( )

A.an+1=an+n,n∈N* B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2 C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2 D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2 【解析】 由 a2-a1=3-1=2, a3-a2=6-3=3,a4-a3=10-6=4, a5-a4=15-10=5, 归纳猜想得 an-an-1=n(n≥2), 所以 an=an-1+n,n∈N*,n≥2. 【答案】 B

3.设 an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是( )

A.136

B.133

C.4

D.0

2
【解析】 ∵an=-3???n-52??? +34,由二次函数性质得,当 n=2 或 3 时,an 最大,最大

为 0.

1

【答案】 D

4.在数列{an}中,a1=2,an+1-an-3=0,则{an}的通项公式为( )

A.an=3n+2

B.an=3n-2

C.an=3n-1

D.an=3n+1

【解析】 因为 a1=2,an+1-an-3=0,

所以 an-an-1=3,

an-1-an-2=3,

an-2-an-3=3,



a2-a1=3,

以上各式相加,

则有 an-a1=(n-1)×3, 所以 an=2+3(n-1)=3n-1.

【答案】 C

5.已知在数列{an}中,a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a2 016=( )

A.3

B.-3

C.6

D.-6

【解析】 由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3, a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3, a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6, a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,



故知{an}是周期为 6 的数列, ∴a2 016=a6=-3.

【答案】 B

二、填空题

6.数列{an}中,若

an+1-an-n=0,则

a2

a - 016

2

015=______________.

【解析】

由已知

a2

a - 016

2

015-2

015=0,

∴a2

a - 016

2

015=2

015.

【答案】 2 015

7.数列{an}满足 an=4an-1+3,且 a1=0,则此数列的第 5 项是________. 【解析】 因为 an=4an-1+3,所以 a2=4×0+3=3, a3=4×3+3=15,a4=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.

【答案】 255

2

8.数列{an}满足 an+1=1-1 an,a8=2,则 a1=________.

【解析】 由 an+1=1-1 an,得 an=1-an1+1,

∵a8=2,∴a7=1-12=12,

a6=1-a17=-1,a5=1-a16=2,…, ∴{an}是以 3 为周期的数列, ∴a1=a7=12.

1 【答案】 2

三、解答题

9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=a3n+an3(n∈N*),求通项 an. 【解】 将 an+1=a3n+an3两边同时取倒数得: an1+1=an3+an3,

1 11 则an+1=an+3,

1 11 即an+1-an=3,

1 111 11

1 11

∴a2-a1=3,a3-a2=3,…,an-an-1=3,

把以上这(n-1)个式子累加,

1 1 n-1 得an-a1= 3 .

∵a1=1,∴an=n+3 2(n∈N*).

n
10.已知数列{an}的通项公式 an=(n+2)·???67??? ,试求数列{an}的最大项.

【解】

假设第

n



an

为最大项,则???an≥an-1, ??an≥an+1,

3

?? n+ 即?
?? n+

n

???67???

n+

n

???67???

n+

n-1
???67??? ,
n+1
???67??? ,

解得?????nn≤ ≥54, , 即 4≤n≤5,

所以 n=4 或 5,故数列{an}中 a4 与 a5 均为最大项,且 a4=a5=6754.

[能力提升]

n

1.已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)???78??? ,则当 an 取得最大值时,n 等于(

)

A.5

B.6

C.6 或 7

D.5 或 6

【解析】 由题意知?????aann≥ ≥aann- +11, ,

n

?? n+ ???78???

所以?

n

?? n+ ???78???

n-1
n+ ???78??? ,
n+1
n+ ???78??? ,

解得?????nn≤ ≥65, , 【答案】 D

所以 n=5 或 6.

?? x+12,x≤12,

??? 2.已知函数 f(x)=

2x-1,21<x<1, x-1,x≥1,

若数列{an}满足 a1=73,an+1=f(an),n

∈N*,则

a2

a + 014

2

015

等于(

)

A.4

C.76
【解析】 a2=f ???73???=73-1=43;

B.32 D.161

4

a3=f ???43???=43-1=13;

a4=f ???13???=13+12=56;

a5=f ???56???=2×56-1=23;

a6=f ???23???=2×23-1=13;



∴从 a3 开始数列{an}是以 3 为周期的周期数列,

∴a2

a + 014

2

015=a4+a5=32.故选

B.

【答案】 B

??n,n为奇数时, 3.我们可以利用数列{an}的递推公式 an=???an2,n为偶数时

(n∈N*)求出这个数列

各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,

那么第 8 个 5 是该数列的第________项.

【解析】 由题意可知,a5=a10=a20=a40=a80=a160=a320=a640=…=5.故第 8 个 5 是该

数列的第 640 项.

【答案】 640

4.已知数列{an},满足 a1=1,an=an-1+n

1 n-

(n≥2),求数列的通项公式.

【解】

法一:由 an-an-1=n

1 n-

=n-1 1-1n(n≥2),

则 an-1-an-2=n-1 2-n-1 1,

… a3-a2=12-13,

a2-a1=1-12.

将上式相加得 an-a1=1-1n(n≥2), 又 a1=1,

5

∴an=2-1n,a1=1 也适合, ∴an=2-1n(n∈N*). 法二:由已知得 an-an-1=n-1 1-1n(n≥2), 则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=n-1 1-1n+n-1 2- n-1 1+n-1 3-n-1 2+…+1-12+1=2-1n(n≥2), a1=1 也适合, ∴an=2-1n(n∈N*).
6


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