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有关向量内积基本知识点

有关向量内积基本知识点

关于向量内积的基本知识点:

基本概念:
设 V 是实数 R 上的线性空间 .如果 V 中任意两个向量α , β 都按某一法则对应于 R 中 一个唯一确定的数 , 记作 ( α , β ), 且 满足 (i) ( α , β )=( β , α ); (ii) ( α +β , γ )=( α , γ ) + (β , γ ); (iii) ( kα , β ) = k(α, β ); (iv) 当α ? ? 时, ( α , α )>0; 其中的 α , β ,γ 是 V 中任意向量 , k 是任意实数 .则称 ( α , β ) 为向量 α , β 的内积. 而 V 叫做对这个内积来说的一个欧几里德 (Euclid) 空间 , 简称欧氏空间 .

举例说明: 例 1:
规定:
(? , ? ) ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xn yn
容易验证 , 关于内积的公理被满足 , 因而 Rn 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空 间。 在 Rn 里

, 对于任意两个向量 ? ? ( x1 , x2 ,?, xn ) , ? ? ( y1 , y2 ,?, yn ) ,

例 2:
规定:

在 R 里

n

, 对于任意两个向量 ? ? ( x1 , x2 ,?, xn ) , ? ? ( y1 , y2 ,?, yn ) ,

(? , ? ) ? x1 y1 ? 2x2 y2 ? ? ? nxn yn
不难验证 , 这样 Rn 也作成一个欧氏空间. 由以上两个例子可以看出 , 对同一个线性空间 可以引人不同的内积 , 使它作成欧氏空间

例 3 :令

C[a,b] 是定义在 [a ,b] 上一切连续实函数所成的线性空间 .关于任意 f(x), g(x)

? C[a,b] , 规定:

( f , g ) ? ? f ( x) g ( x)dx
a

b

根据定积分的基本性质可知 , 关于内积的公理都被满足 , 因而 C[a,b] 作成一个欧氏 空间 .

一些性质:
关于欧氏空间 V 中的向量 α , β ,γ 和实数 a 有 以下基本性质: (1) (0, α )=( α , 0 )=0; (2) (2) ( α ,β 十γ )=( α , β ) 十 ( α , γ );

(3) (3) ( α , aβ ) = a( α , β ). 进一步 , 对于 V 向量 ?1 , ? 2 ,?, ? r

, ?1 , ? 2 ,?, ? s 及 R 中实数 a1 , a2 ,?, ar 和

b1 , b2 ,?, bs , 必有

(? ai ? i , ? b j ? j ) ? ?
i ?1 j ?1 i ?1

r

s

r

? a b (? , ?
j ?1 i j i

s

j

)

长度:

由于对欧氏空间的任意向量α 来说 , 句 (α, α ) 总是一个非负实数 , 我们可

以合理地引人向量长度的概念 . 设α 是欧氏空间的一个向量 .非负实数 ( α , α ) 的算术平 方根

(? ,? ) , 叫做α 的长度,记作| α |, 即

|α|=

(? ,? ) .

由定义可知 , 欧氏空间中每个向量都有确定的长度 .零向量的长度是 0, 非零向量的长度 是正数. 对欧氏空间的任意向量α 和任意实数 k, |kα| =

(k? , k? ) = k 2 (? , ? ) = |k|| ? |

即实数 k 与向量α 的数量乘积的长度等于 k 的绝对值与α 长度的积 .

1
长度为 1 的向量叫做单位向量 .如果α 是非零向量 , 则 ?

?

是一单位向量 , 用这种方式得到单位向量叫做α 的单位化 . 以下定理给出了一个重要的 不等式 , 通常称为哥西一施瓦兹不等式

定 理 1:

在在一个欧氏空间里 , 关于任意向量α , 卢有不等式

(? , ? ) 2 ? (? ,? )(? , ? )
等号成立当且仅当α , ? 线性相关

证明思路:

应用二次函数。

由定理 1 , 我们可以得到很多重要不等式。如:哥西 (Cauchy) 不等式;施瓦兹 ( Schwarz ) 不等式等。

夹角:

设的 ? , ? 是欧氏空间中两个非零向量 .则由哥西一施瓦兹不等式得

?1 ? (? , ? ) arccos
这样

(? , ? )

??

?1

? ? 有意义 , 称其为 ? , ? 的夹角 .

这样 , 欧氏空间任意两个非零向量有唯一的夹角 ? (0 ? ? ? ? ) 。为方便起见 , 我们规定 :

? 零向量与任何向量的夹角为 2 ,
如果 ( ? , ? )=0, 则称欧氏空间的二个向量 ? , ? 是正交的 .

? 不难知道 , ? , ? 正交 , 当且仅当 ? , ? 的夹角为 2 。 容易验证 , 在欧氏空间 Rn 中 ,
单位向量 ? i = (0, … ,0 ,1,0, … ,0), i = 1,2, … ,n.两两正交 .

定 理 2:

在一个欧氏空间中 , 如果向量α 与 ?1 , ? 2 ,?, ? r , 中每一个正交 , 则α 与

?1 , ? 2 ,?, ? r , 的任意一个线性组合也正交.

距离:
的距离 .

在欧氏空间里 , 定义向量α , 卢的距离为 | ? ? ? |, 通常用 d( ? , ? )表示 ? , ?

容易证明 , 距离有如下性质 (i) 当 ? ? ? 时 ,d( ? , ? )>0. (ii) d( ? , ? ) = d( ? , ? ). (iii) d( ? , ? ) ? d( ? , ? )+d( ? , ? ),

其中 ? , ? , ? 是欧氏空间的任意向量 .不等式 (iii) 称为三角形不等 式 .在解析几何里 , 这 个不等式的意义就是一个三角形两边之和大 于第三边 .

最后 , 值得一提的是 , 如果 W 是欧氏空间 V 的一个子空间 , 那么 W 关于 V 的内 积来说 ,W 也作成一个欧氏空间 .

基本定义:
正定矩阵的行列式必大于零,但是,我们判断矩阵是否为正定矩阵,要看各级顺序主子 式都要大于零。 如果两个矩阵是相似的,则它们的特征多项式是相同的;若两个矩阵的特征多项式相 同,则这两个矩阵是相似的。 知道基础解系的基本定义: 第一. 就是要最多有 r 个线性无关向量,再加一个向量就是线性相关的; 第二. 其他任意一个向量都可由这 r 个向量线性表示。 接着,要会求基础解系,然后找出这个 r 个线性无关向量。


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