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江苏省常州市2018届高三数学一模试卷含解析

江苏省常州市2018届高三数学一模试卷含解析

2018 年江苏省常州市高考数学一模试卷 一.填空题:本大題共 14 小败,每小題 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2﹣6x+5≤0,x∈Z},则?UM= . 2.若复数 z 满足 z+i= ,其中 i 为虚数单位,则|z|= . 3.函数 f(x)= 的定义域为 . 4.如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是 5.某高级中学共有 900 名学生,现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取 1 个容量为 45 的样本,其中高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人,则该校高二年 级学生人数为 . 6.已知正四棱锥的底面边长是 2,侧棱长是 ,则该正四棱锥的体积为 . 7.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为 3 的倍数 的槪率为 . 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=8x 的焦点恰好是双曲线 ﹣ =l 的右焦点,则双曲线的离心率为 . 9.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6 成等差数列.且 a2+a5=4, 则 a8 的值为 . 10.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 M(1,0)的直线 l 与圆 x2+y2=5 交 于 A,B 两点,其中 A 点在第一象限,且 =2 ,则直线 l 的方程为 . 11.在△ABC 中,已知 AB=1,AC=2,∠A=60°,若点 P 满足 = + , 且 ? =1,则实数 λ 的值为 . 12.已知 sinα=3sin(α+ ),则 tan(α+ )= . 13.若函数 f(x)= ,则函数 y=|f(x)|﹣ 的零点个数为 . 14.若正数 x,y 满足 15x﹣y=22,则 x3+y3﹣x2﹣y2 的最小值为 . 二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边.若 acosB=3,bcosA=l, 且 A﹣B= (1)求边 c 的长; (2)求角 B 的大小. 16.如图,在斜三梭柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C 是菱形,AC1 与 A1C 交于点 O,E 是棱 AB 上一点,且 OE∥平面 BCC1B1 (1)求证:E 是 AB 中点; (2)若 AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC. 17.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC (如图),设计要求彩门的面积为 S (单位:m2)?高为 h(单位:m) (S,h 为常数),彩门的下底 BC 固定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架 构成,设腰和下底的夹角为 α,不锈钢支架的长度和记为 l. (1)请将 l 表示成关于 α 的函数 l=f(α); (2)问当 α 为何值时 l 最小?并求最小值. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =l (a>b>0)的焦距为 2,离心率为 ,椭圆的右顶点为 A. (1)求该椭圆的方程: (2)过点 D( ,﹣ )作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P,Q,求证:直 线 AP,AQ 的 斜率之和为定值. 19.己知函数 f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a 为正实数,且为常数) (1)若 f(x)在(0,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围; (2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 20.己知 n 为正整数,数列{an}满足 an>0,4(n+1)an2﹣nan+12=0,设数列 {bn}满足 bn= (1)求证:数列{ }为等比数列; (2)若数列{bn}是等差数列,求实数 t 的值: (3)若数列{bn}是等差数列,前 n 项和为 Sn,对任意的 n∈N*,均存在 m∈ N*,使得 8a12Sn﹣a14n2=16bm 成立,求满足条件的所有整数 a1 的值. 四.选做题本题包括 A,B,C,D 四个小题,请选做其中两题,若多做,则 按作答的前两题评分.A.[选修 4 一 1:几何证明选讲] 21.如图,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E.求∠DAC 的度数与 线段 AE 的长. [选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=8 及对应的一个特征向量 =[ ],并且矩 阵 M 对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4). (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2, . (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知 a,b,c 为正数,且 a+b+c=3,求 + + 的最大值. 四.必做题:每小题 0 分,共计 20 分 25.如图,已知正四棱锥 P﹣ABCD 中,PA=AB=2,点 M,N 分别在 PA, BD 上,且 = = . (1)求异面直线 MN 与 PC 所成角的大小; (2)求二面角 N﹣PC﹣B 的余弦值. 26.设|θ|< ,n 为正整数,数列{an}的通项公式 an=sin tannθ,其前 n 项和为 Sn (1)求证:当 n 为偶函数时,an=0;当 n 为奇函数时,an=(﹣1) tannθ; (2)求证:对任何正整数 n,S2n= sin2θ?[1+(﹣1)n+1tan2nθ]. 2018 年江苏省常州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.填空题:本大題共 14 小败,每小題 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2﹣6x+5≤0,x∈Z},则?UM= {6,7} . 【考点】补集及

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