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【推荐精选】2018届高三数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第三节 合情推理与演绎推理夯基提能

【推荐精选】2018届高三数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第三节 合情推理与演绎推理夯基提能

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第三节 合情推理与演绎推理

A 组 基础题组 1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( ) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;

⑥“ = ”类比得到“ = ”. 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)

4.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 = ,推广到空间可以

得到类似结论,已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则 =( )

A.

B.

C.

D.

5.

如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 ⊥ 时,其离心率为

,此类椭圆被称为“黄金椭

圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于( )

A.

B.

C. -1 D. +1

6.(2015 陕西文,16,5 分)观察下列等式

1- = ,

1- + - = + ,

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1- + - + - = + + ,

……

据此规律,第 n 个等式可为

.

7.设函数 f(x)= (x>0),观察:

f1(x)=f(x)=

, f2(x)=f[f1(x)]=

,

f3(x)=f[f2(x)]=

, f4(x)=f[f3(x)]=

,

……

根据以上事实,由归纳推理可得:

当 n∈N*且 n≥2 时, fn(x)=f[fn-1(x)]=

.

8.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立,在凸四边形 ABC D 中,不等式 + + + ≥ 成立,在凸五边形 ABCDE

中,不等式 + + + + ≥ 成立,……,依此类推,在凸 n 边形 A1A2…An 中,不等式 + +…+ ≥ 成立.

9.我们将具有下列性质的所有函数组成集合 M:函数 y=f(x)(x∈D),对任意 x,y, ∈D 均满足

f

≥ [f(x)+f(y)],当且仅当 x=y 时等号成立.

(1)若定义在(0,+∞)上的函数 f(x)∈M,试比较 f(3)+f(5)与 2f(4)的大小;

(2)设函数 g(x)=-x2,求证:g(x)∈M.

10.已知 O 是△ABC 内任意一点,连接 AO,BO,CO 并延长,分别交对边于 A',B',C',则 + + =1,这是 一道平面几何题,其证明 常采用“面积法”:
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++=

+

+

=

=1.

请运用类比思想猜想,对于空间中的四面体 V-BCD,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明.

B 组 提升题组

11.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则 a10+b10 等于( )

A.28 B.76

C.123 D.199

12.如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点 P 到第

i 条边的距离为 hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则 1×h1+2×h2+3×h3+4×h4= .类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为

Hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则 H1+2H2+3H3+4H4 的值为( )

A.

B.

C.

D.

13.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图 1 所标边长,由

勾股定理有:c2=a2+b2.如图 2,设想正方形换成正方体,把截线换成截面,这时从正方体上截下三条侧棱两

两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面面积,S4 表示底面(截面)面积,那么类比得到的结论



.

14.仔细观察下面○和●的排列规

律:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……,若依此规律继续下去,得到一系

列的○和●,那么在前 120 个○和●中,●的个数是

.

15.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:

①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;

②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;

③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;

④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;

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⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
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答案全解全析 A 组 基础题组 1.C 因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 2.B ①②正确,③④⑤⑥错误. 3.D 由已知归纳得,偶函数的导函数为奇函数,又由题意知 f(x)是偶函数,所以其导函数应为奇函数, 故 g(-x)=-g(x),选 D.
4.C 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = .

5.A 设“黄金双曲线”的方程为 - =1(a>0,b>0),
则 B(0,b),F(-c,0),A(a,0). 在“黄金双曲线”中,因为 ⊥ ,所以 · =0. 又 =(c,b), =(-a,b),所以 b2=ac. 而 b2=c2-a2,所以 c2-a2=ac.

在等号两边同除以 a2,得 e2-1=e,解得 e=

.

6. 答案 1- + - +…+

- = + +…+

解析 规律 为等式左边共有 2n 项且等式左边分母分别为 1,2,…,2n,分子为 1,奇数项为正、偶数项为

负,即为 1- + - +…+

- ;等式右边共有 n 项且分母分别为 n+1,n+2,…,2n,分子为 1,即为

+ +…+ .所以第 n 个等式可为 1- + - +…+

- = + +…+ .

7. 答案 解析 f1(x)=f(x)= ,

f2(x)=f[f1(x)]=

=

,

f3(x)=f[f2(x)]=

=

,

f4(x )=f[f3(x)]=

=

,

……

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∴当 n≥2 且 n∈N*时, fn(x)=f[fn-1(x)]=

.

8. 答案

解析 ∵在△ABC 中, + + ≥ = ,在凸四边形 ABCD 中, + + + ≥ = ,在凸五边形 ABCDE

中, + + + + ≥ = ,……,

∴在凸 n 边形 A1A2…An 中, + +…+ ≥

.

9. 解析 (1)f

≥ [f(x)+f(y)],当且仅当 x=y 时等号成立,

令 x=3 ,y=5,得 f(3)+f(5)<2f(4).

(2)证明:g

- [g(x1)+g(x2)]

=-

+

=

≥0,当且仅当 x1=x2 时等号成立,

所以 g

≥ [g(x1)+g(x2)],

所以 g(x)∈M. 10. 解析 结论:在四面体 V-BCD 中,任取一点 O,连接 VO,DO,BO,CO 并延长,分别交四个面于 E,F,G,H 点.

则 + + + =1. 证明:在四面体 O-BCD 与 V-BCD 中,设其高分别为 h1,h,

则 ==

=

.

同理, =

;=

;=

,

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∴+++ =

=

=1.

B 组 提升题组 11.C 观察给出的式子特点可推知,等式右端的值,从第三个式子开始,后一个式子的右端值等于它前面 两个式子的右端值的和,照此规律,则 a10+b10=123. 12.B 在平面凸四边形中,连接 P 点与各个顶点,将其分成四个小三角形,

根据三角形面积公式,可得

S= (a1h1+a2h2+a3h3+a4h4) = (kh1+2kh2+3kh3+4kh4) = (h1+2h2+3h3+4h4). 所以 h1+2h2+3h3+4h4= . 类似地,连接 Q 点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有

V= (S1H1+S2H2+S3H3+S4H4) = (kH1+2kH2+3kH3+4kH4) = (H1+2H2+3H3+4H4), 所以 H1+2H2+3H3+4H4= . 13. 答案 + + =

解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边,底面面积类比为直角三角形的斜边,可得 + + = . 14. 答案 14
解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|……,则前 n 组中○和●的总数是

f(n)=2+3+4+…+(n+1)=

,易知 f(14)=119, f(15)=135,故所求数为 14.

15. 解析 (1)选择②式,计算如下:

sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°

=1- sin 30°=1- = . (2)三角恒等式为 sin2α +cos2(30°-α )-sin α cos(30°-α )= .
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证法一:sin2α +cos2(30°-α )-sin α cos(30°-α ) =sin2 α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α )2-sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α )

=sin2α + cos2α + sin α cos α + sin2α - sin α cos α - sin2α = sin2α + cos2α = . 证法二:sin2α +cos2(30°-α )-sin α cos(30°-α )

=

+

-sin α ·(cos 30°cos α +sin 30°sin α )

= - cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- ·sin α cos α - sin2α

= - cos 2α + + cos 2α + ·sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α )

=1- cos 2α - + cos 2α = .

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