9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

76多元函数微分学的几何应用优质资料_图文

76多元函数微分学的几何应用优质资料_图文

7.6 多元函数微分学的几何应用
7.6.1 空间曲线的切线与法平面 7.6.2 曲面的切平面与法线

7.6.1 空间曲线的切线与法平面

1 曲面方程为参数式

?x ? ?(t)

设空间曲线的方程

? ?

y

?

?

(t

)

??z ? ? (t )

(1)式中的三个函数均可导.

(1)
z ? M?

设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t ? t0;

M?( x0 ? ?x, y0 ? ?y, z0 ? ?z) 对应于 t ? t0 ? ?t.

x

?M
o

y

割线 MM? 的方程为

z

? M?

x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 ?x ?y ?z
x

?M

o

y

考察割线趋近于极限位置——切线的过程

上式分母同除以 ?t,

x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 ,

?x

?y

?z

?t

?t

?t

当M? ? M ,即?t ? 0时 , 曲线在M处的切线方程
x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 .
? ?(t0 ) ? ?(t0 ) ??(t0 )
切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.
?
T ? (??(t0 ),? ?(t0 ),??(t0 ))
法平面:过M点且与切线垂直的平面.
? ?(t0 )( x ? x0 ) ?? ?(t0 )( y ? y0 ) ? ??(t0 )(z ? z0 ) ? 0

例1 求曲线x ? t, y ? t2, z ? t3在点(1,1,1)处的切线

及法平面方程.

解 因为xt? ? 1, yt? ? 2t, zt? ? 3t 2,而点(1,1,1)所对 应的参数t =1, 所以
? T ? (1,2,3).

切线方程为

x ?1 ? y ?1 ? z ?1. 1 23

法平面方程为 ( x ?1) ? 2( y ?1) ? 3(z ?1) ? 0,



x ? 2 y ? 3z ? 6.

2 曲面方程为一般式

空间曲线方程为

? ? ?

y z

? ?(x)
,
?? (x)

在M

(

x0

,

y0

,

z0

)处, ?

切向量

T ? (1,??( x0 ),? ?( x0 ))

切线方程为

x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 ,
1 ? ?( x0 ) ? ?( x0 )

法平面方程为

( x ? x0 ) ? ? ?( x0 )( y ? y0 ) ?? ?( x0 )(z ? z0 ) ? 0.

空间曲线方程为

?F ( x, ??G( x,

y, z) y, z)

? ?

0 ,
0

切向量

? T

?

?? ??

Fy Gy

Fz , Fz Gz 0 Gz

Fx , Fx Gx 0 Gx

Fy ?? Gy 0 ??

切线方程为

x ? x0 Fy Fz

? y ? y0 Fz Fx

? z ? z0 Fx Fy

,

Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为

Fy Gy

Fz Gz

(
0

x

?

x0

)

?

Fz Gz

Fx Gx

(
0

y

?

y0 )

?

Fx Gx

Fy Gy

0

(z

?

z0

)

?

0.

例2

求曲线

? x2 ? y2 ? z2 ? 3x ? 0, ?

? 2x ? 3y ? 5z ? 4 ? 0

在点(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.

解 将所给方程的两边对x 求导并移项,得

??2

y

d d

y x

?

2z

d d

z x

?

3

?

2x,

? ??

3d

y

?

5d

z

?

?2,

? dx dx

d y ? 15 ? 4z ?10x , d x 10 y ? 6z dz ? 9?4x ?6y, d x 10 y ? 6z

? dy ? 9, d x (1,1, 1) 16

dz

? ?1,

d x (1,1, 1) 16

由此得切向量

? T

? (1,

9

, ?1),

16 16

所求切线方程为 x ?1 ? y ?1 ? z ?1, 16 9 ?1

法平面方程为 16( x ?1) ? 9( y ?1) ? (z ?1) ? 0,

? 16x ? 9 y ? z ? 24 ? 0.

7.6.2 曲面的切平面与法线

定义7.8 设M0(x0, y0, z0)是曲面 ? 上一点,如果曲

面? 上任何一条过点M0的曲线在点M0处的切线都在
同一平面上,则称这个平面是曲面在点M0处的切平面.

设曲面方程为
F(x, y,z) ? 0

zn

T

M0

?

在曲面上任取一条通

过点M的曲线

?x ? ?(t)

?:

? ?

y

?

?

(t

),

??z ? ? (t)

o

y0

y

x

曲线在M处的切向量 ?
T ? (??(t0 ),? ?(t0 ), ??(t0 )),
由于曲线 ? 完全在曲面 ?上, 所以有恒等式
F (? (t),? (t),? (t)) ? 0,
上式对t 求导数, 并代入 t = t0, 得
Fx ( x0 , y0 , z0 )? ?(t0 ) ? Fy ( x0 , y0 , z0 )? ?(t0 ) ? Fz ( x0 , y0 , z0 )??(t0 ) ? 0
令 n? ? (Fx ( x0, y0, z0 ),Fy ( x0, y0, z0 ),Fz ( x0, y0, z0 ))

则 n??T?, 由于曲线是曲面上通过 M 的任意一 条曲线,它们在 M 的切线都与同一向量 n? 垂直, 故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在 同一平面上,这个平面就是曲面在点 M 的切平面.
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x ? x0 ) ? Fy ( x0 , y0 , z0 )( y ? y0 ) ? Fz ( x0 , y0 , z0 )(z ? z0 ) ? 0

定义7.9 通过点M0(x0, y0, z0)而垂直于切平面 的直线称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即
n? ? (Fx ( x0, y0, z0 ),Fy ( x0, y0, z0 ),Fz ( x0, y0, z0 ))

全微分的几何意义 因为曲面在M处的切平面方程为
z ? z0 ? f x ( x0 , y0 )( x ? x0 ) ? f y ( x0 , y0 )( y ? y0 )

切平面 上点的 竖坐标 的增量

函数z ? f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
z=f (x,y)在(x0, y0)的全微分,表示 曲面z=f (x,y)在点(x0, y0, z0)处的切平 面上的点的竖坐标的增量.

例3 求椭圆抛物面z=x2+2y2–1在点M0(–1,2,8)处的

切平面及法线方程.



z

xn?

? ?

2x, zy ? 4 (2x,4 y,?1),

y,

在点M0处,法向量为

n? ? (?2,8,?1),

所求的切平面为

–2(x+1)+8(y–2) –(z–8)=0,

即为

2x–8y+z+10=0.

法线方程为

x ?1 ? y ? 2 ? z ?8. ? 2 8 ?1

若?、?、? 表示曲面的法向量的方向角,
并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z 轴 的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为

cos? ? ? fx ,

1?

f

2 x

?

f

2 y

cos? ?

1

.

1?

f

2 x

?

f

2 y

cos ? ?

? fy

,

1?

f

2 x

?

f

2 y

其中 fx ? fx ( x0 , y0 ), f y ? f y ( x0 , y0 )

例4 求椭球面2x2+3y2+z2=9上的点, 使该点处的切

平面平行于平面2x–3y+2z+12=0, 并写出该点的切平

面及法线方程.

n?


? (4

x0设,6切y0点,2为z0M), 0按(x题0, y意0,,z0n?),// n则?1 法? (向2,量?3为,2),

所以有

4x0 ? 6 y0 ? 2z0 , 2 ?3 2



4 x0 2

? 6 y0 ?3

?

2z0 2

? t,

则有

x0

? t, 2

y0

?

?

t, 2

z0 ? t,

将其代入到椭球面方程中,有

2 ? t 2 ? 3? t 2 ? t 2 ? 9, 得到 t = ? 2. 44

当t = 2时,得切点M1(1,–1,2), 当t = –2时,得切点 M2(–1,1,–2)
在点M1, 切平面方程为 2(x–1)–3(y+1)+2(z–2)=0,



2x–3y+2z–9=0.

在点M2,切平面方程为 2x–3y+2z+9=0.

例5 求椭球面

x2 a2

?

y2 b2

?

z2 c2

?1

上点M0(x0, y0, z0)处的切平面方程.

解 在点M0处,曲面的法向量为

n?

?

(

x0 a2

,

y0 b2

,

z0 c2

),

切平面方程为

x0 a2

(x

?

x0 )

?

y0 b2

(

y

?

y0

)

?

z0 c2

(z

?

z0

)

?

0.

注意到点(x0, y0, z0)在椭球面上,其坐标应满足于椭

球面方程,故上面的切平面方程可整理为

x0 a2

x

?

y0 b2

y

?

z0 c2

z

? 1.

例6 设函数f (u)有连续导数,证明曲面z
的切平面必过原点.

?

xf

?? ?

y x

?? ?





F

?

xf

?? ?

y x

?? ?

?

1,设切点为M0

(

x0

,

y0

,

z0

),

则曲面在切点M0处的法向量坐标为

Fx?

?

? y0 x0

f ??? y0 ?? ? ? x0 ?

f ?? y0 ??, ? x0 ?

切平面方程为

Fy? ?

f ??? ?

y0 ??, x0 ?

Fz? ? ?1

? ?? ?

y0 x0

f ??? ?

y0 ?? ? x0 ?

f

?? ?

y0 x0

??????(

x

?

x0 ) ?

f ??? y0 ??( y ? ? x0 ?

y0 ) ? (z ? z0 ) ? 0,



? ? ?

f

?? ?

y0 x0

?? ?

?

y0 x0

f

??? ?

y0 x0

???? ??

x

?

f ??? y0 ?? y ? z ? x0 ?

? 0.

可见,曲面的所有切平面都过点 (0,0,0)

例7

求曲线

?x2 ?

? ?

x2

y2 ?

? z2 y2 ?

? 50, z2,

在点M0(3, 4, 5)处的切线方程. 解 利用曲面的切平面来做.

球面x2 + y2 + z2 = 50在(3, 4, 5)点的切平面为

3x + 4y + 5z – 50 = 0,

圆锥面x2+y2=z2在(3,4,5) 点的切平面为

3x + 4y – 5z = 0.

将两个切平面方程联立

?3x ? 4 y ? 5z ? 50 ? 0,

? ?

3x ? 4 y ? 5z ? 0,

即为所求的切线L的一般式方程.

练习1

求曲线?

:

x

?

t
?0

eu

cos

udu ,

y

?

2 sin

t

? cos t ,z ? 1 ? e3t 在t ? 0处的切线和法平面方程.

练习2

求曲线?? ?

xyz ? 1 y2 ? x 在点P0

(1,1,1)

处的切向量的

方向余弦

练习3 确定正数? 使曲面 x y z ? ?与球面
在点 M (x0 , y0 , z0 )相切.

练习1

求曲线?

:

x

?

t
?0

eu

cos

udu ,

y

?

2 sin

t

? cos t ,z ? 1 ? e3t 在t ? 0处的切线和法平面方程.

解 当t ? 0时, x ? 0, y ? 1, z ? 2,

x? ? et cos t, y? ? 2cos t ? sin t, z? ? 3e3t ,

? x?(0) ? 1, y?(0) ? 2, z?(0) ? 3,

切线方程 法平面方程

x ?0 ? y ?1 ? z ? 2,

1

2

3

x ? 2( y ? 1) ? 3(z ? 2) ? 0,



x ? 2 y ? 3z ? 8 ? 0.

练习2

求曲线?? ?

xyz ? 1 y2 ? x 在点P0

(1,1,1)

处的切向量的

方向余弦.

解 令 F( x, y, z) ? xyz ?1,

G(x, y,z) ? y2 ? x.



? T

?

?? ??

xz 2y

xy xy ,
0 P0 0

yz yz ,
? 1P0 ? 1

xz ?? 2 y P0 ??

? (?2,?1,3)

故切向量的方向余弦为

cos? ? ? 2 , cos ? ? ? 1 , cos? ? ? 3 .

14

14

14

练习3 确定正数? 使曲面 x y z ? ?与球面
在点 M (x0 , y0 , z0 )相切.

解 二曲面在 M 点的法向量分别为

n2 ? (x0 , y0 , z0 )

二曲面在点 M 相切, 故 n1 // n2 , 因此有

x0 y0z0 x02

?

x0 y0z0 y02

?

x0 y0z0 z02

又点 M 在球面上,

于是有

?

?

x0

y0

z0

?

a3 33


推荐相关:

76多元函数微分学的几何应用 26页PPT文档_图文.ppt

76多元函数微分学的几何应用 26页PPT文档 - 7.6 多元函数微分学的几何应用 7.6.1 空间曲线的切线与法平面 7.6.2 曲面的切平面与法线 7.6.1 空间曲线的...


D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用优质资料_图文.ppt

D561,2,3多元函数微分学几何上的简单应用优质资料 - 第六节 第五章 多元函数微分学几何上的简单应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲线的弧长 三、...


多元函数微分学的几何应用23033 共28页PPT资料_图文.ppt

多元函数微分学的几何应用23033 共28页PPT资料 - 第六节 第九章 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 复习 目录 上...


多元函数微分学的几何应用21658_图文.ppt

100w优质文档免费下载 赠百度阅读VIP精品版立即开通 ...多元函数微分学的几何应用21658_数学_高中教育_教育...76多元函数微分学的几何... 25页 5下载券 ...


多元函数微分学的几何应用_图文.ppt

多元函数微分学的几何应用 - 第三节 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切


多元函数微分学的几何应用[]_图文.ppt

多元函数微分学的几何应用[] - 8.6 多元函数微分学的几何应用 8.6 多元函数微分学的 几何应用 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 全微分的几何意义 ...


多元函数微分学的几何应用23033_图文.ppt

多元函数微分学的几何应用23033_数学_自然科学_专业资料。第六节 第九章 多元...BBD75多元函数微分学的几... 25页 2下载券 76多元函数微分学的几何... ...


最新-多元函数微分学几何应用-PPT文档资料_图文.ppt

最新-多元函数微分学几何应用-PPT文档资料 - 第七节 多元函数微分学的 几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 一、空间曲线的...


多元函数微分学的几何应用课件_图文.ppt

多元函数微分学的几何应用课件 - 一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲


第六节 多元函数微分学的几何应用_图文.ppt

第六节 多元函数微分学的几何应用 - 第六节 多元函数微分学的几何应用 一、一元


多元函数微分学的几何应用21607_图文.ppt

多元函数微分学的几何应用21607_数学_自然科学_专业资料。第六节 第八章 多元...56-多元函数微分学的几何... 21页 免费 76多元函数微分学的几何... 25...


0806多元函数微分学的几何应用_图文.ppt

0806多元函数微分学的几何应用 - 第六节 多元函数微分学的几何应用 ◆本节主


0906多元函数微分学的几何应用_图文.ppt

0906多元函数微分学的几何应用 - 第六节 多元函数微分学的几何应用 ◆本节主


多元函数微分学的几何应用(2)_图文.ppt

多元函数微分学的几何应用(2) - 多元函数微 分学的几何 应用 目录 上页 下


0906多元函数微分学的几何应用23776-PPT文档资料_图文.ppt

0906多元函数微分学的几何应用23776-PPT文档资料 - 第六节 多元函数微分学的几何应用 ◆本节主要解决以下两个方面的问题: 1 空间曲线的切线问题 s? 2 空间曲面...


最新文档-61-2多元函数微分学的几何应用-PPT精品文档_图文.ppt

最新文档-61-2多元函数微分学的几何应用-PPT精品文档_数学_自然科学_专业资料。第六节 多元函数微分学 的几何应用数学系 贺丹 第五章 多元函数微分学及其应用 6...


96多元函数微分学的几何应用_图文.ppt

96多元函数微分学的几何应用 - 1/16 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面


D86多元函数微分学的几何应用_图文.ppt

D86多元函数微分学的几何应用 - 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲


多元函数微分学的几何应用_图文.ppt

多元函数微分学的几何应用 - 9.6 多元函数微分学的几何应用 第9 章 多元函


多元函数微分学的几何应用_图文.ppt

多元函数微分学的几何应用 - 第六节 多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com