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2018年秋高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差2-3-2离散型随机变量的方差学案新人

2018年秋高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差2-3-2离散型随机变量的方差学案新人

2019 年精心整理试题、试卷、学案、教案 2018 年秋高中数学第二章随机变量及其分布 2-3 离散型随 机变量的均值与方差 2-3-2 离散型随机变量的方差学案新人 教 A 版选修 2-3 学习目标: 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差 的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问 题. (重点)3.掌握方差的性质以及两点分布、 二项分布的方差的求法, 会利用公式求它们的方差.(难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义:设离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则(xi-E(X))2 描述了 xi(i=1,2,…,n)相对于均值 E(X)的偏 离程度,而 D(X)=为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度.称 D(X)为随机变量 X 的方差,其算 术平方根为随机变量 X 的标准差. (2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离 于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平 均程度越小. 2.随机变量的方差与样本方差的关系 随机变量的方差是总体的方差,它是一个常数,样本的方差则是 随机变量,是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本,随着样本 容量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差. You and your fa mily are invited to join the YM CA for a Hallowee n hike up Badger Mountain! Make sure to wear your Hallowee n 1 / 10 2019 年精心整理试题、试卷、学案、教案 3.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若 X 服从两点分布,则 D(X)=p(1-p); (2)若 X~B(n,p),则 D(X)=np(1-p). 4.离散型随机变量方差的线性运算性质 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X). [基础自测] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)离散型随机变量 ξ 的期望 E(ξ )反映了 ξ 取值的概率的平 均值; ( ) (2)离散型随机变量 ξ 的方差 D(ξ )反映了 ξ 取值的平均水平; ( ) (3)离散型随机变量 ξ 的方差 D(ξ )反映了 ξ 取值的波动水平. ( ) (4) 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 越 大 , 随 机 变 量 越 稳 定 . ( [解析] (1)× 取值的平均水平. (2)× 因为离散型随机变量 ξ 的方差 D(ξ )反映了随机变量偏 离于期望的平均程度. (3)√ 由方差的意义可知. (4)× 离散型随机变量的方差越大,说明随机变量的稳定性越 ) 因为离散型随机变量 ξ 的期望 E(ξ )反映了 ξ 差,方差越小,稳定性越好. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.若随机变量 X 服从两点分布,且在一次试验中事件 A 发生的 概率 P=0.5,则 E(X)和 D(X)分别为( ) You and your fa mily are invited to join the YM CA for a Hallowee n hike up Badger Mountain! Make sure to wear your Hallowee n 2 / 10 2019 年精心整理试题、试卷、学案、教案 【导学号:95032190】 A.0.25 0.5 C.0.5 0.25 C B.0.5 0.75 D.1 0.75 [E(X)=0.5,D(X)=0.5×(1-0.5)=0.25.] 3.已知随机变量 ξ ,D(ξ )=,则 ξ 的标准差为________. 1 3 [ξ 的标准差==.] 4.已知随机变量 ξ 的分布列如下表: ξ -1 1 2 0 1 3 1 1 6 P 则 ξ 的均值为________,方差为________. 【导学号:95032191】 - -; 方差 D(ξ ) = (x1 - E(ξ ))2·p1+ (x2 - E(ξ ))2·p2+ (x3 - E(ξ ))2·p3=.] [合 作 探 究·攻 重 难] 求随机变量的方差与标准差 [均值 E(ξ )=x1p1+x2p2+x3p3=(-1)×+0×+1×= 已知 X 的分布列如下: X P -1 1 2 0 1 4 1 a (1)求 X2 的分布列; (2)计算 X 的方差; (3)若 Y=4X+3,求 Y 的均值和方差. [解] (1)由分布列的性质,知++a=1,故 a=,从而 X2 的分 You and your fa mily are invited to join the YM CA for a Hallowee n hike up Badger Mountain! Make sure to wear your Hallowee n 3 / 10 2019 年精心整理试题、试卷、学案、教案 布列为 X2 P 0 1 4 1 3 4 (2)法一:(直接法)由(1)知 a=,所以 X 的均值 E(X)=(-1)× +0×+1×=-. 故 X 的方差 D(X)=×+×+×=. 法二: (公式法)由(1)知 a=, 所以 X 的均值 E(X)=(-1)×+0× +1×=-, X2 的均值 E(X2)=0×+1×=, 所以 X 的方差 D(X)=E(X2) -[E(X)]2=. (3)因为 Y=4X+3,所以 E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)= 11. [规律方法] 方差的计算需要一定的运算能力, 公式的记忆不能 出错!在随机变量 X2 的均值比较好计算的情况下,运用关系式 D(X) =E(X2)-[E(X)]2 不

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