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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三数学模拟试卷(07)(含解析)新人教A版

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三数学模拟试卷(07)(含解析)新人教A版


江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模拟试卷 (07)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 2 1.已知集合 A={x|2x≥x },B={﹣2,0,2},则 A∩B=__________. 2.命题“? x>1,x ﹣2ax﹣1<0”的否定是__________. 3.已知复数 Z 的实部为 1,虚部为﹣2,则 的虚部为__________.
2

4.执行如图所示的程序框图,若输出 s 的值为 11,则输入自然数 n 的值是__________.

5.若 α 的终边所在直线经过点 P(cos

,sin

) ,则 sinα =__________.

6.已知向量

满足|

, 与 的夹角为 135°,向量

.则向量

的模为__________.

7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为__________. 8.等差数列{an}中,a4+a6﹣a11=3,a12﹣a5=2,记 Sn=a1+a2+?+an,则 S11=__________.

1

9.已知△ABC 是边长为

的正三角形,且满足

,则

△APD 的面积为__________. 10.过点 P(1,2)作一直线 l,使直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4,﹣5)的距离相等,则 直线 l 的方程为__________. 11.若函数 f(x)= sin(π x)与函数 g(x)=x +bx+c 的定义域为[0,2],它们在同一点 有相同的最小值,则 b+c=__________. 12. 曲线 与直线 y=k (x﹣2) +4 有两个交点, 则实数 k 的取值范围为__________.
3

13.已知 m,n 为正数,实数 x,y 满足 为 27,则 m+n=__________.

=0,若 x+y 的最大值

14.对于函数 y=f(x) (x∈D) ,若存在区间[a,b]? D,f(x)在[a,b]上的值域为[ka, x kb](k>0) ,则函数 f(x)为“倍值函数”,已知 f(x)=e +x 为“倍值函数”,则实数 k 的取值范围是__________.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分(15,16,17 各 14 分,18,19,20 各 16 分). 15.已知 ,B={x|x ﹣4x+4﹣m ≤0,m>0},
2 2

(1)若 m=3,求 A∩B; (2)若 A∪B=B,求实数 m 的取值范围. 16.在△ABC 中,三边 BC、AC、AB 的 长分别为 a、b、c,若 a=4,E 为边 BC 的中点. (1)若 =1,求 BC 边上的中线 AE 的长; ,求 的最小值.

(2)若△ABC 面积为

17.在正四面体 ABCD 中,点 F 在 CD 上,点 E 在 AD 上,且 DF:FC=DE:EA=2:3.证明: (1)EF∥平面 ABC; (2)直线 BD⊥直线 EF.

2

18. (16 分)如图,已知 O(0,0) ,E(﹣ ,0) ,F( ,0) ,圆 F: (x﹣ ) +y =5.动 点 P 满足|PE|+|PF|=4.以 P 为圆心,|OP|为半径的圆 P 与圆 F 的一个公共点为 Q. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)证明:点 Q 到直线 PF 的距离为定值,并求此值.

2

2

19. (16 分)设数列{an}的前 n 项和 Sn>0,a1=1,a2=3,且当 n≥2 时,anan+1=(an+1﹣an)Sn. (1)求证:数列{Sn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)令 bn= ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn.设 λ 是整数,问是否 成立?若存在,求出 n 和相应的 λ 值;若不存在,说

存在正整数 n,使等式 Tn+ 明理由.

20. (16 分)已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (1)若 a=﹣1,求函数 f(x)的单调区间; (2) 若函数 y=f (x) 的图象在点 (2, f (2) ) 处的切线的倾斜角为 45°, 对于任意的 t∈[1, 2],函数 g(x)=x +x [f′(x)+ ](f′(x)是 f(x)的导数)在区间(t,3)上总不 是单调函数,求 m 的取值范围; (3)求证: × × ×?× < (n≥2,n∈N ) .
* 3 2

三、附加题

3

21.已知 M= F 的方程.

,N=

,设曲线 y=sinx 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到曲线 F,求

22.在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆的参数方程为 点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

为参数) .以 o 为极 .求

23.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点 E、F 分别在棱 BB1、 CC1 上,且 BE= BB1,C1F= CC1. (1)求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; (2)求平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值.

24.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下: ①连续竞猜 3 次,每次相互独立; ②每次竟猜时, 先由甲写出一个数字, 记为 a, 再由乙猜甲写的数字, 记为 b, 已知 a, b∈{0, 1,2,3,4,5},若|a﹣b|≤1,则本次竞猜成功; ③在 3 次竞猜中,至少有 2 次竞猜成功,则两人获奖. (Ⅰ)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率; (Ⅱ) 现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏, 这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎记选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X,求 X 的分布列和期望.

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模拟试卷(07)

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 2 1.已知集合 A={x|2x≥x },B={﹣2,0,2},则 A∩B={0,2}. 考点:交集及其运算. 专题:集合.

4

分析:求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得:x(x﹣2)≤0, 解得:0≤x≤2,即 A={x|0≤x≤2}, ∵B={﹣2,0,2}, ∴A∩B={0,2}. 故答案为:{0,2} 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.命题“? x>1,x ﹣2ax﹣1<0”的否定是? x>1,x ﹣2ax﹣1≥0. 考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题, 2 2 所以命题“? x>1,x ﹣2ax﹣1<0”的否定是:? x>1,x ﹣2ax﹣1≥0; 2 故答案为:? x>1,x ﹣2ax﹣1≥0. 点评:本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系,基本知识的考查.
2 2

3.已知复数 Z 的实部为 1,虚部为﹣2,则

的虚部为 1.

考点:复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:写出复数 z,代入复数的表达式复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化为 a+bi 的形式,即可得到结果. 解答: 解: = = = =﹣1+i.

所以复数的虚部为:1. 故答案为:1. 点评:本题是基础题,考查基本概念与基本运算,送分题. 4.执行如图所示的程序框图,若输出 s 的值为 11,则输入自然数 n 的值是 4.

5

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,写出每次循环得到的 s,i 的值,当 i=5 时由题意,此时应该不满足 条件 i≤n,输出 s 的值为 11,故应该 n 的值为 4. 解答: 解:执行程序框图,有 输入 n i=0,s=1 满足条件 i≤n,有 s=1,i=1 满足条件 i≤n,有 s=2,i=2 满足条件 i≤n,有 s=4,i=3 满足条件 i≤n,有 s=7,i=4 满足条件 i≤n,有 s=11,i=5 由题意,此时应该不满足条件 i≤n,输出 s 的值为 11. 故答案为:4. 点评:本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.

5.若 α 的终边所在直线经过点 P(cos

,sin

) ,则 sinα =±



考点:任意角的三角函数的定义. 专题:三角函数的求值. 分析:分 α 的终边在第二象限、α 的终边在第四象限两种情况,分别利用任意角的三角函 数的定义求出 sinα 的值. 解答: 解:由题意可得 P(﹣ , ) ,r=|OP|=1,由于直线 OP 经过第二、第四象限, , ) 在 α 的终边上, x=﹣ , y= , sinα = = .

当 α 的终边在第二象限时, 点P (﹣

6

当 α 的终边在第四象限时, 点 P′ ( ﹣ . .

, ﹣

) 在 α 的终边上 x=

, y=﹣

, sinα = =

故答案为:±

点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,体现了分类讨论 的数学思想.属于基础题.

6.已知向量 的模为 .

满足|

, 与 的夹角为 135°,向量

.则向量

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:本题是一个求模长的问题,根据 ,把求 的模长变化为求两个向量之和的模 .两边平方后的式子,

长,条件中所给的两个向量的模长和两个向量的夹角,代入 得到结果. 解答: 解:∵ ∴ =9 +6 , + ,| =9×

, 与 的夹角为 135°, ×cos135°+2 =18﹣12+4=10,
2

∴| |=

故答案为: . 点评:本题是向量模长的运算,条件中给出两个向量的模和两向量的夹角,代入数量积的公 式运算即可, 只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算, 本题是把向量的模长同向量加 减结合在一起. 7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为 .

考点:等可能事件的概率. 专题:计算题;概率与统计. 分析:设“甲或乙被录用”为事件 A,则其对立事件 表示“甲乙两人都没有被录取”,先 求出 P( ) ,再利用 P(A)=1﹣P( )即可得出. 解答: 解:设“甲或乙被录用”为事件 A,则其对立事件 表示“甲乙两人都没有被录 取”,

7

则 P( )=

=



因此 P(A)=1﹣P( )=1﹣ 故答案为: .

=



点评: 本题考查等可能事件的概率, 熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键. 8.等差数列{an}中,a4+a6﹣a11=3,a12﹣a5=2,记 Sn=a1+a2+?+an,则 S11=55. 考点:等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的性质已知两式相加可得 a6=5,再由求和公式可得 S11=11a6,代值计算可 得. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a4+a6﹣a11=3,a12﹣a5=2, ∴两式相加可得(a4+a12)﹣(a11+a5)+a6=5, 由等差数列的性质可得 a4+a12=a11+a5,∴a6=5 ∴S11= = =11a6=55

故答案为:55 点评:本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.

9.已知△ABC 是边长为 △APD 的面积为 .

的正三角形,且满足

,则

考点:向量在几何中的应用. 专题:平面向量及应用. 分析: 考虑所给向量的几何意义, 经分析可知, 三角形 APD 是以 D 为直角顶点的直角三角形, 两直角边易求,所以面积可求. 解答: 解:如图所示:向量 法的平行四边形法则易知| 显然向量 与 垂直,且 . |= . ,根据△ABC 为等边三角形,结合向量加 .

故三角形 APD 的面积为

8

故答案为: . 点评:本题考查的是向量加法的几何意义,借助于几何意义做出图形.结合已知条件进行判 断、计算即可. 10.过点 P(1,2)作一直线 l,使直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4,﹣5)的距离相等,则 直线 l 的方程为 4x+y﹣6=0 或 3x+2y﹣7=0. 考点:点到直线的距离公式;直线的一般式方程. 专题:计算题. 分析:首先根据直线过 P(1,2)设出直线的点斜式,然后根据直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4,﹣5)的距离相等,利用点到直线的距离,求出 k 的值. 解答: 解:∵直线过点 P(1,2) ∴设 l 的方程为:y﹣2=k(x﹣1) 即 kx﹣y﹣k+2=0 又直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4,﹣5)的距离相等 ∴ 化简得: k=﹣4 或 k=﹣ ∴l 的方程为 4x+y﹣6=0 或 3x+2y﹣7=0 点评:本题考查点到直线的距离公式,以及直线的一般式和点斜式方程,通过已知条件,巧 妙构造等式求解,属于基础题. 11.若函数 f(x)= sin(π x)与函数 g(x)=x +bx+c 的定义域为[0,2],它们在同一点 有相同的最小值,则 b+c=﹣ .
3

=

考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用.

9

分析:先画出函数 f(x)的图象,得到 x= 时,f(x)的最小值是﹣ ,求出函数 g(x) 的导数,分别将( ,0)代入导函数, ( ,﹣ )代入函数的表达式,求出 b,c 的值,得 到答案. 解答: 解:画出函数 f(x)的图象,如图示:

, 当 x= 时,f(x)取到最小值 此时:g′( )=3× g( )= ∴b+c=﹣ , 故答案为:﹣ . 点评:本题考查了函数的最值问题,考查了三角函数的图象及性质,考查导数的应用,是一 道中档题. 12.曲线 . 与直线 y=k(x﹣2)+4 有两个交点,则实数 k 的取值范围为 +(﹣ , +b=0,解得:b=﹣ )× +c=﹣ ,解得:c= , ,

考点:直线与圆相交的性质. 专题:数形结合;转化思想. 分析:先确定曲线的性质,然后结合图形确定临界状态,结合直线与圆相交的性质,可解得 k 的取值范围. 解答: 解: 可化为 x +(y﹣1) =4,y≥1,所以曲线为以(0,1)为圆心,
2 2

2 为半径的圆 y≥1 的部分. 直线 y=k(x﹣2)+4 过定点 p(2,4) ,由图知,当直线经过 A(﹣2,1)点时恰与曲线有两 个交点,顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个.

10

且 kAP=

= ,由直线与圆相切得 d=

=2,解得 k=

则实数 k 的取值范围为 故答案为:

点评:本题考查直线与圆相交的性质,同时考查了学生数形结合的能力,是个基础题. 13.已知 m,n 为正数,实数 x,y 满足 为 27,则 m+n=54. 考点:函数的最值及其几何意义. 专题:计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:由题意,
2

=0,若 x+y 的最大值

+

=

,从而得到
2



,令

x+y=u,则 u ﹣9u﹣9(m+n)≤0,从而得 27 是方程 u ﹣9u﹣9(m+n)=0 的解,从而求解. 解答: 解:由题意, + 则 ( 则由 ≥ = + ≥ , )= ? , , 可得,

令 x+y=u, 则上式可化为 2 u ﹣9u﹣9(m+n)≤0, 又∵u=x+y 的最大值为 27 可知, 2 27 是方程 u ﹣9u﹣9(m+n)=0 的解, 即 27×27﹣9×27﹣9(m+n)=0, 解得 m+n=27×2=54, 故答案为:54.

11

点评:本题考查了基本不等式的应用及不等式与方程的解的关系,属于中档题. 14.对于函数 y=f(x) (x∈D) ,若存在区间[a,b]? D,f(x)在[a,b]上的值域为[ka, x kb](k>0) ,则函数 f(x)为“倍值函数”,已知 f(x)=e +x 为“倍值函数”,则实数 k 的取值范围是(e+1,+∞) . 考点:函数的值域. 专题:导数的综合应用. x 分析:本题通过函数的单调性,研究函数 f(x)=e +x 在区间[a,b]上的值域,再根据题目 中“倍值函数”的定义,比较值域与定义域的关系,得到关于 k 的关系式,通过参变量分离 后,求函数的极值,从而求出 k 的取值范围,要注意函数值的变化趋势,即得到本题结论. x 解答: 解:∵函数 f(x)=e +x, ∴函数 f(x)在 R 上单调递增. ∵x∈[a,b], ∴f(a)≤f(x)≤f(b) . a ∴e +a=ka, b e +b=kb, x ∴a、b 是方程 e +x﹣kx=0 两个不相等的实数根, ∴k= , ,

记 g(x)=

g′(x)=

=



当 x<1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减, 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 当 x=1 时,g′(x)=0,g(x)取极小值,g(1)=e+1, ∴k≥e+1. 故答案为: (e+1,+∞) . 点评:本题考查了函数与方程、导数与极值,本题题型灵活,总体难度不大,属于基础题. 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分(15,16,17 各 14 分,18,19,20 各 16 分). 15.已知 ,B={x|x ﹣4x+4﹣m ≤0,m>0},
2 2

(1)若 m=3,求 A∩B; (2)若 A∪B=B,求实数 m 的取值范围. 考点:其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算. 专题:不等式的解法及应用;集合. 分析: (1)利用分式不等式的解法求出集合 A,二次不等式的解法求出集合 B,然后求解交 集. (2)利用已知条件求出 A? B,转化为 m 不等式组,求解即可.

12

解答: 解: (1)
2 2

=(2,7) ,

若 m=3,B={x|x ﹣4x+4﹣m ≤0,m>0}=[﹣1,5],? ∴A∩B=(2,5], .? (2)∵m>0,∴B=[2﹣m,2+m]?

又 A∪B=B,∴

即实数 m 的取值范围为[5,+∞)? 点评:本题考查不等式的解法,集合的交集以及并集的基本运算,考查转化思想的应用,基 础题. 16.在△ABC 中,三边 BC、AC、AB 的 长分别为 a、b、c,若 a=4,E 为边 BC 的中点. (1)若 =1,求 BC 边上的中线 AE 的长; ,求 的最小值.

(2)若△ABC 面积为

考点:余弦定理的应用;基本不等式在最值问题中的应用;向量在几何中的应用. 专题:平面向量及应用. 分析: (1)利用 =1,以及余弦定理列出方程组,通过 cos∠AEB+cos∠AEC=0,即可求

BC 边上的中线 AE 的长; (2) 利用△ABC 面积为 的最小值. 解答: 解: (1)由题意知 可得 b +c =18,?
2 2

, 以及余弦定理求出 bc 的最值, 然后利用基本不等式求

又 相加得 .?

,且 cos∠AEB+cos∠AEC=0,

(2)由条件得



平方相加得 ,?

13

, 即当 b=c 时, 的最小值为 .?

点评:本题考查余弦定理的应用,向量的数量积以及基本不等式的应用,考查计算能力. 17.在正四面体 ABCD 中,点 F 在 CD 上,点 E 在 AD 上,且 DF:FC=DE:EA=2:3.证明: (1)EF∥平面 ABC; (2)直线 BD⊥直线 EF.

考点:直线与平面平行的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 EF∥AC,利用直线与平面平行的判定定理,即可证明结论; (2)取 BD 的中点 M,连 AM,CM,证明 BD⊥平面 AMC,可得 BD⊥AC,利用 HF∥AC,证明直 线 BD⊥直线 EF. 解答: 证明: (1)因为点 F 在 CD 上,点 E 在 AD 上,且 DF:FC=DE:EA=2:3,? 所以 EF∥AC,? 又 EF?平面 ABC, AC? 平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC.? (2)取 BD 的中点 M,连 AM,CM, 因为 ABCD 为正四面体,所以 AM⊥BD,CM⊥BD,? 又 AM∩CM=M,所以 BD⊥平面 AMC,? 又 AC? 平面 AMC,所以 BD⊥EF,? 又 EF∥AC, 所以直线 BD⊥直线 EF.? 点评: 本题考查直线与平面平行、 垂直的判定, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 18. (16 分)如图,已知 O(0,0) ,E(﹣ ,0) ,F( ,0) ,圆 F: (x﹣ ) +y =5.动 点 P 满足|PE|+|PF|=4.以 P 为圆心,|OP|为半径的圆 P 与圆 F 的一个公共点为 Q. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程;
2 2

14

(Ⅱ)证明:点 Q 到直线 PF 的距离为定值,并求此值.

考点:圆与圆锥曲线的综合;圆与圆的位置关系及其判定;椭圆的定义. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ) 根据|PE|+|PF|=4>|EF|,利用椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 E,F 为焦点,4 为长轴长的椭圆,从而可求点 P 的轨迹方程; 2 (Ⅱ)P(x0,y0) ,Q(x1,y1) ,T(x2,y2) ,由题意知,圆 P 的方程为(x﹣x0) +(y﹣y0) 2 2 2 =x0 +y0 ,可得(x0﹣ )x1+y0 y1﹣1=0,同理(x0﹣ )x2+y0 y2﹣1=0,从而可得直线 QT 的方程,连接 PF 交 QT 于 H,则 PF⊥QT,求出|FH|,即可求点 Q 到直线 PF 的距离. 解答: (Ⅰ)解:∵|PE|+|PF|=4>|EF|, ∴根据椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 E,F 为焦点,4 为长轴长的椭圆. 设 P(x,y) ,则点 P 的轨迹方程为 +y =1.
2

?

(Ⅱ)证明:设圆 P 与圆 F 的另一个公共点为 T,并设 P(x0,y0) ,Q(x1,y1) ,T(x2,y2) , 2 2 2 2 则由题意知,圆 P 的方程为(x﹣x0) +(y﹣y0) =x0 +y0 . 又 Q 为圆 P 与圆 F 的一个公共点,故 所以(x0﹣ )x1+y0 y1﹣1=0. 同理(x0﹣ )x2+y0 y2﹣1=0. 因此直线 QT 的方程为(x0﹣ )x+y0y﹣1=0. 连接 PF 交 QT 于 H,则 PF⊥QT. 设|QH|=d (d>0) ,则在直角△QHF 中|FH|= .



,故|FH|=



在直角△QHF 中 d= 所以点 Q 到直线 PF 的距离为 1.

. ?

15

点评:本题主要考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、点到直线距离、直线与椭圆的位置关 系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 19. (16 分)设数列{an}的前 n 项和 Sn>0,a1=1,a2=3,且当 n≥2 时,anan+1=(an+1﹣an)Sn. (1)求证:数列{Sn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)令 bn= ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn.设 λ 是整数,问是否 成立?若存在,求出 n 和相应的 λ 值;若不存在,说

存在正整数 n,使等式 Tn+ 明理由.

考点:数列与函数的综合;数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1) 通过当 n≥3 时, an=Sn﹣Sn﹣1, an+1=Sn+1﹣Sn, 代入 anan+1= (an+1﹣an) Sn, 通过 S1=1,S2=4,S3=16,满足 ,而 Sn 恒为正值,即可证明数列{Sn}是等比数

列; (2)利用(1)求出 Sn,然后求数列{an}的通项公式; (3) 化简 bn= , 利用裂项法求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 通过 n=1, 是整数,从而 λ =4 是整数符合题意.然后

推出 λ 不是整数,不符合题意,n≥2,

得到结论 解答: 解: (1)当 n≥3 时,an=Sn﹣Sn﹣1,an+1=Sn+1﹣Sn, 代入 anan+1= (an+1﹣an) Sn 并化简得 (n≥3) , ?anan+1= (an+1﹣an) Sn, 又由 a1=1,

a2=3 得 S2=4, 代入 a2a3=(a3﹣a2)S2 可解得 a3=12,∴S1=1,S2=4,S3=16, 也满足 (2)由(1)知 ,而 Sn 恒为正值,∴数列{Sn}是等比数列.? .当 n≥2 时, ,

16

又 a1=S1=1,∴

?

(3)当 n≥2 时,

,此时

=

,又



.?

故 当 n≥2 时,



= 若 n=1, 则等式 若 n≥2,则等式 为 , 为 不是整数,不符合题意;? ,

,?

∵λ 是整数,∴4

n﹣1

+1 必是 5 的因数,∵n≥2 时 4

n﹣1

+1≥5

∴当且仅当 n=2 时,

是整数,从而 λ =4 是整数符合题意. 成立, 成立.?(16 分)

综上可知,当 λ =4 时,存在正整数 n=2,使等式 当 λ ≠4,λ ∈Z 时,不存在正整数 n 使等式

点评:本题考查数列求和,数列的递推关系式的应用,函数的思想的应用,考查分析问题解 决问题的能力. 20. (16 分)已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (1)若 a=﹣1,求函数 f(x)的单调区间;

17

(2) 若函数 y=f (x) 的图象在点 (2, f (2) ) 处的切线的倾斜角为 45°, 对于任意的 t∈[1, 2],函数 g(x)=x +x [f′(x)+ ](f′(x)是 f(x)的导数)在区间(t,3)上总不 是单调函数,求 m 的取值范围; (3)求证: × × ×?× < (n≥2,n∈N ) .
* 3 2

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)a=﹣1 时, (2)由 ,由此能求出 f(x)的单调增区间和单调减区间. , (2,f(2) )点切线倾斜角为 45°,求出 f'(x)=﹣ +2,由

此能求出 m 的取值范 (3)构造函数 f(x)=x﹣ln(x+1) ,x>1,由导数性质求出当 n≥2,n>ln(n+1) ,由此 能证明 × × ×?× < (n≥2,n∈N ) .
*

解答: (1)解:a=﹣1 时,f(x)=﹣lnx+x﹣3, ∴x>0, 由 , ,得 x=1.

x>1 时,f′(x)>0;0<x<1 时,f′(x)<0. ∴f(x)的单调增区间为(1,+∞) ,单调减区间为(0,1) . (2)解:∵f(x)=alnx﹣ax﹣3,∴ ∵(2,f(2) )点切线倾斜角为 45°, ∴f'(2)=1,即 ﹣2=1,则 a=﹣2,f'(x)=﹣ +2, 则 g(x)=x +x (﹣ +2+ )=x +(2+ )x ﹣2x, g'(x)=3x +(4+m)x﹣2, ∵函数不单调,也就是说在(t,3)范围内,g'(x)=0 有解, ∵g'(0)=﹣2<0,∴当且仅当 g'(t)<0 且 g'(3)>0 时方程有解, 2 2 ∴3t +(4+m)t﹣2<0 且 3×3 ﹣3(4+m)﹣2>0, 解得﹣ ∴﹣ <m< ﹣3t﹣4,又∵t∈[1,2], <m<﹣9, ,﹣9) .
2 3 2 3 2



∴m 的取值范围(﹣

(3)证明:先证明当 n≥2,n∈Z 时,n>lnn 构造函数 f(x)=x﹣ln(x+1) ,x>1

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则 f′(x)=1﹣

=



∵x>1,∴f′(x)>0, ∴f(x)>f(1)=1﹣ln(1+1)>0 * ∴当 n≥2,n∈N 时,n>ln(n+1) , ∴ ∴ < = . , ,?, , ,

点评:本题考查函数的单调区间的求法,考查实数的取值范围的求法,考查不等式的证明, 解题时要认真审题,注意导数性质和构造法的合理运用. 三、附加题 21.已知 M= F 的方程. 考点:矩阵与矩阵的乘法的意义;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题:选作题;矩阵和变换. 分析:先用矩阵的基本乘法算出 MN 对应的变换,然后根据变换的性质求出曲线方程即可. 解答: 解:由题设得 .?4 分 ,N= ,设曲线 y=sinx 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到曲线 F,求

设所求曲线 F 上任意一点的坐标为(x,y) ,y=sinx 上任意一点的坐标为(x',y') ,则 MN = ,解得 .?7 分



代入 y'=sinx',化简得 y=2sin2x.

所以,曲线 F 的方程为 y=2sin2x.?10 分 点评:本题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的求法.试题难易程度一般,考查知识点的综合 运用.

22.在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆的参数方程为 点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

为参数) .以 o 为极 .求

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考点:椭圆的参数方程;椭圆的应用. 专题:计算题;压轴题. 分析:由题意椭圆的参数方程为 为参数) ,直线的极坐标方程为

.将椭圆和直线先化为一般方程坐标,然后再计算椭圆上点到直 线距离的最大值和最小值. 解答: 解:将 点 到直线的距离 化为普通方程为

所以椭圆上点到直线距离的最大值为 ,最小值为 . 点评:此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据 实际情况选择不同的方程进行求解,这也是每年 2015 届高考必考的热点问题. 23.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点 E、F 分别在棱 BB1、 CC1 上,且 BE= BB1,C1F= CC1. (1)求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; (2)求平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 AE 与 A1F 所成角. (2)求出平面 AEF 和平面 ABC 的法向量,利用向量法能求出平面 AEF 与平面 ABC 所成角的 余弦值. 解答: 解: (1)建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,E(2,0,2) ,A1(0,0,6) ,F(0,2,4) , 从而 记 =(2,0,2) , 与 =(0,2,﹣2) .?2 分

的夹角为 θ ,则有:

20

cosθ =cos<



=﹣ .

由异面直线 AE 与 A1F 所成角的范围为(0,π ) , 得异面直线 AE 与 A1F 所成角为 60°.?4 分 (2)记平面 AEF 和平面 ABC 的法向量分别为 和 , 则由题设可令 =(x,y,z) ,且有平面 ABC 的法向量为 . ,



,取 x=1,得 =(1,2,﹣1) .?8 分

记平面 AEF 与平面 ABC 所成的角为 β , 则 cosβ =|cos< >|=| |= . .?10 分.

∴平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值为

点评:本题考查异面直线所成角的大小的求法,考查平面与平面所成角的余弦值的求法,解 题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 24.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下: ①连续竞猜 3 次,每次相互独立; ②每次竟猜时, 先由甲写出一个数字, 记为 a, 再由乙猜甲写的数字, 记为 b, 已知 a, b∈{0, 1,2,3,4,5},若|a﹣b|≤1,则本次竞猜成功; ③在 3 次竞猜中,至少有 2 次竞猜成功,则两人获奖. (Ⅰ)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率; (Ⅱ) 现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏, 这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎记选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X,求 X 的分布列和期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题:概率与统计.

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分析: (I)由题意基本事件的总数为

个,记事件 A 为“甲乙两人一次竞猜成功”,

分|a﹣b|=0 和|a﹣b|=1.利用古典概型的概率计算公式即可得出 P(A)=

.设

随机变量 ξ 表示在 3 次竞猜中竞猜成功的次数,则 ξ ~B 概率 P(ξ ≥2)=1﹣P(ξ =0)﹣P(ξ =1) . (II) 由题意可知: 从 6 人中选取 4 人共有

.则甲乙两人获奖的

种选法, 双胞胎的对数 X 的取值为 0, 1, 2. X=0,

表示的是分别从 2 对双胞胎中各自选取一个,再把不是双胞胎的 2 人都取来;X=1,表示的 是从 2 对双胞胎中选取一对, 另外 2 人的选取由两种方法, 一种是把不是双胞胎的 2 人都选 来,另一种是从另一双胞胎中选一个,从不是双胞胎的 2 人中选一个;X=2,表示的是把 2 对双胞胎 2 人都选来.据此即可得出 X 的分布列和 EX. 解答: 解: (I)由题意基本事件的总数为 个,记事件 A 为“甲乙两人一次竞猜成

功”,若|a﹣b|=0,则共有 6 种竞猜成功;若|a﹣b|=1,a=1,2,3,4 时,b 分别有 2 个值, 而 a=0 或 5 时, b 只有一种取值. 利用古典概型的概率计算公式即可得出 P (A) = 设随机变量 ξ 表示在 3 次竞猜中竞猜成功的次数, 则甲乙两人获奖的概率 P(ξ ≥2)=1﹣P(ξ =0)﹣P(ξ =1)=1﹣ = . 种选法,双胞胎的对数 X 的取值为 0,1,2. ﹣ .

(II)由题意可知:从 6 人中选取 4 人共有

则 P(X=0)=

=

,P(X=1)=

= ,P(X=2)=

=



随机变量 X 的分布列为 期望为 E(X)= .

点评:正确分类和熟练掌握古典概型的概率计算公式、二项分布、随机变量的分布列和数学 期望是解题的关键.

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