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2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义:第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象

2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义:第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象


**1.4.3 正切函数的性质与图象** 预习课本 P42~45,思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质? (2)正切函数在定义域内是不是单调函数? [新知初探] 正切函数 y=tan x 的性质与图象 y=tan x 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 π ? ? ?xx∈R,且x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? R 最小正周期为 π 奇函数 π π? 在开区间? ?kπ-2,kπ+2 ?(k∈Z)内递增 π π ? [点睛] 正切函数的单调性:正切函数在每一个开区间? ?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上,都 π π ? 是从-∞增大到+∞, 故正切函数在每一个开区间? 但 ?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上是增函数, 不能说函数 y=tan x 在定义域内是增函数. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是 R.( (2)正切函数在整个定义域上是增函数.( ) ) ) ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.( (4)正切函数的图象既是轴对称图形,也是中心对称图形.( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× ) π? 2.函数 y=tan? ?x-3?的定义域是( ? ? 5π ? A.?x∈R? ?x≠kπ+ 6 ,k∈Z ? ? ? ? 5π ? B.?x∈R? ?x≠kπ- 6 ,k∈Z ? ? ? ? 5π x≠2kπ+ ,k∈Z ? C.?x∈R? 6 ? ? ? ? ? 5π ? D.?x∈R? ?x≠2kπ- 6 ,k∈Z ? ? 答案:A π? 3.函数 f(x)=tan? ?x+4?的单调递增区间为( π π? A.? ?kπ-2,kπ+2?,k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z 3π π? C.? ?kπ- 4 ,kπ+4?,k∈Z π 3π? D.? ?kπ-4,kπ+ 4 ?,k∈Z 答案:C π? 4.函数 y=tan x,x∈? ?0,4 ?的值域是________. 答案:[0,1] ) 正切函数的定义域 [典例] 求下列函数的定义域: π? (1)y=tan? ?x+4 ?;(2)y= 3-tan x. π π [解] (1)由 x+ ≠kπ+ (k∈Z)得, 4 2 π x≠kπ+ ,k∈Z, 4 π? 所以函数 y=tan? ?x+4?的定义域为 π ? ? ? ?x x≠kπ+ ,k∈Z ? . 4 ? ? ? (2)由 3-tan x≥0 得,tan x≤ 3. π π? 结合 y=tan x 的图象可知,在? ?-2,2 ?上, π π 满足 tan x≤ 3的角 x 应满足- <x≤ , 2 3 所以函数 y= 3-tan x的定义域为 π π ? ? ? ?x kπ- <x≤kπ+ ,k∈Z? . 2 3 ? ? ? 求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证 π 正切函数 y=tan x 有意义即 x≠ +kπ, k∈Z.而对于构建的三角不等式, 常利用三角函数的 2 图象求解. (2)求正切型函数 y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个 π “整体”.令 ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z,解得 x. 2 [活学活用] 1 求函数 y= 的定义域. 1+tan x 解:要使函数有意义,则有 1+tan x≠0, π π ∴tan x≠-1,∴x≠kπ- 且 x

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