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高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.3两条直线的位置关系学案北师大版必修

高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.3两条直线的位置关系学案北师大版必修

1.3 两条直线的位置关系 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.(重点) 2.能根据直线平行或垂直,求直线方程.(重点) [基础·初探] 教材整理 两条直线的位置关系 阅读教材 P70 至 P71“例 11”以上部分,完成下列问题. l1∥l2 l1、 l2 的倾斜角 α 1、 α 间的关系 2 l1⊥l2 2 α 1=α |α 2-α 1|=90° 图示 若 l1 , l2 的斜率都存在,则 斜率间的关系(若 l1, 若 l1 , l2 的斜率都存在,则 l1∥l2?k1=k2 且 b1≠b2(如图 l1⊥l2 ? k1k2 =- 1( 如 图③ 所 示); l2 的斜率都存在, 设 l1: ①所示); y=k1x+b1,l2:y=k2x 若 l1,l2 的斜率都不存在,则 若 l1,l2 有一条直线的斜率不 +b2) l1∥l2(如图②所示)或 l1 与 l2 存在,则 l1⊥l2?另一条直线 重合 的斜率为 0(如图④所示) 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果直线的斜率不存在,则这条直线一定平行于 y 轴.( (2)斜率相等的两条直线一定平行.( ) ) ) ) (3)若 k1·k2≠-1,则两直线必不垂直.( (4)如果两直线垂直,则这两直线的斜率 k1,k2 满足 k1k2=-1.( 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 1 [小组合作型] 两条直线平行与垂直的判定 判断下列各对直线平行还是垂直,并说明理由. (1)l1:3x+5y-6=0,l2:6x+10y+3=0; (2)l1:3x-6y+14=0,l2:2x+y-2=0; (3)l1:x=2,l2:x=4; (4)l1:y=-3,l2:x=1. 【精彩点拨】 利用两直线的斜率和在坐标轴上截距的关系来判断. 【自主解答】 (1)将两直线方程分别化为斜截式: l1:y=- x+ ,l2:y=- x- . 3 6 3 3 则 k1=- ,b1= ,k2=- ,b2=- . 5 5 5 10 ∵k1=k2,b1≠b2,∴l1∥l2. (2)将两直线方程分别化为斜截式: 3 5 6 5 3 5 3 10 l1:y= x+ ,l2:y=-2x+2. 1 则 k1= ,k2=-2.∵k1·k2=-1,∴l1⊥l2. 2 (3)由方程知 l1⊥x 轴,l2⊥x 轴,且两直线在 x 轴上的截距不相等,则 l1∥l2. (4)由方程知 l1⊥y 轴,l2⊥x 轴,则 l1⊥l2. 1 2 7 3 已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法: (1)若两直线 l1 与 l2 的斜率均存在,当 k1·k2=-1 时,l1⊥l2;当 k1=k2,且它们在 y 轴上的截距不相等时,l1∥l2; (2)若两直线斜率均不存在,且在 x 轴的截距不相等,则它们平行; (3)若有一条直线斜率为 0,另一条直线斜率不存在,则它们垂直. [再练一题] 1.两直线 2x-y+k=0 和 4x-2y+k=0(k≠0)的位置关系为( A.垂直 C.重合 B.平行 D.平行或重合 ) 【解析】 直线 2x-y+k=0 的斜率为 2,在 y 轴上的截距为 k;直线 4x-2y+k=0 的斜率为 2,在 y 轴上的截距为 ,因为 k≠0,所以 ≠k,所以两直线平行. 2 2 2 k k 【答案】 B 利用平行、垂直关系求直线方程 已知点 A(2,2)和直线 l:3x+4y-20=0. 求:(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程; (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程. 【精彩点拨】 本题可以依据直线平行与垂直时斜率间的关系, 求出斜率后用点斜式来 写出直线方程,也可以直接设出与已知直线平行或垂直的直线,然后用待定系数法求得. 【自主解答】 法一:(1)由 l:3x+4y-20=0, 3 得 kl=- . 4 设过 A 点且平行于 l 的直线为 l1, 3 则 kl1=kl=- , 4 3 所以 l1 的方程为 y-2=- (x-2), 4 即 3x+4y-14=0. (2)设过点 A 与 l 垂直的直线为 l2. 4 因为 kl·kl2=-1,所以 kl2= , 3 4 故直线 l2 的方程为 y-2= (x-2), 3 即 4x-3y-2=0. 法二:(1)设过点 A 且平行于直线 l 的直线 l1 的方程为 3x+4y+m=0. 由点 A(2,2)在直线 l1 上,得 3×2+4×2+m=0,解得 m=-14, 故直线 l1 的方程为 3x+4y-14=0. (2)设 l2 的方程为 4x-3y+m=0. 因为 l2 经过点 A(2,2), 所以 4×2-3×2+m=0,解得 m=-2, 故 l2 的方程为 4x-3y-2=0. 过点 A(x0,y0)且与直线 Ax+By+C=0 平行或垂直的直线方程的求法有两种方法: (1)先求斜率(斜率存在时),再用点斜式求直线方程. (2)与 Ax+By+C=0 平行或垂直的直线方程设为 Ax+By+m=0 或 Bx-Ay+m=0,再利 3 用所求直线过点 A(x0,y0)求出 m,便可得到直线方程。 [再练一题] 2.已知直线 l 的方程为 3x-2y-12=0,求直线 l′的方程,l′满足: (1)过点(-1,3),且与 l 平行; (2)过点(-1,3),且与 l 垂直. 【解】 (1)由 l′与 l 平行,可设 l′方程为 3x-2y+m=0.将点(-1,3)代入上式, 得 m=9, ∴所求直线方程为 3x-2y+9=0. (2)由 l′与 l 垂直,可设 l′方程为 2x+3y+n=0. 将(-1,3)代入上式,得 n=-7, ∴所求直线方程为 2x+3y-7=0. [探究共研型] 利用直线的平行与垂直求参数 探究 1 试确定 m 的值,使过点 A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点 C(-4,3),D(0,5) 的直

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