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2013版高中全程复习方略配套课件:10.2用样本估计总体(数学文人教A版湖南专用)(共66张PPT)_图文

2013版高中全程复习方略配套课件:10.2用样本估计总体(数学文人教A版湖南专用)(共66张PPT)_图文

第二节 用样本估计总体

三年22考 高考指数:★★★★ 1.了解分布的意义与作用,会列频率分布表、会画频率分布直 方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点; 2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差; 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差), 并作出合理的解释;

4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特 征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想; 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简 单的实际问题.

1.频率分布直方图的应用和平均数、标准差的计算及应用是考 查重点; 2.频率分布等内容经常与概率等知识相结合出题; 3.题型以选择题和填空题为主,与概率交汇则以解答题为主.

1.统计图表的含义
(1)频率分布表: ①含义:把反映 总体频率分布 的表格称为频率分布表.
②频率分布表的画法步骤: 第一步:求 全距 ,决定组数和组距,组距= 全距 ;
组数
第二步: 分组 ,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,
最后一组取闭区间;
第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表.

(2)频率分布直方图:能够反映样本的 频率分布规律 的直方图. (3)频率分布折线图:将频率分布直方图中各相邻的矩形的 _上__底__边__的中点顺次连接起来,就得到频率分布折线图. (4)总体密度曲线:如果将样本容量取得足够大,分组的组距 足够小,则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线,即总体密 度曲线.

(5)茎叶图的画法步骤: 第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分; 第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列,写 在左(右)侧; 第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.

【即时应用】判断下列关于频率分布直方图和茎叶图的说法是

否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)

①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.

()

②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直

方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.

()

③茎叶图一般左侧的叶从大到小写,右侧的叶按从小到大的顺

序写,相同的数据可以只记一次.

()

④用茎叶图表示数据有两个优点:一是统计图上没有原始数据

信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶

图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.( )

⑤茎叶图只能表示有两位有效数字的数据.

()

【解析】根据频率分布直方图的含义可知①②都正确;茎叶图

要求不能丢失数据,所以③不正确;④正确;⑤不正确,茎叶

图也能够记录有三个或三个以上的有效数字的数据,只不过此

时茎和叶的选择要灵活.

答案:①√ ②√ ③× ④√ ⑤×

2.样本的数字特征

(1)众数:一组数据中 出现次数最多 的那个数据,叫做这组

数据的众数. (2)中位数:把n个数据按大小顺序排列,处于 最中间 位置的

一个数据叫做这组数据的中位数.

a1 ? a2 ??? an

(3)平均数:把

n

称为a1,a2,…,an这n个数的平均数.

(4)标准差与方差:设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数 为 x ,则这组数据的标准差和方差分别是

s?

1 n

[(x1

?

x)2

?

(x2

?

x)2

?

????

(xn

?

x)2]

s2

?

1 n

[(x1

?

x)2

?

(x2

?

x)2

?????

(xn

?

x)2]

【即时应用】 (1)思考:在频率分布直方图中,如何确定中位数?
提示:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面 积是相等的. (2)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛, 他们每场比赛得分的情况用如图所示的 茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中 位数分别为________.

【解析】根据中位数的含义及茎叶图可知,甲的中位数是19, 乙的中位数是13. 答案:19、13

(3)已知一个样本为:1,3,4,a,7.它的平均数是4,则这个
样本的标准差是______.
【解析】由平均数是4,得 1? 3 ? 4 ? a ? 7 =4,
5
∴a=5,代入标准差的计算公式得s=2.
答案:2

统计图表的应用 【方法点睛】
常用统计图表的作用 频率分布表、频率分布直方图、茎叶图都是用来描述样本数据 的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成,没有损失任何样 本信息,可以随时记录;频率分布表和频率分布直方图则损失 了样本的一些信息.

【提醒】在画频率分布表或频率分布直方图分组时,取值区间 两端点有时可根据数据分别向外延伸半个组距.

【例1】对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:

寿命 (h)

[100,200) [200,300)

[300,400)

[400,500) [500,600]

个数

20

30

80

40

30

(1)列出频率分布表;

(2)画出频率分布直方图;

(3)估计电子元件寿命在[100,400) h以内的概率;

(4)估计电子元件寿命在400 h以上的概率.

【解题指南】本题分组及频数统计已完成,只需列表画图即可,

解答(3)(4)可用频率代替概率.

【规范解答】(1)频率分布表如下:

寿命(h)

频数

频率

[100,200)

20

0.10

[200,300)

30

0.15

[300,400)

80

0.40

[400,500)

40

0.20

[500,600]

30

0.15

合计

200

1

(2)频率分布直方图如下:

频率/组距

0.004?0 0.003?5 0.003?0 0.002?5 0.002?0 0.001?5 0.001?0 0.000?5
o

100 200 300 400 500 600 寿命/h

(3)由频率分布表和频率分布直方图可得,寿命在[100,400) h 内的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65,所以我们 估计电子元件寿命在[100,400) h内的概率为0.65. (4)由频率分布表可知,寿命在400 h以上的电子元件出现的频 率为0.20+0.15=0.35,故我们估计电子元件寿命在400 h以上 的概率为0.35.

【反思·感悟】1.画频率分布直方图时要注意纵、横坐标轴的

意义,频率分布直方图中小矩形的面积是该组数据的频率.

2.频率分布直方图反映了样本的频率分布.

(1)在频率分布直方图中纵坐标表示

频率 组距

,频率=组距× 频率
组距

.

(2)频率分布表中频率的和为1,故频率分布直方图中各长方形

的面积和为1.

(3)用样本的频率分布可以估计相应总体的概率分布.

数字特征的应用 【方法点睛】 1.众数、中位数与平均数的理解 众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,其中 平均数与每一个样本数据都有关,任何一个数据的改变都会引 起平均数的变化.

2.标准差与方差 标准差与方差描述了一组数据与平均数的离散程度,反映了一 组数据相对于平均数的波动情况,标准差与方差越大,说明这 组数据的波动性越大. 【提醒】用样本的数字特征估计总体的数字特征时,样本容量 越大,估计就越精确.

【例2】(1)(2011·江西高考)为了普及环保知识,增强环保意识, 某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图 所示,假设得分值的中位数为me,众数为mo,平均值为 ,则x
() (A)me=mo= x (B)me=mo< x (C)me<mo< x (D)mo<me< x

(2)某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方

差为75,后来发现有2名同学的分数登错了,甲实得80分却记

成了50分,乙实得70分却记成了100分,则更正后平均分和方

差分别是( )

(A)70,50

(B)70,75

(C)70,1.04

(D)65,25

(3)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的 观测值如下:



60

80

70

90

70



80

60

70

80

75

问:甲、乙谁的平均成绩较好?谁的各门功课发展较平衡?

【解题指南】计算样本的数字特征可以利用定义进行,利用数 字特征估计总体,可以根据各数字特征反映的总体的某些方面 的特征进行. 【规范解答】(1)选D.由频数分布条形图可知,30名学生的得 分依次为2个3,3个4,10个5,6个6,3个7,2个8,2个9,2个10.中位 数为第15,16个数(为5,6)的平均数,即me=5.5,5出现次数最 多,故mo=5,
x=2? 3 ? 3? 4 ?10? 5 ? 6? 6 ? 3? 7 ? 2?8 ? 2? 9 ? 2?10 30
≈5.97.于是得mo<me< x .故选D.

(2)选A.甲少记了30分,乙多记了30分,故更正后平均分仍为

70分;

设更正前48名学生成绩为x1,x2,…,x46,50,100,则由条件 知(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x46-70)2+(50-70)2+(100- 70)2=75×48.

∴更正后方差

s2= 1
48

[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x46-70)2+(80-70)2+

(70-70)2]

= 1 (75×48-202-302+102)=50.
48

(3)x甲= 1 (60+80+70+90+70)=74,

5

x乙=

1(80+60+70+80+75)=73,
5

s甲2= 1 (142+62+42+162+42)=104,
5
s乙2= 1 (72+132+32+72+22)=56,
5

∵ x甲 ? x乙,s甲2>s乙2

∴ 甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡.

【反思·感悟】牢记样本数据的数字特征是正确求解的关键, 各个数字特征只是反映了总体的某一方面的信息,应用时要综 合考虑.

统计与概率的综合应用 【方法点睛】
解答统计与概率综合问题的注意事项 (1)从统计图表中准确获取相关信息是解题关键. (2)明确频率与概率的关系,频率可近似代替概率. (3)此类问题中的概率模型多是古典概型,在求解时,要明确 基本事件的构成.

【例3】某市从4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如 下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (1)作出频率分布表; (2)作出频率分布直方图; (3)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优; 在51~100之间时,为良;在101~150之间时,为轻微污染; 在151~200之间时,为轻度污染.

请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简 短评价. 【解题指南】首先根据题目中的数据完成频率分布表,作出频 率分布直方图,根据污染指数,确定空气质量为优、良、轻微 污染、轻度污染的天数.

【规范解答】(1)频率分布表:

分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111]

频数
2 1 4 6 10 5 2

频率
2 30 1 30 4 30 6 30 10 30 5 30 2 30

(2)频率分布直方图:
频率/组距
10 300
5 300
O 41 51 61 71 81 91 101 111 空气污 染指数

(3)答对下述两条中的一条即可:

①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天

数的 1 ,有26天处于良的水平,占当月天数的13,处于优或良

15

15

的天数共有28天,占当月天数的 14 .说明该市空气质量基本良

15

好.

②轻微污染有2天,占当月天数的 1 .污染指数在80以上的接近
15
轻微污染的天数有15天,加上处于轻微污染的天数,共有17

天,占当月天数的17 ,超过50%,说明该市空气质量有待进一
30
步改善.

【反思·感悟】1.在频率分布表中,频数的和等于样本容量,
频率的和等于1,每一小组的频率等于这一组的频数除以样本
容量;
2.在频率分布直方图中,小矩形的高等于每一组的 频率 ,它
组距
们与频数成正比,小矩形的面积等于这一组的频率.

【满分指导】统计的综合应用解答题的规范解答 【典例】(12分)(2011·北京高考)以下茎叶图记录了甲、乙两 组各四名同学的植树棵数,乙组记录中有一个数据模糊,无法 确认,在图中以X表示.

(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;

(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这

两名同学的植树总棵数为19的概率.

(注:方差

s2=

1 n

[(x1-x

)

2+(x

2-x)2+?

?

?+(x

n-x)2

]

,其中 x 为

x1,x2,…,xn的平均数)

【解题指南】(1)利用平均数和方差的定义计算.

(2)利用列举法求出所有可能情况,然后求概率.

【规范解答】 (1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树

棵数是:8,8,9,10,

所以平均数为 x=8 ? 8 ? 9 ?10 ? 35;…………………………3分

4

4

方差为 s2=1[(8 ? 35 )2 ? (8 ? 35 )2 ? (9 ? 35 )2 ? (10 ? 35 )2]? 11.

44

4

4

4 16

…………………………………………………………………6分

(2)记甲组四名同学分别为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依 次为9,9,11,11;乙组四名同学分别为B1,B2,B3,B4,他们植 树的棵数依次为9,8,9,10. 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16 个,它们是: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4), (A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4), (A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4).………………10分

用C表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件, 则C中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2), (A4,B2),故所求概率为P(C)= 4 ? 1 .………………12分
16 4

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示和备考建议:
失 在解答本题时有两点容易造成失分: 分 (1)对方差的公式掌握不准确或计算出错导致失分; 警 (2)求不出“分别从甲、乙两组中随机选取一名同学” 示 的所有情况导致概率求错而失分.

解决统计应用问题时,还有以下几点容易造成失分,
在备考时要高度关注: 备
(1)对样本的获取即抽样方法应用不熟练; 考
(2)对常用的统计图表和数字特征反映的总体的特征理 建 议 解不透彻;
(3)与其他知识,特别是概率结合时,相关的概率模型
不熟悉.

1.(2011·四川高考)有一个容量为66的样本,数据的分组及各

组的频数如下:

[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9

[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12

[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3

根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约

是( )

(A) 1
6

(B) 1
3

(C) 1
2

(D) 2
3

【解析】选B.从31.5到43.5共有22个数据,所以 P ? 22 ? 1.
66 3

2.(2012·湖南师大附中模拟)对某校400名学生的体重(单位:

kg)进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,则学生体重

在60 kg以上的人数为( )

(A)200

(B)100

(C)40

(D)20

【解析】选B.由直方图可知体重在60 kg以上的概率约为 (0.04+0.01)×5=0.25,故体重在60 kg以上的人数为 400×0.25=100.

3.(2011·江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数

分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=_____.

【解析】平均值 x ? 10 ? 6 ? 8 ? 5 ? 6 ? 7,

5



s2

?

1 5

???10

?

7?2

?

?6

?

7?2

?

?8 ?

7?2

?

?5 ?

7?2

?

?6

?

7?2

? ?

?

16 5

?

3.2.

答案:3.2

4.(2012·咸宁模拟)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数

用茎叶图表示如图,中间一列的数字表示零件个数的十位数,

两边的数字表示零件个数的个位数,则这10天甲、乙两人日加

工零件的平均数分别为



.

【解析】甲的平均数为
20 ? ?1? 2 ?1? 3 ? 2 ?11?11?15 ? 24, 10
乙的平均数为
20 ? ?1? 3 ? 9 ?1? 4 ? 2 ? 4 ?10 ?12 ?10 ? 23. 10
答案:24 23


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