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(北师大版)2018-19年度高中数学必修5-同步习题-第二章解三角形 2.1.1 正弦定理

(北师大版)2018-19年度高中数学必修5-同步习题-第二章解三角形 2.1.1 正弦定理

1.1 正弦定理 课时过关·能力提升 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=8,B=60°,C=75°,则 b 等于( A.4 2 B.4 3 C.4 6 D. 3 32 sin 8sin 60 ° sin 45 ° ) 解析: 由已知条件得 A=180°-(B+C)=45°.由正弦定理,得 b= sin = 答案:C =4 6. 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c= 3a,B=30°,则 C 等于( A.120° B.105° C.90° D.75° 3 2 ) 解析: ∵c= 3a,∴sin C= 3sin A= 3sin(180°-30°-C)= 3sin(30°+C)= 3 1 2 sin + cos , 即 sinC=- 3cos C,∴tanC=- 3. ∵C∈(0,π),∴C=120°.故选 A. 答案:A 3.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3b,则 A 等于( A.3 π ) B.4 π C. 6 π D.12 π 解析: ∵2asin B= 3b, ∴2sin AsinB= 3sin B. ∵sin B≠0,∴sin A= 2 . ∵A∈ 0, 2 , ∴A=3 .故选 A. 答案:A 4.在△ABC 中,满足 acosB=bcosA,则△ABC 的形状为 A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等腰三角形 ( ) π π 3 解析: 由正弦定理,得 sinAcosB=sin BcosA, ∴sin AcosB-cos AsinB=0, 即 sin(A-B)=0. ∴A=B.故△ABC 为等腰三角形. 答案:D 5.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则 sin A∶sinB∶sinC 等于( A.6∶5∶4 C.3∶5∶7 B.7∶5∶3 D.4∶5∶6 ) 解析: ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6, ∴ + 令 4 + 4 = + = 5 + 5 = + = 6 + 6 . =k(k>0), = 2 , 7 + = 4, 5 则 + = 5, 解得 = 2 , + = 6, 3 = , 2 ∴sin A∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3. 答案:B 6.若满足条件 C=60°,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,则 a 的取值范围是( A.(1, 2) C.( 3,2) B.( 2, 3) D.(1,2) ) 解析: 由三角形有两解,知 asin 60°< 3<a,解得 3<a<2,故选 C. 答案:C 7.在△ABC 中,若 a=2,A=30°,C=45°,则△ABC 的面积 S△ABC 等于 解析: ∵B=180°-A-C=105°, . ∴b= sin = 1 sin 2×sin 105 ° sin 30 ° = 6 + 2. 2 ∴S△ABC=2absin C=( 6 + 2)× 2 = 3+1. 答案: 3+1 8.在△ABC 中,BC=x,AC=2,B=45°,若这个三角形有两解,则 x 的取值范围 是 . 2 2 解析: 如图所示,AB 边上的高 CD= 2 x,要使三角形有两解,必须满足 CD<2<x,即 2 x<2<x, 解得 2<x<2 2. 答案:(2,2 2) 9.在△ABC 中,已知 tanA=2,cos B= 是 1 3 10 10 ,若△ABC 最长边长为 10,则最短边长 . 1 3 10 10 解析: ∵tan A=2,cos B= 10 3π , ∴sin B= 10 ,tanB=3,tan C=-tan(A+B)=-1. ∴C= 4 ,最长的边为 c,最短的边为 b,利用正弦定理 答案: 2 10.在锐角三角形 ABC 中,边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,A=2B,求 的取值范围. 解: 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 均小于 90°, < 90°, 即 2 < 90°, 解得 30°<B<45°. 180°-3 < 90°, 由正弦定理,知 = sin = sin sin 2 sin 10 3π sin 4 1 = sin ,得 b= 2. =2cos B∈( 2, 3), 故 的取值范围是( 2, 3). 11.在△ABC 中,a= 3,b=1,B=30°,求边 c 及 S△ABC. 解: ∵由正弦定理sin = sin ,得 sinA= 3× 1 1 2 = 3 2 , ∴A=60°或 A=120°. 当 A=60°时,C=90°,c=2b=2,S△ABC=2acsin B= 2 ; 当 A=120°时,C=30°,c=b=1,S△ABC=2acsin B= 4 . 故 c=2,S△ABC= 2 或 c=1,S△ABC= 4 . ★12.在△ABC 中,A,B 为锐角,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos 2A=5,sin B= 10 . (1)求 A+B 的值; (2)若 a-b= 2-1,求 a,b,c 的值. 解:(1)∵A,B 为锐角,sin B= 10 , 10 3 10 3 3 1 3 1 3 ∴cos B= 1-sin2 = 3 3 10 10 . ∵cos 2A=1-2sin2A=5, ∴sin A= 5 ,cosA= 1-sin2 = ∵0<A+B<π,∴A+B=4 . (2)由(1)知 C= 4 , 3π π 5 2 5 5 . 2 5 5 ∴cos(A+B)=cos AcosB-sin AsinB= × 3 10 10 ? 5 5 × 10 10 = 2 2

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