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广东省惠州市2010年普通高中毕业班综合测试(一)文科数学考试试卷(word版含答案)

广东省惠州市2010年普通高中毕业班综合测试(一)文科数学考试试卷(word版含答案)


广东省惠州市 2010 年普通高中毕业班综合测试(一)文科数学考试试卷(word 版含答案) (本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高。

第Ⅰ卷
(2010·惠州一模)1.复数 A. ?
1 2 1 1? i 1 1? i

选择题(共 50 分)
) C.
1 2 i 1 2

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 的虚部是(

B.
? 1? i 2 ?

1 2 1 2 1 2 1

D.1 .故选 A.

1. 【解析】?

?

i ,? 复数

1? i

的虚部是 ?

(2010·惠州一模)2.集合 A ? y y ? 2 , x ? R , B ? ? ? 1, 0,1? ,则下列结论正确的是
x

?

?

(

).
A ? B ? (0, ? ? )

A .

B .

( C R A )∪ B ? ( ? ? , 0 ]

C .

( C R A )∩ B ? ? ? 1, 0 ?

D. ( C R A )∩ B ? ?1? 2. 【解析】 A ? ? 0 , ? ? ? ? ? C R A ? I B ? ? ? 1 , 0 ? .故选 C.

(2010·惠州一模)3.对于非零向量 a , b ,“ a∥ b ”是“ a ? b ? 0 ”成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
? ? ? ? ?

? ?

?

?

?

?

?


? ?

3. 【解析】 a ? b ? 0 , 由 可得 a ? ? b , 即得 a ∥ b , a ∥ b , 但 不一定有 a ? ? b , 所以 “ a ∥ b ” 是“ a ? b ? 0 ”成立的必要不充分条件。故选 B. (2010·惠州一模)4.已知函数 y ? f ? x ? 的图象与 y ? ln x 的图象关于直线 y ? x 对称, 则 f ?2? ? ( A. 1 ) B. e C. e
2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

D. ln ? e ? 1 ?
x 2

4. 【解析】函数 y ? f ? x ? 是 y ? ln x 的反函数,? f ? x ? ? e , f ? 2 ? ? e .故选 C.

(2010·惠州一模)5.如图是 2010 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上, 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉 7 8 一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为( ) A. 4 .8 4 B.0.8 8 2 4 C. 1 .6 D.3.2

6

6

7

9 2

5. 【解析】去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数:
80 ? 1 5

第 5 题图

? 2 ? 4 ? 6 ? 6 ? 7 ? ? 85 ,
差 是
?


1 ??8 ? 5?


?? ?

?

2

?

?

?

?

? ?2

?

?

?

?

2

?

?

?

8?

?



5

2

故选 D.

(2010·惠州一模)6.已知 m , n 是两条直线, ? , ? 是两个平面,给出下列命题:①若
n ? ? , n ? ? ,则 ? // ? ;②若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ;

③ 若 n , m 为异 面直线 n ? ? , n // ? , m ? ? , m // ? , 则 ? // ? .其 中正确 命题的 个数 是
( ).

A. 3 个

B. 2 个

C. 1 个

D. 0 个

6. 【解析】①显然正确;②三点在平面 ? 的异侧,则相交;③正确。故选 B.

(2010·惠州一模)7.在如图所示的流程图中,若输入值分别为
a ? 2
0 .7

, b ? ( ? 0 .7 ) , c ? lo g 0 .7 2 ,则输出的数为 (
2

开始

) D.不确定 输 入 a,b,c 否 a>b 且 a>c 吗? 否 是

A. a

B. b

C. c

7. 【解析】? 2

0.7

? 1 ? ( ? 0.7 ) ? 0 ? log 0.7 2, 即 a ? b ? c ,? 输出的数是 a .故选 A.
2

b>c 吗? 是 输出 b

输出 c

输出 a

结束

第 7 题图

(2010·惠州一模)8.已知双曲线

x a

2 2

? y ? 1 ? a ? 0 ? 的右焦点与抛物线
2

y ? 8 x 焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是(
2



A. y ? ? 5 x C. y ? ? 3 x
2

B. y ? ? D. y ? ?

5 5 3 3

x

x

8. 【解析】 y ? 8 x 焦点是 ? 2, 0 ? ,? 双曲线 ? 又a ? 0 ? a ?
2 ?1 ?
2 2

x a

2 2

? y ? 1 的半焦距 c ? 2 ,又虚半轴 b ? 1,
2

3 ,? 双曲线渐近线的方程是 y ? ?

3 3

x .故选 D.

(2010·惠州一模)9.若 2 ? 2 ? 4 ,则点 ? m , n ? 必
m n

在(



A.直线 x ? y ? 2 ? 0 的左下方 B.直线 x ? y ? 2 ? 0 的右上方 C.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的右上方 D.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的左下方 9. 【解析】? 4 ? 2 ? 2 ? 2 2
m n m?n

? 2 ?2
2

m?n

? m ? n ? 2 ,即 m ? n ? 2 ? 0 ,故选 A 。

(2010·惠州一模)10.如图,正方形 A B C D 的顶点 A (0, 顶点 C 、 D 位于第一象限,直线 l : x ? t (0 ? t ?
2)将

2 2

) ,B(

2 2

, 0) ,

正方形 A B C D 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影部分 的面积为 f ( t ) ,则函数 s ? f ? t ? 的图象大致是( )

第 10 题图 A B C D

10. 【解析】当直线 l : x ? t (0 ? t ?

2 ) 从左向右移动的过程中,直线 l 左侧阴影部分的面积
2 2

f ( t ) 的改变量开始逐渐增大,当到达中点 t ?

时,面积 f ( t ) 的改变量最大,而后面积

f ( t ) 的改变量逐渐减小。故选 C.

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分) (2010·惠州一模)11 .函 数 y ? x ? 3 x ? 9 的 极 小 值 是
3



11 . 【解析】 y ? ? x ? 3 x ? 9 ? ? 3 x ? 3 ? 3 ? x ? 1 ? ? x ? 1 ?
' 3 ' 2

当 x ? ? ? ? , ? 1 ? 时, y ? 0 ,函 数 y ? x ? 3 x ? 9 递 增 ;
' 3

当 x ? ? ? 1,1 ? 时, y ? 0 ,函 数 y ? x ? 3 x ? 9 递 减 ;
' 3

当 x ? ? 1, ? ? ? 时, y ? 0 ,函 数 y ? x ? 3 x ? 9 递 增 ;
' 3

当 x ? 1 时 , y极 小 值 ? 7 ( 2010 · 惠 州 一 模 ) 12 . 已 知 数 列 ? a n ? 是 等 差 数 列 , a 3 ? 1, a 4 ? a1 0 ? 1 8, 则 首 项
a1 ?


a7 ? a3 7?3 9 ?1 4

12. 【解析】 a 4 ? a10 ? ( a 3 ? d ) ? ( a 3 ? 7 d ) ? 2 ? 8 d ? 18 ? d ? 2 ,? a1 ? a 3 ? 2 d ? ? 3
? 另解: 2 a 7 ? a 4 ? a1 0 ? 1 8, ? a 7 ? 9 , 公差 d ? ?
? ? 2 , 1 ? a3 ? 2 d ? ? 3 。 a

(2010·惠州一模)13.已知 ? ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c 且
a ? 2, co s B ? 4 5

, b ? 3 ,则 sin A ?
4 5
a sin A ? b sin B


1 ? co s B ?
2

13. 【解析】在 ? ABC 中,? co s B ?

,? sin B ?

3 5


3

由正弦定理得:

? sin A ?

a sin B b

2? ?

5 ? 2 。 3 5

★(请考生在以下两个小题中任选一题作答,全答的以第一小题计分)
? x ? 3 ? t co s 2 3 0 0 (2010·惠州一模)14. (坐标系与参数方程选做题)直线 ? 0 ? y ? ? 1 ? t sin 2 3 0 ( t 为参数)的倾斜角是 。 x ? 3 14 . 【 解 析 】 当 时


t a n

?x ? 3 ? t ? ? y ?1 ? t

c s
0

0

?

y ?o1 x ?i 3

? t
?

s n

?

a?

2 2

?n

?

3 ? 3

?

2? ?

0 0

3 ,

?

0

? 直线倾斜角是 50

第 15 题图 图

(2010·惠州一模)15. (几何证明选讲选做题)如图, ? O 的割线 P A B 交 ? O 于 A , B 两点,割线 P C D 经过圆心 O ,已知 P A ? 6 ,
AB ? 22 3

, P O ? 12 ,则 ? O 的半径是__



15. 【解析】设⊙O 的半径是 R ,? P A ? P B ? P C ? P D ? ? P O ? R ? ? P O ? R ? ? R ? 8 。

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

uuu uuu r r 在平面直角坐标系下,已知 A ( 2, 0 ) , B (0, 2 ) , C (cos 2 x , sin 2 x ) , f ( x ) ? A B ? A C .
(1)求 f ( x ) 的表达式和最小正周期; (2)求 f ( x ) 的最大值及达到最大值时 x 的值. 16.解: (1) A B ? ( ? 2, 2) , A C ? ( ? 2 ? co s 2 x , sin 2 x ) ,
uuu r uuu r

(2010·惠州一模)16. (本小题满分 12 分)

????2 分
?
4 )?4,

∴ f ( x ) ? ( ? 2, 2) ? (cos 2 x ? 2, sin 2 x ) ? 4 ? 2 cos 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 2 sin ( 2 x ? ∴ f ( x ) ? 2 2 sin ( 2 x ?
?
4 )?4, 2? 2 ?? 。 )?4.

????6 分 ????8 分

∴ f ( x ) 的最小正周期为 T ?

(2)∵ f ( x ) ? 2 2 sin ( 2 x ? ∴当 sin ( 2 x ? 即2x ?
?
4

?
4

?
4

) ?1,

? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? ,即 x

? k? ?

3? 8

? k ? Z ? 时,

????10 分 ????12 分

f m ax ( x ) ? 2 2 ? 4 。

(2010·惠州一模)17. (本小题满分 12 分) 现有编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 的四个不同的代数题和编号分别为 5 , 6 , 7 的三个不同的几何 题.甲同学从这七个题中一次随机抽取两道题,每题被抽到的概率是相等的,用符号 ( x , y ) 表示事件“抽到的两题的编号分别为 x 、 y ,且 x ? y ” . (1)总共有多少个基本事件?并全部列举出来; (2)求甲同学所抽取的两题的编号之和大于 6 且小于 10 的概率。 17.解: (1)共有 2 1 个等可能性的基本事件,列举如下: (1, 2 ) , (1, 3 ) , (1, 4 ) , (1, 5 ) ,
(1, 6 ) , (1, 7 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 7 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 6 ) , ( 3 , 7 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 6 ) , ( 4 , 7 ) , ( 5 , 6 ) , ( 5 , 7 ) , ( 6 , 7 ) ,共 21 个;

??5

分 (2)记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和大于 6 且小于 10”为事件 A . 即事件 A 为“ x , y ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ? ,且 x ? y ? ? 6,1 0 ? ,其中 x ? y ”, 由(1)可知事件 A 共含有 9 个基本事件,列举如下:

?1, 6 ? , ?1, 7 ? , ? 2, 5 ? , ? 2, 6 ? , ? 2, 7 ? , ? 3, 4 ? , ? 3, 5 ? , ? 3, 6 ? , ? 4, 5 ? . 共 9 个;
? P ( A) ? 9 21 ? 3 7

???10 分

.

???????12 分

(2010·惠州一模)18. (本小题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A C ? 3 ,
B C ? 4 , A B ? 5 , A A1 ? 4 ,点 D 是 A B 的中点,

C1 A1

(1)求证: A C ? B C 1 ; (2)求证: A C 1 ? 平 面 C D B1 ; (3)求三棱锥 C 1 ? C D B1 的体积。

B1

C

B D

A

18.解 : (1)直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 , 底面三边长 A C ? 3 , B C ? 4 , A B ? 5 ,
? A B ? A C ? B C ,∴ A C ? B C ,
2 2 2

第 18 题图
C1 A1



B1

? C C1 ? 平 面 A B C , A C ? 平 面 A B C , ? A C ? C C 1 ,又 B C ? C C 1 ? C , ? A C ? 平 面 BCC 1 B1 , B C 1 ? 平 面 B C C 1 B1 ,

E

∴ A C ? B C1

…………5 分
C
D B

(2)设 C B1 与 C 1 B 的交点为 E ,连结 D E ,
A ∵ D 是 A B 的中点, E 是 C 1 B 的中点,? D E ? A C 1 ,

? D E ? 平 面 C D B1 , A C 1 ? 平 面 C D B 1 ,? A C 1 ? 平 面 C D B 1 。
1 3 1 2 1

???10 分

(3) V C

1

? C D B1

? VD ?B C C ?
1 1

? S? B C C ?
1 1

AC ?

?1 ? 3 ? ? ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ???14 分 3 ?2 ? 2

(2010·惠州一模)19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆的一个顶点为 A ? 0, ? 1 ? ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距

离 为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 y ? kx ? m ( k ? 0 ) 与椭圆相交于不同的两点 M , N . AM ? AN 时, m 当 求 的 取值范围。

19.解: (1)依题意可设椭圆方程为
a
2

x a

2 2

? y

2

? 1 ,则右焦点 F

?

a ? 1, 0
2

?

?1 ? 2 2 ? 3 ,解得 a 2
x
2
2

由题设 故所求椭圆的方程为

?3

????????4 分 ????????5 分

? y ?1
2

3
? y ? kx ? m ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 2 ? y ?1 ? ? 3
2 2

得 ( 3 k ? 1) x ? 6 mkx ? 3 ( m ? 1) ? 0
2 2 2

? 直线与椭圆相交,? ? ? ? 6 m k ? ? 4 ? 3 k ? 1 ? ? 3 ? m ? 1 ? ? 0 ? m
2

2

? 3k

2

? 1 ①??8


? xP ? xM ? xN 2 ? ? 3m k 3k ? 1
2

从而 y P ? kx P ? m ? 又 AM ? AN
2

m 3k ? 1
2

? k AP ?
?

yP ? 1 xP
2

? ?

m ? 3k ? 1
2

,? A P ? M N ,则

3m k
?1 ? ?
2

m ? 3k

1 k

即 2 m ? 3k ? 1

② ??????????10 分 ??????????12 分 ??????????????13 分 ??????????????14 分

3 mk

把②代入①得 m ? 2 m 解得 0 ? m ? 2 由②得
k
2

?

2m ? 1 3

? 0 解得 m ? 1 2 ? m ? 2

1 2



综上求得 m 的取值范围是

(2010·惠州一模)20. (本小题满分 14 分) 已知函数
f (x) ? 1 2 x ?
2

3 2

x , 数 列 { a n }的 前 n 项 和 为 S n , 点 ( n , S n )( n ? N ) 均 在 函 数 y ? f ( x ) 的图

?

象上。 (1)求数列 { a n } 的通项公式 a n ; (2)令 b n ?
an 2
n ?1

, 求数列 {b n }的 前 n 项 和 T n;

(3)令 c n ?

an a n ?1

?

a n ?1 an

, 证明: 2 n ? c1 ? c 2 ? … + c n ? 2 n ?

1 2 3 2


n

? 20.解: (1)? 点 ( n , S n ) 在 f ( x )的 图 象 上 , S n ?

1 2

n ?
2

当 n ? 2时 , a n ? S n ? S n ?1 ? n ? 1 ;当 n ? 1时 , a1 ? S 1 ? 2 ,适合上式,
? a n ? n ? 1( n ? N )
?

???????????????4 分

(2) b n ?

an 2
n ?1

?

n ?1 2
n ?1


3 2 ? ? 4
2

T n ? b1 ? b 2 ? … ? b n ? 2 ? 1 2 1 2
? 1?

?… ?

n ?1 2
n ?1

① ② ????????5 分
n ?1 2
n

Tn ?

2 2

?

3 2 1 2
2

?… ? 2 1 2
2

n
n ?1

2 n ?1 2
n



由① ? ②得:
Tn ? 2 ?
1
n 2 ? 1 ? n ? 1 = 2 (1 ? 1 ) ? 1 ? n ? 1 , T ? 6 ? n ? 3 ? n n n n n ?1 1 2 2 2 2

?

?… ? 2

1
n ?1

?

n ?1 2
n

? (1 ?

1 2

?

1 2
2

?… ? 2

1
n ?1

) ? (1 ?

)

1?

??????8 分

2

(3)证明:由 c n ?

an a n ?1

?

a n ?1 an

?

n ?1 n?2

?

n?2 n ?1

? 2

n ?1 n ? 2 ? ? 2, n ? 2 n ?1

? c1 ? c 2 ? c n ? ? ? c n ? 2 n ,
n ?1 1 1 ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? 2 n ? [( ? ) ? 2 3 1 1 1 ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n?2 2 1 ? 2 n ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? 2 n ? 成立 2

??????????10 分
1 ? 1 n ? 2 1 1 1 1 ( ? )?? ? ( ? )] ??12 分 3 4 n ?1 n ? 2

又 cn ?

n ?1 n ? 2

?

n ? 2 n ?1

? 2?

?????????????14 分

(2010·惠州一模)21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e ?
x

x

2

? ax ? 1 , (其中 a ? R . 无 理 数 e ? 2.71828 ? )

2

(1)若 a ? ? (2)当 x ?
1 2

1 2

时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ? 1, f (1) ? 处的切线方程;

时,若关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,试求 a 的最大值。

21.解: (1)当 a ? ?

1 2

时, f ? x ? ? e ?
x

x

2

?
1 2

1 2

2

x x ? 1, f ? ? x ? ? e ? x ?

1 2

, ???2 分

从而得 f ? 1 ? ? e ? 1, f ? ? 1 ? ? e ?

, ???????????????4 分
1 2 )( x ? 1) ,

故曲线 y ? f ( x ) 在点 ? 1, f ? 1 ? ? 处的切线方程为 y ? e ? 1 ? ( e ? 即? e ?
? ? 1? 1 ?x? y? ? 0. 2? 2

???????????????6 分
e ?
x

1 2 x

(2)由 f ( x ) ? 0 ,得 a x ? e ?
x

1 2

x ? 1,? x ?
2

1 2

x ?1
2

,? a ? 1 2
2



?????7 分

令g ?x? ?

e ?
x

1 2 x

x ?1
2

, 则 g?? x? ?

e

x

? x ? 1? ?
x
2

x ?1 ,
1 2
e

??????8 分
,? ? ? ? x ? ? 0 ,

再令 ? ( x ) ? e ( x ? 1) ?
x

1 2

x ? 1, 则 ? ? ? x ? ? x ( e ? 1),? x ?
2 x

? 0, 即 ? ( x ) 在 ? , ? ? ? 上单调递增.所以 ? ( x ) ? ? ? ? ? ? ?????10 分 2 ?2? 8 ?2 ?

?1

?

?1?

7

因此 ? ? x ? ? 0 ? g ? ? x ? ? 0 ? x ? ? , ? ? ? ? , ?2 ?? ? 故 g ? x ? 在 ? , ? ? ? 上单调递增.
?2 ?
1

?

?1

??

?1

?

??????12 分
e2 ? 1 ?1 ?2 e?

则 g ? x ? ? ? g ? x ?? ? ?

m in

?1? ? g? ?? ?2?
9 4

8 1 2

9 4



因此

am

a x

? 2 e?

.

?????????????????????14 分


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