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2017-2018学年高中数学必修五教师文档:第二章 §2-2 等差数列 二 含答案 精品

2017-2018学年高中数学必修五教师文档:第二章 §2-2 等差数列 二 含答案 精品

学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解 决有关问题. 知识点一 等差数列通项公式的推广 思考 1 已知等差数列{an}的首项 a1 和公差 d 能表示出通项 an=a1+(n-1)d,如果已知第 m 项 am 和公差 d,又如何表示通项 an? 答案 设等差数列的首项为 a1,则 am=a1+(m-1)d, 变形得 a1=am-(m-1)d, 则 an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d =am+(n-m)d. 思考 2 由思考 1 可得 d= 何意义吗? 答案 等差数列通项公式可变形为 an=dn+(a1-d), 其图象为一条直线上孤立的一系列点, (1,a1),(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d 为直线的斜率,故两点(1,a1),(n,an) 连线的斜率 d= an-a1 an-am , d= , 你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几 n-1 n-m an-a1 an-am .当两点为(n,an),(m,am)时,有 d= . n-1 n-m an-am . n-m 梳理 等差数列{an}中,若公差为 d,则 an=am+(n-m)d,当 n≠m 时,d= 知识点二 等差数列的性质 思考 还记得高斯怎么计算 1+2+3+…+100 的吗?推广到一般的等差数列,你有什么猜 想? 答案 利用 1+100=2+99=….在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等 于首项与末项的和.即 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…. 梳理 在等差数列{an}中,若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N ),则 am+an=ap+aq.特别地,若 * m+n=2p,则 an+am=2ap. 知识点三 由等差数列衍生的新数列 思考 若{an}是公差为 d 的等差数列,那么{an+an+2}是等差数列吗?若是,公差是多少? 答案 ∵(an+1+an+3)-(an+an+2) =(an+1-an)+(an+3-an+2) =d+d=2d. ∴{an+an+2}是公差为 2d 的等差数列. 梳理 若{an},{bn}分别是公差为 d,d′的等差数列,则有 数列 {c+an} {c·an} {an+an+k} {pan+qbn} 结论 公差为 d 的等差数列(c 为任一常数) 公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数) 公差为 2d 的等差数列(k 为常数,k∈N ) 公差为 pd+qd′的等差数列(p,q 为常数) * 类型一 等差数列推广通项公式的应用 例 1 在等差数列{an}中,已知 a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式. 解 因为 a8=a2+(8-2)d,所以 17=5+6d,解得 d=2. 又因为 an=a2+(n-2)d,所以 an=5+(n-2)×2=2n+1. 反思与感悟 灵活利用等差数列的性质,可以减少运算. 跟踪训练 1 数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1-an(n∈N ),若 b3=-2, * b10=12,则 a8 等于( A.0B.3C.8D.11 答案 B ) 解析 ∵{bn}为等差数列,设其公差为 d, 则 d= b10-b3 12-(-2) 10-3 = 7 =2, ∴bn=b3+(n-3)d=2n-8. ∴a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =b7+b6+…+b1+a1 =(b7+b1)+(b6+b2)+(b5+b3)+b4+a1 =7b4+a1=7×0+3=3. 类型二 等差数列与一次函数的关系 例 2 已知数列{an}的通项公式 an=pn+q,其中 p,q 为常数,那么这个数列一定是等差数 列吗?若是,首项和公差分别是多少? 解 取数列{an}中任意相邻两项 an 和 an-1(n>1), 求差得 an-an-1=(pn+q)- =pn+q-(pn-p+q)=p. 它是一个与 n 无关的常数,所以{an}是等差数列. 由于 an=pn+q=q+p+(n-1)p, 所以首项 a1=p+q,公差 d=p. 反思与感悟 本题可以按照解析几何中的直线问题求解,但是,如果换个角度,利用构造等 差数列模型来解决,更能体现出等差数列这一函数特征,这种解答方式的转变,同学们要在 学习中体会,在体会中升华. 跟踪训练 2 某公司经销一种数码产品,第 1 年获利 200 万元,从第 2 年起由于市场竞争等 方面的原因,利润每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不 调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 解 由题意可知,设第 1 年获利为 a1,第 n 年获利为 an,则 an-an-1=-20(n≥2,n∈N ), 每年获利构成等差数列{an},且首项 a1=200,公差 d=-20. 所以 an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20) =-20n+220. 若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损, 由 an=-20n+220<0,解得 n>11, 即从第 12 年起,该公司经销这一产品将亏损. 类型三 等差数列性质的应用 例 3 已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 解 方法一 因为 a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15, 所以 a4=5. 又因为 a2a4a6=45,所以 a2a6=9, 即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9, 解得 d=±2. 若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3; 若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n. 方法二 设等差数列的公差为 d, 则由 a1+a4+a7=15,得 * a1+a1+3d+a1+6d=15, 即 a1+3d=5, 由 a2a4a6=45,

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