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第一章 复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答
1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形 式和指数形式.(其中 ? , R , ? 为实常数)
π 3
i R sin ?

(1) ? 1 ? (4) e ; 答案
1? i

3i ; (2)

2 (co s

? i sin

π

) 3 ; (3) 1 ? cos ? ? i sin ? ;

(5) e



(6) i ?


i


(1)实部-1;虚部

? 3

;模为 2;辐角为
4π 3 ? i sin


? 2 k π , k ? 0, ? 1, ? 2, ?

3
4π 3

;主辐角为

3



原题即为代数形式;三角形式为 (2)略为 (3)略为 (4)略为
5π 2[ c o s ?i 3

2 (co s

4π 3

)

;指数形式为 2 e

i



5 π s i n 3
i a r c ct a ? [ n

i

e] 3,

2

[ 2 s i n (e ) ] 2
i

?

t a n (

/ 2 ) ]

ee ; e (co s 1 ? i sin 1)

(5)略为: cos( R sin ? ) ? i sin( R sin ? ) (6)该复数取两个值
2? 2 (co s ? ? i sin ? ) ? 2 (co s ? ? i sin ? ) ? 2? 2? 2 e , ? ? arctan (1 ?
i? i?

2 ); 2 );

略为

2?

2 e , ? ? π ? arctan (1 ?

1.2 计算下列复数 1) ? 1 ? i 3 答案 1.3 计算下列复数 (1)
a ? ib

?

?

10

;2) ? ? 1 ? i ? 3 ;
1 i 3π / 4?2 k π 3

1

1) ? 512 ? i 512

3 ;2)

26 e

?k

? 0,1, 2 ?




2 [

(2)
2 2

3

i


a ? b ? a]
2 2

答案 (1) (2) e

a ?b ?a ?i

2

i (? / 6 ? 2 n? /3)

1.4 已知 x 为实数,求复数 1 ? 2i x x ? 1 的实部和虚部.
2

【解】 令

1 ? 2i x

x ? 1 ? p ? i q , ( p , q ? R ) ,即 p , q 为实数域(Real).平方得到
2

1 ? 2x i x ? 1 ? ( p
2

2

?q

2

)? 2 ,根据复数相等,所以 xy i

? p2 ? q2 ? 1 ? ? 2 ? pq ? x x ? 1 ? p ? ? x, q ? ? ? 1 ? 2i x
2 即实部为 ? x , 虚部为 ? x ? 1
2

x ?1
2

x ?1 ? ?(x ?

x ? 1i)
2

说明 已考虑根式函数是两个值,即为 ? 值.
az ? b |? 1

1.5 如果 | z |? 1, 试证明对于任何复常数 a , b 有 b z ? a 【证明】 因为 | z | ? 1,? zz ? 1 ? z ? 1 / z ,所以
(az ? b) |? | 1

|

|

az ? b bz ? a

|? |

(az ? b ) z (b z ? a ) z

z | ? | a z ? b || 1 | ? | a z ? b | ? 1 b zz ? a z b ? az z b ? az

n n ?1 ? ? ? a n ?1 z ? a n ? 0 的 根 , 则 1.6 如 果 复 数 a ? i b 是 实 系 数 方 程 P ? z ? ? a 0 z ? a 1 z

a ? i b 一定也是该方程的根.
k 证 因为 a 0 ,a 1 , ,a n 均为实数, a 0 ? a 0 ,a 1 ? a 1 , … 故 … ,a n ? a n . ? z ? ? ?z ? , 且 k

故由共轭复数性质有: P ? z ? ? P ?z ? .则由已知 P ? a ? i b ? ? 0 .两端取共轭得
P ?a ? i b ? ? P a ? i b ? 0 ? 0

?

?

即 P ? a ? i b ? ? 0 .故 a ? i b 也是 P ? z ? ? 0 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多 项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项 式至少有一个实零点.

1.7 证明: | z1 ? z 2 | ? | z1 ? z 2 | ? 2 (| z 1 | ? | z 2 | ) ,并说明其几何意义.
2 2 2 2

1.8 若 (1 ? i ) ? (1 ? i ) ,试求 n 的值.
n n

(1 ? i ) ? 2 2 (co s
n

n

?
4

? i sin ? i sin

?
4

) ? 2 2 (co s
n

n

n? 4 n? 4

? i sin ? i sin

n? 4 n? 4

) )

【解】 因为 (1 ? i ) ? 2 (co s
n

n 2

?
4

?
4

) ? 2 (co s
n

n 2

所以 sin

n? 4

? ? sin

n? 4

即为 sin

n? 4

? 0 所以

n? 4

? k ? , n ? 4 k , ( k ? 0, ? 1, ? 2, ? )

1.9 将下列复数表为 sin ? , cos ? 的幂的形式 (1) cos 5? ;
(1)
5

(2) sin 5?
1 ?0 c o ? s?
3 2 2

?o s c ?
4

s i n?
3

4

5 ?c o s

s i n s i n

答案

( 2 )

5 ?c o s ? ? s i n

?1 0 c ? s ? o

s i n ?
5

1.10 证明:如果 w 是 1 的 n 次方根中的一个复数根,但是 w ? 1 即不是主根,则必有
1? w ? w ?? ? w
2 n ?1

?0

1.11 对于复数 ? k , ? k ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:
| ? ? k ? k | ? ( ? | ? k || ? k |) ?
2 2 k ?1 k ?1 n n

?

n

|?k |

2

k ?1

?|?
k ?1

n

k

|

2

成立。

【证明】 对任意 n 个复数,由三角不等式知
| ? ? k ? k |?
k ?1 n

? |?
k ?1

n

k

|| ? k |

再由关于实数的柯西不等式得
| ? ?k ?k | ? ? (
2 k ?1 n n

|? k

| ?k |

2

k ?1

? )? |

n

k ?1

? |k ? |
2

n

k ?1

? k| | ,证毕。
2

sin ( n ? co s ? ? co s 2 ? ? co s 3? ? ? ? co s n? ?

1 2

)? ? sin

?
2 ;

1.12 证明
co s sin ? ? sin 2? ? sin 3? ? ? ? sin n? ?

2 sin

?
2

?
2

? co s( n ? 2 sin

1 2

)?

?
2

成立.

1.13 下列不等式在复数平面上表示怎样的点集?
2 ? z ? z0 ? 3 0 ? Im ? z ? ? π 1) 0 ? Re ? z ? ? 1 ;2) ;3) ? 0 ? arg z ? ? 1 ;4) ;
z ?1 ? 2

5)

z ?1

(答 1)平面上由 x ? 0 与 x ? 1 所构成的宽度为 1 的铅直带形域;2)以 z 0 为心,内半径为 2,外半径为 3 的圆环域;3)顶点在原点,开度为 ?? 1 ? ? 0 ? 的角形区域;4)宽度为 π
? 5 3 ? z0 R ? 4 3 为半径的圆之外

的说平带形域,边界为 y ? 0 , y ? ? ;5)以

为心,

部区域) 1.14 指出下列关系表示的点之轨迹或范围;并说明是何种点集?
arg ? z ? i ? ? π 4

1) 2)

z?2 ? z?2 ? 5
π 4 知 y ?1 x π 4

解 1)令 z ? x ? i y ,由

arg ? z ? i ? ?

? Re ? z ? i ? ? x ? 0 ? ? Im ? z ? i ? ? y ? 1 ? 0 ?y ? x ?1 ? ?x ? 0



arctan

?



π z 0 ? i 出发(但不含 z 0 点)与实轴倾角为 4 的射线.此射线所 这样的点为 z 平面上从点

形成的点集既非开集,也非闭集. 2)设 z ? x ? i y ,则原条件即为
z?2
2

? ?5 ? z ? 2 z?2
2

?

2

? 25 ? z ? 2
2

2

? 10 z ? 2



? z?2

? 25 ? 10 z ? 2

由模的定义得

?8 x ? 25 ? 2
化简得

? 100 z ? 2

2

? 100 x ? 4 x ? 4 ? 100 y
2

?

?

2

x

2 2

?

y

2 2

?1

?5? ? ? ?2?
5

?3? ? ? ?2?

3

这是一椭圆,长半轴为 2 ,短半轴为 2 ,中心在原点,它是有界闭集(全部为边界点) . 1.15 描述下列不等式所确定的点集,并指出是区域还是闭区域,有界还是无界,单连通还是 多(或复)连通. (1)
2? z?i ?3
z?3

(2) Re ? i z ? ? 2

(3) z ? 2

?1

(4)

? 1 ? arg ? z ? ? ? 1 ? π

(5) z ? 1 ? 2 z ? 1 (7) z ? 2 ? z ? 2 ? 1

(6) z ? 1 ? z ? 2 ? 5 (8) z z ? i z ? i z ? 1

解 (1)是以 i 为圆心、在以 2 为半径的圆外,3 为半径的圆内的圆环,是有界闭区域、 多连通. (图形略) (2)即 y ? ? 2 是下半平面,无界单连通闭区域.
z ? 2 1 2 ,去掉 z ? 2 一

(3) z 到 3 的距离比 z 到 2 的距离大,因此,它是左半平面 点,是无界的多连通的区域. (4)在直线 y ? kx 的上方,其中 k ? ? tan 1 .无界单连通区域 (5)即 ? z ? 1 ?? z ? 1 ? ? 4 ? z ? 1 ?? z ? 1 ?
3z z ? 5z ? 5z ? 3 ? 0
2



x

? y

2

? 2

5 3

x?1? 0

5? 16 ? 2 ?x? ? ? y ? 3? 9 是无界多连通区域 ?

2

(6) 此不等是焦点在 z ? 1 和 z ? ? 2 初,长半轴为 5/2 的椭圆内部,为有界单连通闭区域) .
4 17
1? ? ?x ? ? ? 2 ? 部分是无界单连通区域. ,?
2

(7)这是半支双曲线:

4x

2

?

y

2

?1

2 2 2 (8)不等式即 x ? y ? 2 y ? 1 ,或 x ? ? y ? 1 ? ? 0 ,只有当 x ? 0 , y ? 1 成立,因此,

只代表复平面上一个点 z ? i .
w ? 1 z

1.16 已知映射

,求

(1) 圆周的象; (2)直线 y ? x 的象; (3)区域 x ? 1 的象. 答案 (1)
| w |?
1 z

1 |z|

|| z | ? 2 ?
1

1 2

,为圆周
? 1? i 2x ,u ? 1 2x ,v = -1 2x ,? u ? ? v

(2)

w ?

?

x (1 ? i)

直线
?u ? 1 1? y
2

w ?

1 1 ? iy

?

1 ? iy 1? y
2

,v ?

?y 1? y
2

,? u ? v ? u
2 2

(3) 先看直线 x=1 的象,

而 z=0 的象 w ? ? 在圆的外部,因此 x ? 1 的象是圆的内部即为 u

2

?v ?u
2

1.17 讨论下列函数在指定点的极限存在性,若存在求出其值,并判断在该点的连续性. 1) f ? z ? ? 2 x ? i y , z 0 ? 2 i
2

f ?z ? ?

2)

1 ?z z? ? ? ? ? 2i ? z z? ? , z0 ? 0

解 1) f ? z ? ? u ? x , y ? ? i v ? x , y ? , z 0 ? x 0 ? i y 0
2 则 u ? x , y ? ? 2 x , v ? x , y ? ? y , ? x 0 , y 0 ? ? ?0 , 2 ? ,

u ?x, y ? ? ? lim ? ? x , y ?? ? 0 , 2 ? ? ? ? ? x , ylim? 0 , 2 ? v ? x , y ? ? ? ??

? x , y ?? ? 0 , 2 ? ? x , y ?? ? 0 , 2 ?

lim

2x ? 0 y
2

lim

? 4

? lim f ? z ? ? 0 ? 4 i ? 4 i
z ? z0

又注意

f ?z 0 ? ? u ?x0 , y 0 ? ? i v?x0 , y 0 ? ? 4 i

?

z ? z0

lim f ? z ? ? f ? z 0 ? ? 4 i

2 即 f ? z ? ? 2 x ? i y 在点 z 0 ? 2 i 处极限存在且连续.

2)设 z ? x ? i y ,则
f ?z ? ? 1 ?z z? 1 4 i xy xy ? ? ? ? ? 2 2 ? u ?x, y ? ? i v?x, y ? 2 2 2 ? ? 2i ? z z? 2i x ? y x ? y

显然, v ? x , y ? ? 0 在 ? 0 , 0 ? 点极限存在且连续.
lim 2 xy x ? y
2 2

但 注 意
l i m 2 x xy
2

? x , y ?? ? 0 , 0 ?

不 存 在 , 事 实 上 , 令

y ? kx

, 有
xy x ? y
2 2

x? 0 y ? kx ? 0

? y

2

2k 2k ? l i m ? 2 2 x? 0 1? k 1? k y ? kx ? 0

, 对不同 k 值有不同结果, 故知

? x , y ?? ? 0 , 0 ?

lim

2

不存在.
lim 1 ?z z? ? ? ? 2i ? z z? ? ? 不存在.由连续与极限的关系知 f ? z ? 在 z ? 0 处极限不存在、不

所以, 连续. 注

z? 0

这两个问题均通过极限存在的充要条件将问题转化为两个二元实函数在对应点

? x 0 , y 0 ? 处极限存在性的判断问题,这是最常用的方法.在问题 1)中,又根据连徐的另一

等价定义 z ? z

lim f ? z ? ? f ? z 0 ?
0

, 立即得到 f ? z ? 在 z 0 ? 2 i 处不仅极限存在, 而且在该点连续的

结论;在 2)中, f ? z ? 实际上是一复变量实值函数,即 v ? x , y ? ? 0 ,所以由充要条件只需判
u ?x, y ? ? xy x
2

断一个二元实函数

? y

2

在 ? 0 , 0 ? 点的极限存在性. 由该二元实函数在 ? 0 , 0 ? 点极

限不存在即得 f ? z ? 在 z ? 0 处极限的不存在性. 1.18 若函数 (1) (2) |
f (z)
f (z)

在点 z

0

? x0 ? iy 0

点连续,证明

在该点连续;

f ( z ) | 的模在该点连续.

本章计算机编程实践与思考
(说明:读者可参考第五部分 计算机仿真编程实践) 1.19 使用 Matlab,或 Mathcad,或 Mathmatic 计算机仿真求解下列复数的实部、 虚部;共轭复数; 模与辐角;
(1) ? i ? 3i 1? i ; (2) 1 2 ? 3i ; (3) ( 2 ? 3i)(3 ? 4i) 2i ; ( 4 ) i ? i ? 4i
7 17

1.20 计算机仿真计算:
(1) (3 ? i) ? 1? i 1 ? 3i ; ( 2 ) (1 ? i) ;
6

(3) (1 ? i) 3 ;

1

( 4 ) ( ? 1) 6

1

1.21 计算机仿真求解方程
z ?8? 0
3

1.22 计算机仿真编程实践: 若 zl
( l ? 1, 2, ? ? ?, n ) 对应为 z n ? 1 ? 0 的根,其中 n ? 2 且取整数.试用计算机仿真编程验

?

n

1

k ?1

证下列数学恒等式 成立. 1.23 用计算机编程实践方法(Matlab,Mathcad,Mathmatic,C/C++)实现: (1)绘出单位圆及其内接正十七边形; (2)计算机编程求出边长; (3)能否对多变形进行推广,得出相应的计算机仿真计算方法. 1.24 计算机仿真编程验证 对复平面任意两个以上的不重合的有限远点 Z
k

m ?1 (m?k )

?

n

? 0,

( zk ? zm )

,Zm

,(即保证分母不为零),恒等式

?

N

1

k ?1

?

N

? 0

(Z k ? Z m )

注意式中自然数 N

?

是否还成立呢? 2 ,而 m, k 为 1 至 N 的整数.

m ?1 m?k

(提示:利用随机函数产生随机数 N k ,从而验证恒等式是否成立)

计算机仿真编程方法见第五篇、第六篇


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