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高中数学椭圆离心率求法专题

高中数学椭圆离心率求法专题


关于椭圆离心率 设椭圆 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,如果椭 a 2 b2 圆上存在点 P,使 ?F1 PF2 ? 90? ,求离心率 e 的取值范围。 解法 1:利用曲线范围 设 P(x,y),又知 F1 ( ? c,0),F2 (c,0) ,则 F1 P ? ( x ? c,y ) , F2 P ? ( x ? c,y ) 由?F1 PF2 ? 90? ,知 F1 P ? F2 P , 则 F1 P? F2 P ? 0, 即 ( x ? c)( x ? c) ? y 2 ? 0 得x 2 ? y 2 ? c 2 将这个方程与椭圆方程联立,消去 y,可解得 ? ? ? ? ? ? a 2 c 2 ? a 2b 2 a 2 ? b2 但由椭圆范围及?F1 PF2 ? 90? x2 ? 知0 ? x 2 ? a 2 即0 ? a 2 c 2 ? a 2b 2 ? a2 2 2 a ?b 可得c 2 ? b 2 ,即c 2 ? a 2 ? c 2 ,且c 2 ? a 2 c 2 c ? ,且e ? ? 1 a 2 a 2 所以e ?[ ,1) 2 从而得e ? 解法 2:利用二次方程有实根 由椭圆定义知 | PF1 |?| PF2 | ? 2a ?| PF1 |2 ?| PF2 |2 ?2| PF1 || PF2 | ? 4a 2 又由?F1 PF2 ? 90? ,知 | PF1 |2 ?| PF2 |2 ?| F1 F2 |2 ? 4c 2 则可得| PF1 || PF2 | ? 2(a 2 ? c 2 ) 这样,| PF1 | 与| PF2 | 是方程u 2 ? 2au ? 2(a 2 ? c 2 ) ? 0的两个实根,因此 ? ? 4a 2 ? 8(a 2 ? c 2 ) ? 0 c2 1 ? a2 2 2 ?e? 2 ? e2 ? 因此e ?[ 2 ,1) 2 解法 3:利用三角函数有界性 记 ?PF1 F2 ? ?,?PF2 F1 ? ?,由正弦定理有 | PF1 | | PF2 | | F1 F2 | ? ? sin ? sin ? sin 90? | PF1 |?| PF2 | ? ?| F1 F2 | sin ? ? sin ? 又| PF1 |?| PF2 | ? 2a,| F1 F2 | ? 2c,则有 c 1 1 e? ? ? ? ? ?? ? ?? a sin ? ? sin ? 2 sin cos 2 2 1 2 cos ? ?? 2 而 0 ?|? ? ? | ? 90? |? ? ? | ? 45? 2 2 ? ?? ? cos ?1 2 2 2 从而可得 ? e ?1 2 知0 ? 解法 4:利用焦半径 由焦半径公式得 | PF1 | ? a ? ex,| PF2 | ? a ? ex 又由| PF1 |2 ?| PF2 |2 ?| F1 F2 |2 ,所以有 a 2 ? 2cx ? e 2 x 2 ? a 2 ? 2cx ? e 2 x 2 ? 4c 2 2c 2 ? a 2 e2 又点P(x,y)在椭圆上,且x ? ? a,则知 0 ? x 2 ? a 2 ,即 即a 2 ? e 2 x 2 ? 2c 2 ,x 2 ? 0? 2c 2 ? a 2 ? a2 2 e 2 得e ?[ ,1) 2 解法 5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 2a ?| PF1 |?| PF2 | 平方后得 4a 2 ?| PF1 |2 ?| P

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