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人教A版选修2-1高中数学《2.4.1抛物线及其标准方程》ppt课件_图文

人教A版选修2-1高中数学《2.4.1抛物线及其标准方程》ppt课件_图文

2.4 抛 物 线 2.4.1 抛物线及其标准方程 1.抛物线的定义是什么?标准方程的四种形式 问题 各是什么? 引航 2.如何建系才能使方程最简单?怎样推导抛物 线的标准方程? 1.抛物线的定义 (1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 相等 的点的轨迹. _____ 点F 叫做抛物线的焦点. (2)焦点:____ 直线l 叫做抛物线的准线. (3)准线:_____ 2.抛物线的标准方程 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) 图 形 焦点坐标 p ( ,0) 2 p ( ? ,0) 2 _____ p (0, ) 2 _____ p (0, ? ) 2 _____ 准线方程 x?? p 2 p x? 2 _____ p 2 _____ y?? p 2 _____ y? x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距 离.( ) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决 定.( ) (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是 抛物线.( ) 【解析】(1)正确.抛物线的标准方程中p(p>0)即为焦点到准线 的距离,故该说法正确. (2)正确.一次项决定焦点所在的坐标轴,一次项系数的正负决 定焦点是在正半轴或负半轴上,故该说法正确. (3)错误.当定点在定直线上时,不表示抛物线,故该说法错误. 答案:(1)√ (2)√ (3)× 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)抛物线y2=4x的焦点坐标为 为 . ;准线方程 (2)若抛物线的方程为x=2ay2(a>0),则焦点到准线的距离 p= . . (3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为 【解析】(1)因为y2=4x,所以p=2,所以焦点坐标为(1,0), 准线方程为x=-1. 答案:(1,0) x=-1 2a (2)因为x=2ay2(a>0),所以 y 2 ? 1 x, 由 2p ? 1 ,所以 p ? 1 . 2a 答案: 1 4a 4a (3)因为焦点坐标为(0,2),故标准方程可设为x2=2py(p>0), 其中 p ? 2, 所以p=4. 2 故标准方程为x2=8y. 答案:x2=8y 【要点探究】 知识点 抛物线的定义及标准方程 1.对抛物线定义的两点说明 (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个 确定的比值. 2.抛物线标准方程的特点 (1)是关于x,y的二元二次方程. (2)p的几何意义是焦点到准线的距离. 3.四种位置的抛物线标准方程的对比 (1)共同点:①原点在抛物线上; ②焦点在坐标轴上; ③焦点的非零坐标都是一次项系数的 1 . 4 (2)不同点:①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2; 焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2. ②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)正 半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同, 焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号. 【知识拓展】抛物线与二次函数的关系 二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),当b,c为0时, y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为x2= 1 y,a>0时 a 抛物线开口向上,a<0时,抛物线开口向下,当抛物线的开口 方向向左或向右时,方程为y2=2px,表示一条曲线,不能称为 函数. 【微思考】 (1)定义中若去掉条件“l不经过F”,则此时点的轨迹是什么? 提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直 于l的直线,而不是抛物线. (2)确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量? 提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负. 【即时练】 1.以 F(? 3 , 0) 为焦点的抛物线的标准方程是_________. 4 2.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9,则点P的坐标为 __________. 【解析】1.因为焦点F为 (? 3 , 所以抛物线方程可设为y2= 0), 4 -2px(p>0),由 ? p ? ? 3 ,所以 p ? , 2 4 3 2 故标准方程为y2=-3x. 答案:y2=-3x 2.根据抛物线的定义,点P到抛物线准线的距离为9, 设P(x0,y0),则 x 0 ? p ? 9, 2 即x0+2=9,所以x0=7,代入y2=8x, 得 y 0 ? ?2 14, 所以P点坐标为 7, ? 2 14 . 答案: 7, ?2 ? ? 14 ? ? 【题型示范】 类型一 求抛物线的标准方程 【典例1】 2 2 x y (1)已知双曲线C1: ? ? 1 (a>0,b>0)的离心率为2.若抛物 a 2 b2 线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则 抛物线C2的方程为( 8 3 A.x ? y 3 C.x 2 ? 8y 2 ) 16 3 B.x ? y 3 D.x 2 ? 16y 2 (2)求适合下列条件的抛物线的标准方程: ①过点M(-6,6); ②焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. 【解题探究】1.题(1)中抛物线的焦点坐标是什么? 2.题(2)①已知抛物线上一点,如何确定开口方向? ②中抛物线的焦点坐标是什么? 【探究提示】1.抛物线的焦点坐标为 (0, p ). 2 2.①中的点在第二象限,故抛物线的开口向上或向左; ②中抛物线的焦点坐标为(0,-3)或(2,0). 【自主解答】(1)选D.抛物线的焦点坐标为 (0, p ), 双曲线的渐 近线方程为 y ? ? x, 不妨取 y ? x, 即bx-ay=0,焦点

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