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线性代数6.2

线性代数6.2


§6.2 用配方法化二次型成标准形
用正交变换化二次型成标准形? 具有保持几何形 状不变的优点? 如果不限于用正交变换? 那么还可以 有多种方法(对应有多个可逆的线性变换)把二次型化 成标准形? 本节只介绍拉格朗日配方法?

例1 化二次型 f 为标准形? 并求所用的变换矩阵? 其中 f?x12?2x22?5x32?2x1x2?2x1x3?6x2x3? 解 配方可得 f ?x12?2x1x2?2x1x3?2x22?5x32?6x2x3

?(x1?x2?x3)2 ?x22?x32?2x2x3 ?2x22?5x32?6x2x3 ?(x1?x2?x3)2 ?x22?4x2x3?4x32
?(x1?x2?x3)2?(x2?2x3)2?

提示? 由于 f 中含x1的平方项? 故把含x1的项先归并起来?

例1 化二次型 f 为标准形? 并求所用的变换矩阵? 其中 f?x12?2x22?5x32?2x1x2?2x1x3?6x2x3?

解 配方 f ?(x1?x2?x3)2?(x2?2x3)2? ? y1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x1 ? y1 ? y2 ? y3 ? ? 令 ? y 2 ? x 2 ? 2 x 3 ? ? x 2 ? y2 ? 2 y3 ?y ?x ?x ?y ? 3 ? 3 3 3 ? x1 ? ? 1 ? 1 1 ?? y1 ? ? ? ? ?? ? 变换矩阵 ? ? x 2 ? ? ? 0 1 ? 2 ? ? y2 ? ?? y ? ? x ? ?0 0 1 ?? 3 ? ? 3? ?
就把 f 化成标准形 f ? y12?y22.

例2 化二次型

f ? 2 x1 x2 ? 2 x1 x3 ? 6 x2 x3 成标准形, 并求所用的变换矩阵.
解 由于所给二次型中无平方项,所以 ? x1 ? ? 1 1 0 ?? y1 ? ? ? x1 ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 令 ? x 2 ? y1 ? y 2 , ? 即? x 2 ? ? ? 1 ? 1 0 ?? y 2 ? ? ? ? x ? ? 0 0 1 ?? y ? ? ?x ? y ?? 3 ? ? ? ? 3? ? ? 3 3

代入 f ? 2 x1 x2 ? 2 x1 x3 ? 6 x2 x3 ,



2 2 f ? 2 y1 ? 2 y2 ? 4 y1 y3 ? 8 y2 y3 .


再配方,得

f ? 2 y ? 2 y ? 4 y1 y3 ? 8 y2 y3 .
2 1 2 2
2 f ? 2? y1 ? y3 ? ? 2? y2 ? 2 y3 ? ? 6 y3 . 2 2



? z1 ? y1 ? y3 ? ? z 2 ? y2 ? 2 y3 ?z ? y ? 3 3 ? y1 ? z1 ? z 3 ? ? y2 ? z 2 ? 2z3 , ?y ?z ? 3 3
2 1 2 2

?

? ? y1 ? ? 1 0 1 ?? z1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 即? y 2 ? ? ? 0 1 2 ?? z 2 ? ? ? ? y ? ? 0 0 1 ?? z ? ? ?? 3 ? ? ? ? 3? ?
2 3



f ? 2z ? 2z ? 6z .

所用变换矩阵为

? 1 1 0 ?? 1 0 1 ? ? ?? ? C ? ? 1 ? 1 0 ?? 0 1 2 ? ? 0 0 1 ?? 0 0 1 ? ? ?? ? 3 ? ?1 1 ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1?. ?0 0 ? 1 ? ?

?C

? ?2 ? 0?.

例2 化二次型 f 为规范形? 并求所用的变换矩阵? 其中 f?2x1x2?2x1x3?6x2x3?

? x1 ? y1 ? y 2 ? 解 先作变换 令 ? x 2 ? y1 ? y 2 , ?x ? y ? 3 3 可得 f = 2y12?2y22 ? 4y1y3? 8y2y3?
提示 ? f 中不含平方项? 而在标准形中只含平方项?
令x1? y1?y2? x2 ? y1?y2? 则 x1x2?y 12?y 22?

例2 化二次型 f 为规范形? 并求所用的变换矩阵? 其中 f?2x1x2?2x1x3?6x2x3?
再配方? 得 f? 2y12?2y22? 4y1 y3? 8y2 y3 ?2(y1?y3)2 ?2y22? 8 y2 y3 ? 2y32 ?2(y1?y3)2 ? 2(y2?2y3)2 ? 6y32?
? z1 ? 2 ( y1 ? y3 ) ? ? ? z 2 ? 2 ( y2 ? 2 y3 ) ? ? ? z 3 ? 6 y3
? ? y1 ? ? ? ? y2 ? ? ?y ? 3 ?



? 1 z1 ? 1 z3 2 6 ? 1 z2 ? 2 z 3 2 6 ? 1 z3 6

就把 f 化成规范形f ? z12?z22?z32? 所用的变换矩阵为

例2 化二次型 f 为规范形? 并求所用的变换矩阵? 其中 f?2x1x2?2x1x3?6x2x3?



? x1 ? y1 ? ? ? x 2 ? y1 ? ?x ? y ? 3 3
1 2 0 0

? ? ? 1 1 0 ?? ? ?? C ? ? 1 ? 1 0 ?? ? 0 0 1 ?? ? ? ? ? ?

? ? y1 y2 ? ? y 2 , 及 ? y2 ? ? ? y3 ? 1 ? ? 0 ? ? 6? ? 1 2 ? ? ??? 2 6? ? 1 ? ? 0 ? ? 6? ?

? ? ?

1 2 1 2 1 6

z1 ? z2 ? z3

1 6 2 6

z3 z3

1 2 1 2 0

1 2 1 ? 2 0

3 ? ? 6 ? 1 ? ? ? 6? 1 ? ? 6 ?

定理6.2.1 任何二次型必可经过可逆线性变换化为标准形。 定理6.2.2 任何对称矩阵必可合同于对角矩阵。

拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 xi 的平方项,则先把含有 x i 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同 样进行,直到都配成平方项为止,就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项,但是 aij ? 0 ( i ? j ),则先作可逆线性变换 ? x i ? yi ? y j ? ? x j ? yi ? y j ?k ? 1,2,?, n且k ? i , j ? ? x ?y ? k k 化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方 法配方.

小结
使用不同的方法,
所得到的标准形可能不相同,

但标准形中含有的项数必定相同,
项数等于所给二次型的秩.

化二次型为标准型的变换都是合同变换。


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